2023年全國乙卷圓錐曲線解法探討與推廣

賀鳳梅 李昌成

摘 要：圓錐曲線問題是高中數學教學的重點和難點.每年的高考題，都會涉及圓錐曲線問題，既有選擇題、填空題，也有作為壓軸題的解答題，其特點是綜合性和系統性強.這不僅需要學生掌握最基本的知識點，提高運算的速度和準確性，還需要學生能快速找到解題的突破口，成功解答.2023年高考全國乙卷也不例外，這類題充分考查學生的邏輯思維能力、轉化與化歸能力以及運算求解能力等.

關鍵詞：橢圓；定點；推廣

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0057-05

直線與圓錐曲線的綜合題一直是高考命題的熱點，也是學生學習的難點，大部分學生對這部分知識的學習有畏懼心理.在學習過程中，他們僅停留在記憶相關概念、結論，或者模仿教材和教師的解題思路，并沒有真正理解概念、結論的意義，也沒有總結圓錐曲線中各種題型的內在關聯，或僅僅流于形式，因此考試時往往只能得一部分基礎分［1］.據此，以此次高考試題中圓錐曲線的解答為契機，談談自己的看法，以期拋磚引玉.

1 題目呈現

（1）求C的方程；

（2）過點（-2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.

2 總體分析

此題是2023年全國乙卷的解答題第20題，屬于壓軸題.這道圓錐曲線題的第（1）問實屬常規的送分題，而第（2）問落腳點雖然是定點問題，但與平時訓練時見到的題的問法還是有差異.考后筆者了解了一下，在考場上不少考生只是設出直線PQ方程的點斜式，與橢圓方程聯立，但由于計算復雜，沒有學會合理轉化，止步于此了.

其實，直線與圓錐曲線的綜合問題，主要是以位置關系為載體，所以根據題意設直線方程，與圓錐曲線進行聯立，借助根與系數的關系進行轉化求解；同時將問題進行分步拆解，需要設未知量時果斷設未知量以及必要的方程，最終設而不求，成功突破.筆者通過思考、解答與總結，嘗試厘清問題的本質，現分享于此，以饗讀者.

3 試題解答

以下著重探討第（2）問.

視角1 常規轉化.

解法1 （直線的斜截式方程聯合求解）

如圖1，易知直線PQ的斜率存在，設其方程為y=kx+m，過點（-2，3），所以m=2k+3.①

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

消y，整理得

（4k2+9）x2+8kmx+4m2-36=0，

△=64k2m2-4（4k2+9）（4m2-36）>0，

即m2<4k2+9.

由根與系數的關系，得

y1=kx1+m，y2=kx2+m.③

聯合③整理，得

將②代入，繼續化簡整理得

由①

可得m-2k=3.

所以線段MN中點為定點（0，3）［2］.

解法2 （直線的點斜式方程聯合求解）

設直線PQ方程為y-3=k（x+2），

即y=kx+（2k+3）.

（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2-36=0.

不妨設直線AM為y=k1（x+2），令x=0，則y=2k1，所以點M（0，2k1）.

同理N（0，2k2）.

故線段中點坐標為N（0，k1+k2）.

將④代入整理，得

所以線段MN中點為定點（0，3）.

評注 以上兩種解法大同小異，解法1設直線PQ的斜截式方程，將點（-2，3）代入，明確數量關系m=2k+3；同時與橢圓方程進行聯立，設點的坐標，根據韋達定理得出兩根之和與兩根之積待用.接著進行下一步轉化，結合條件設法將點M的坐標表示出來，再利用同一法表示點N的坐標，進而表示出MN中點的坐標. 此時，隨著問題的分步求解，發現本質上就是求兩直線AP與AQ的斜率之和為定值.分式進行通分，非對稱性轉化為對稱性，代入韋達定理的式子化簡等都屬于常規操作.因此，解決問題的關鍵還是在于我們拿到試題后進行思考、分析、整合，將未知轉化為已知，將陌生轉化為熟悉，這也是當前新課改后國家選拔人才的要求.解法2只是設直線方程不同，求解路徑稍有不同，進行部分分離變量后，式子更簡單明了，這也需要通過一定的訓練才能達到熟能生巧，靈活變通，不再贅述.

視角2 齊次化轉化.

解法3 （平移齊次化求解）

將圖象整體向右平移兩個單位，則點（-2，3）平移至（0，3），點A（-2，0）平移至（0，0）.

相應直線PQ的方程可設為

y=kx+3，

將平移后的橢圓化簡整理，得

齊次化，得

4y2+9x2-36·y-kx3=0.

進一步整理得

從而平移后線段MN中點坐標為（2，3）.

故線段MN中點為定點（0，3），得證［3］.

解法4 （配湊齊次化求解）

將4y2+9x2-36=0進行配湊得

4y2+9（x+2）2-36（x+2）=0.

與直線y=k（x+2）+3聯立并整理，得

4y2+（9k+12）（x+2）2-12y（x+2）=0.

故線段MN中點為定點（0，3），得證.

評注 解法3是將點A平移至坐標原點，其余點與直線、橢圓均移至相應的位置，通過齊次化轉化，大大減少了運算量. 不過此法建議給學習程度好、學有余力的同學嘗試，一定要講清原理，平移前與平移后的關系，再輔以適當的練習加以鞏固，這樣才能收到成效. 解法4則是通過構造法整體處理，同樣需要老師給學生講清原理，感興趣的同仁不妨一試！

視角3 向量法.

解法5 （設線求點及向量共線求解）

設直線AM：y=m（x+2），AN：y=n（x+2），則M（0，2m），N（0，2n），

線段MN中點坐標為（0，m+n），即證m+n為定值.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

（4m2+9）x2+16m2x+16m2-36=0.

易得12m-4m2-9=12n-4n2-9.

又m≠n，所以m+n=3.

故線段MN中點為定點（0，3），得證.

視角4 曲線系.

解法6 （借助曲線系巧妙消元代點求解）

結合解法5，經過三點的二次曲線為

［y-m（x+2）］［y-n（x+2）］=0.

即y2-（m+n）（x+2）y+mn（x+2）2=0.

消去y2，得

顯然x≠-2，所以

即PQ的直線方程過點（-2，3），

代入整理并求解得m+n=3.

故線段MN中點為定點（0，3），得證.

評注 曲線系在課本上有涉及，只是平時使用較少，所以大家并不熟悉，從以上解答來看，若能理解、掌握并應用到解題中去，確實有不一樣的效果，大家可以根據需要選擇！

4 嘗試推廣

此題的出題背景本質上就是極點極線，可以推廣得到以下兩個結論.

>b>0），左頂點為A（-b，0），上頂點為B（0，a），過點B（-b，a）的直線交橢圓C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點（0，a）.

以上是焦點在y軸上的橢圓的一般結論，對于焦點在x軸上的橢圓的一般結論，大家可以參照得出，不再贅述.

5 試題鏈接

（1）求E的方程；

簡析 該題中的同一法求解是本次真題中所用到的方法，包括直線過定點問題. 只是設置的問題情境不盡相同. 因此，在平時的學習及高考復習備考中，我們一定要關注和積累一些通性通法，所謂萬變不離其宗，很多試題均可以追本溯源，不管在知識上還是方法上，都有異曲同工之妙！

簡析 該題是比較典型的已知斜率之和為定值，證明直線過定點問題，可以利用文中的常規方法求解，也可以利用平移齊次化或構造齊次化求解. 相信大家只要學會整合與反思，一定能有收獲！

6 結束語

高中圓錐曲線的試題對學生思維能力及計算能力的要求都很高，教師在教學時要把握好重、難點，循序漸進，保證學生在夯實基礎的前提下，逐步提高難度. 教學過程中，建議結合學生的學情來規劃教學的進度和難易程度，耐心細致地解答學生提出的問題及計算中的盲點及卡點. 同時還需要有意識地培養學生的數形結合的能力，從而穩步提高圓錐曲線的教學效率.

命題專家指出，根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》的要求，今年高考數學全國卷全面考查考生的數學核心素養，充分體現基礎性、應用性以及創新性的考查要求，突出理性思維，發揮數學學科在人才選拔中的重要作用.在全面推行素質教育的今天，新一輪國家教育課程改革之際，對新教材、學生新的學習方式的研究與探討顯得尤為重要. 只有充分發揮青年一代的數學素養，才能提高全民素質，造就新一代的高質量新型人才！

參考文獻：

［1］曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2005.

［2］ 賀鳳梅，李冒成.活用定義 巧解圓錐曲線考題：以2022屆八省聯考第5題為例［J］.數理化解題研究，2022（31）：64-66.

［3］ 賀鳳梅，李昌成.多視角探究2022年全國高考甲卷理數第20題［J］.數理化解題研究，2023（28）：2-5.