方程根的存在判別

翟玉玲

【摘要】多項式的討論是代數學中的一項重要內容。本文主要介紹了多項式方程根的一種簡便判別方法。

【關鍵詞】多項式 根 代數

多項式求解大約可以分成有沒有解、如何求解兩部分,知道有根再求根才有意義。代數學基本定理解決了根的存在性問題,對此定理的證明以代數方法居多,雖直觀性強,但計算量大、冗繁、復雜。下面給出一種簡便的分析學證明方法。

定理:任意一個n階方程a₀zⁿ+a₁z^n-1+……+a_n-1z+a_n(a≠0)(*)有且只有n個根(n重根就算是n個根)。

證明:令f(z)=a₀zⁿ,φ(z)=a₁z^n-1+……+a_n-1z+a_n,當z在充分大的圓周c:|z|=R時,有|φ(z)|≤|a₁|R^n-1+……|a_n-1|R+|a_n|＜(|a₁|+……|a_n|)R^n-1＜|a₀|Rn=|f(z)|

由儒歇定理即知:在|z|＜R內,方程(*)與a₀zⁿ=0有相同個數的根。而a₀zⁿ=0在|z|＜R內有一個n重根z=0,因此(*)在|z|＜R有n個根。另外,在|z|=R上或其外部,任取一點z₀,則|z₀|=R₀≥R,則|a₀z₀ⁿ+a₁z₀^n-1+……+a_n|≥|a₀z₀ⁿ|-|a₁z₀^n-1+……+a_n|≥|a₀|R₀ⁿ-(|a₁|R₀^n-1+……+|a_n|)＞|a₀|R₀ⁿ-(|a₁|+……+|a_n|)R₀^n-1＞|a₀|R₀ⁿ-|a₀|R₀ⁿ=0。這說明原n次方程在圓周上及其外部都沒有根。所以,原n次方程在z平面上有且只有n個根。

例:求證:z⁷+z³+12=0的根全在圓環1＜|z|＜2內。

證明:取f(z)=12,φ(z)=z⁷-z³,易于驗證在|z|=1時,有|f(z)|＞|p(z)|。

由儒歇定理可知:p(z)=f(z)+φ(z)=z⁷-z³+12在單位圓內無零點。

又在圓周|z|=2上,|12-z³|≤12+|z³|=12+8=20＜128=27=|z⁷|

故由儒歇定理得,方程z⁷+z³+12=0的7個根全部落在1≤|z|＜2上。

但當|z|=1時,|z⁷-z³|=|z³||z⁴-1|≤|z|3(|z⁴|+1)=2,|z⁷-z³+12|≥12-|z⁷-z³|≥12-2=10＞0。

故方程的根全在圓環1＜|z|＜2內。

【參考文獻】

1、張賢科、許甫華:高等代數學[M],北京:清華大學出版社,1998

2、Berberia_n﹒K﹒Linear algebra[M]﹒Oxford:Oxford Univ﹒press,1992

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