APOS理論在高等數學概念探究式教學中的應用

曾玉祥

摘要：在概念教學中運用APOS理論有助于數學概念綜合心理圖式的形成及知識系統的意義構建，增強在具體問題情境中主動應用數學概念圖式系統分析問題和解決問題的能力。APOS理論在教學概念探究式教學中的應用，要注重概念背景設計、概念的概括表述、概念的深入剖析以及概念的模型的形成。

關鍵詞：APOS理論；高等數學；概念學習；探究式教學

中圖分類號：G420 文獻標志碼：A 文章編號：1002-0845（2013）05-0042-02

高等數學在培養學生的運算能力、抽象思維能力、概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力、實踐能力等方面具有自身獨特的優勢，能為后續的專業、技能和理論學習提供必要的基礎知識和思維方法，為終身學習提供必要的知識積累，其重要性隨著科學技術的發展進步而日益凸顯。國內外很多高校在文科類專業都全面開設了大學數學課程。高等數學的學習過程中，概念的教與學是最重要的教學環節之一，概念的理解與掌握是學好高等數學課程的基本要求和先決條件，探索APOS理論在探究式概念教學中的應用具有一定的理論意義和實踐價值。

一、APOS學習理論和探究式教學

1.APOS學習理論

APOS理論是一種以建構主義為基礎的數學學習理論，是杜賓斯基對皮亞杰的“自反抽象”理論的一種擴展。其核心是引導學習者在社會線索中開展學習活動，分析問題情境，學習數學知識，從而建構他們自己的數學概念和思想。APOS理論集中對數學概念這個特定內容的學習過程的研究，認為高等數學概念的學習過程是建構的，其建構的基本順序層級為：個體依次構建心理活動（Actions）、過程（Processes）和對象（0bject），也可以叫做數學概念的三個階段或者三種中間狀態。最終形成可以理解問題情境的圖式結構（Schemas），即形成數學概念的認知結構。

但是在實際學習過程中，學習個體對于某一高等數學概念的理解并不只是線性的，而往往是循環的、漸進的，通過不斷的內化、壓縮與解壓縮，再內化，再壓縮與解壓縮，最終實現高等數學概念的意義構建。APOS理論指出，特殊數學思想下的不同概念建構更多是辯證的螺旋上升的而不是線性的結果。

2.探究式教學

探究式教學方法又叫做發現法、研究法，是指讓學生通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論、聽講等途徑獨立探究、自行發現并掌握相應的原理和結論的教學方法。最早提出在教學中使用探究法的是美國著名教育思想家杜威。探究式教學的核心與載體是問題，從教學的角度，教師要圍繞教學目的和內容，精心設計出難度適中、邏輯合理、基于學生最近發展區且利于發掘學生自主探究潛能的問題。探究式教學要求教師作為一個組織者，提供一定的條件或者必要的資料，學生自己動手尋求答案或者提出假設，教師指導、規范學生的探索過程；整個過程可以由學習者一個人完成或者由教師分組安排完成，不同的學生或者團隊可以就同一問題提出不同的解釋或者看法并進行討論。探究式教學可以有效增強學生的自主學習能力以及培養學生尋求合作的團隊精神。

高等數學概念的特點決定了探究式教學模式的適用性和有效性。通過探究式教學，結合多媒體教學技術等手段，能有效再現概念從產生到形成的思維過程，符合學生的認知規律。探究式教學的基本過程可以歸納為“問題引入一問題探究一問題解決—知識構建”四個階段。

二、APOS理論在高等數學概念探究式教學中的應用

APOS學習理論和探究式教學方法都認為，教師在教學中是組織者和參與者，而不是一個講授者或者灌輸者。但這并不是弱化教師的作用，反倒是對教師的綜合素養提出了更高的要求?；诟叩葦祵W概念的特點及學習心理的研究，根據多年的高等數學實際教學和改革實驗的經驗，筆者認為，可以把APOS學習理論應用于高等數學概念的探究式教學，并通過實際教學對象和過程進行實踐探索，取得實際效果。

1.概念的背景設計：“問題引入一活動”（Action）階段

APOS理論和探究式教學和學習方法都認為，教師要充分體現參與者、組織者、引導者的角色。概念的引入背景設計要充分考慮學生的學情和認知規律，應該通過幾何、物理甚至人文背景設計問題引入；通過“活動”讓學生親身體驗，引起探究的興趣，為成功開展具體的探究活動打下良好的基礎?；顒拥拈_展要注意防止兩種傾向：一種是不關心學生的認知規律和原有知識結構，一味強調知識的原始來龍去脈，導致學生因為難度過大而逐漸失去信心；另一種是所謂的“去數學化”活動，就是只注重動手、討論等外部探究活動而忽略了數學的內在本質特點，導致探究活動和數學二者不相融合，無法形成有效的知識結構，更談不上靈活運用。例如導數的概念，現行高等數學教材中有兩個經典引例，一個是切線的斜率，一個是變速質點的瞬時速度，這兩個引例對于物理專業的學生來說，很有針對性。但是對于經濟、生物、地理等專業的學習者來說，與專業的結合就顯得不是那么緊密了。因此，教師可以增加選取一些與專業背景更緊密的問題或者與學生日常興趣愛好更相關的一些問題來引入。例如針對導數的概念，可以選取倫敦奧運會牙買加運動員博爾特的100米比賽為切入點，設置如下問題：速度的最高點在什么地方出現？怎么計算其最大速度？就能引起學生極大的好奇心和興趣，從而產生去解決問題的心理內驅力。針對地理專業的學生在學習定積分的概念時，可以設計課外閱讀有限元法的資料等活動，了解其在礦產資源勘探、石油勘測數據分析等方面的應用，既可以強化“無限分割求和求極限”的定積分思想，也能讓學生切實了解數學在實際專業工作中的應用，從而增強學生學好數學的決心和動力。針對極限的概念，可以以我國唐代著名詩人李白在《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》中膾炙人口的詩句“孤帆遠影碧空盡”為切入點，這不正是所表達的真實意境嗎？通過數學活動，了解中國古代歷史，還能滲透愛國主義教育，傳播數學文化，增強民族自豪感，可謂一舉多得。在數學概念的教學活動中，這樣的活動背景比比皆是，教師只要做一個有心人，就一定能設計出很有吸引力和針對性的引入問題并通過問題驅動有效高效地開展探究活動。

2.概念的概括表述：“問題探究一過程”（Processes）階段

APOS學習理論和探究式教學方法認為，活動并不是數學概念學習的目的，如果對活動放任自流，不加以適當引導，可想而知，效果肯定不會理想。認知理論認為，學習者經過對“活動”的思考，經歷思維的內化、壓縮、解壓縮過程，在頭腦中對“活動”進行描述和反思，從而抽象出特定概念所特有的性質，即概念的概括表述“過程”。從圖像、數值、聲音、語言等多元表征方式展現數學概念，不同的表征能夠傳達不同的信息，整合的表征所獲取的信息遠遠大于從各個單一表征中獲取的信息。應該借助現代多媒體和計算機輔助教學技術手段，從不同角度、不同側面全方位立體展示概念的內涵和外延，可收到舉一反三、事半功倍的效果。例如極限的概念，可以利用自制的3D動畫來展示極限的動態過程，在筆者的教學實踐中，學生感覺印象“非常深刻、非常直觀、非常明顯”，還為后期學習極限存在性判定定理“單調有界必有極限”打下了良好的基礎。對定積分的概念，可以用MATHMATIC等軟件展示我國古代數學家劉徽的割圓術的過程，通過不斷細分的網格化過程，充分體會“分之彌細，則所失彌少”的意境，體味古代數學家思維的獨特魅力。

3概念的深入剖析：“問題解決一對象”（Object）階段

通過前面的“活動”和“過程”，對數學概念的本質有了一定的認識，對其賦予形式化的語言和符號，從而凝聚成為一個“對象”。APOS學習理論認為，“對象”狀態呈現出一種靜態的結構關系，因而有利于從整體把握其性質。同時，凝聚的對象又可以在以后的學習中去進行新的“活動”，從而轉化成為一個可以被操作的“實體”，通過新一輪的內化、壓縮與解壓縮的過程，不斷更新和建構新的認識結構，最終形成一個涵蓋高等數學的概念系統，應用貫穿其間，組成一個立體網絡，完成真正意義上的高等數學意義構建，并進一步形成數學思維能力。因此，在實踐教學過程中要特別注重分析解剖數學概念表達形式中精煉的語言和所使用的符號的涵義，從多角度、全方位分析概念所適用的條件和范圍。譬如對概念的內涵和外延的進一步的說明和解剖分析，注重闡明隱藏在概念符號語言背后的數學思想方法，有意識引導學生發現數學思維過程中數學感念的矛盾運動和發展變化。等等。正如一位研究數學美的學者所言，數學教師的作用就是幫助學生發現隱藏在“冰冷形式后”的“火熱的思考”過程。

4.概念的模型形成：“知識構建一圖式”（Schemas）階段

經過前三個階段的螺旋式漸進上升過程，APOS學習理論認為，此時的高等數學概念已經在頭腦中形成為一種包含具體實例、抽象過程以及完整定義乃至與其他概念的區別與聯系在內的綜合心理圖式。概念的模型初步形成，要引導學習者遵循認知規律，不斷反復，螺旋式前進，橫向聯系，縱向比較，強化實際應用，最終形成比較穩定的綜合心理圖式。并把這種穩定的心理圖式置入更加立體化的高等數學概念網絡之中，逐漸形成穩定的高等數學知識結構網絡。比如學習了定積分的概念，形成圖式以后，要加強聯系，從定積分的形式上看，就是一種極限形式，逆向思維訓練，表明某一類極限可以利用定積分來求解，這正是研究生入學考試高等數學課程中的一類常見題型。通過分析怎么樣構造適當的“分割方式”、選取適當的積分區間和對應的“積分函數”，又增強了對定積分概念的理解。在筆者的實際教學中，某年級物理系的一名同學非常感興趣，用他的話來說，“真的感覺好奇妙，還可以做出不同函數在不同積分區間上的定積分”。這位同學在后來的全省高等數學非專業組競賽中獲得一等獎的佳績。

APOS學習理論和探究式教學方法都認為，數學概念的內化來自反復操作，在不斷反思的基礎上形成概念過程，概念過程靜態化凝聚成概念對象。特定的高等數學專題往往涉及許多的操作、對象和過程，需要進行組織和協調，進而形成一個連貫一致的概念框架，也就是APOS理論所說的綜合心理圖式階段。這種綜合心理圖式可以讓學習者在實際的數學問題情境中靈活使用所需的思維方式，真正提高學習者自主學習的能力、創新思維的能力、主動分析問題和解決問題的能力。