應用方程解決“三數”問題

王競進

平均數、中位數和眾數都能夠反映一組數據的集中程度.在實際問題中，若能根據“三數”的概念和題中所隱含的等量關系，建立方程或方程組，?？梢允箚栴}得到巧妙解答.

例1在一次英語口試中，已知某班50分的有1人，60分的有3人，70分的有4人，90分的有5人，100分的有1人，其余學生都為84分.已知該班平均成績為80分.問：該班有多少人？

解析：本題可以根據平均數的意義，建立以班級人數為未知數的一元一次方程.

設該班有x人，根據題意，得：

50×1+60×3+70×4+90×5+100×1+84×（x-14）=80x.

解得x=29.故該班有29人.

例2有一組數據：8，8，x，6.若這組數據的眾數和平均數相同，則這組數據的中位數是.

解析：觀察易知，這組數據的眾數為8或6.當眾數為8時，8+8+x+6=8×4，解得x=10.當眾數為6時，8+8+x+6=6×4，解得x=2.但顯然x應當為6，否則6便不是眾數了，故x=2應舍去.所以，這組數據為8，8，10，6，它們的中位數是8.

點評：本題滲透了分類討論的數學思想.當數據中有未知數時，一定要注意就各種可能的情況進行分類討論. 例3某種針織內衣，共有7個品牌，價格不等.小榮去買這種針織內衣的中檔品牌.營業員告訴他，這7個品牌針織內衣的平均價格是38元.從低檔到高檔排列，前4個品牌的針織內衣的平均價格是33元，后4個品牌的針織內衣的平均價格是42元.你知道小榮要買的針織內衣的價格嗎？

解析：我們不妨將這7個品牌針織內衣的價格按照從低到高的順序依次排列，并設為x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7（單位：元）.則小榮要買的針織內衣價格就是x4元.由條件中的前4個品牌和后4個品牌的平均價格以及這7個品牌針織內衣的平均價格入手，可以得到三個方程：

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7 ×38.①

x1+x2+x3+x4=4×33.②

x4+x5+x6+x7=4×42.③

②+③-①，可得x4=34.所以小榮要買的針織內衣的價格是34元.

點評：在這個問題的解答中，根據平均數的意義建立適當的方程模型，并滲透了整體思想.事實上，本題中只有x4可以求出.

例4某校八（1）班積極響應校團委的號召，向“希望工程”捐獻圖書.全班40名同學共捐圖書320冊.特別值得一提的是李揚、王州兩位同學，他們在父母的支持下各捐獻了50冊圖書.班長統計了全班的捐書情況，制成表1（被粗心的馬小虎用墨水污染了一部分）.

（1）分別求出該班捐獻7冊圖書和8冊圖書的人數.

（2）請算出捐書冊數的平均數、中位數和眾數，并判斷其中哪些統計量不能反映該班同學捐書數量的一般狀況，請說明理由.

解析：本題中隱含著兩個等量關系：捐獻7冊圖書的人數+捐獻8冊圖書的人數=9；全班40名同學所捐圖書的總冊數=320，換言之，捐獻7冊圖書的人捐書的總數+捐獻8冊圖書的人捐書的總數=66.可以據此建立二元一次方程組.

（1）設該班捐獻7冊圖書的有x人，捐獻8冊圖書的有y人，根據題意，得x+y=9，7x+8y=66，解之得x=6，y=3.

（2）平均數為320÷40=8，中位數為6，眾數為6.平均數不能反映該班同學捐書數量的一般狀況，因為捐書達到8冊及8冊以上的只有5人，而大部分同學在6冊左右.

點評：本題將二元一次方程組與統計知識有機地融為一體，考查了同學們綜合應用知識的能力.這類“墨水污染”問題也是中考的常見題型.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。