正弦定理教學設計

翁丹琪 謝陳祎奔

一、學習內容分析

本課選自《普通高中課程標準試驗教科書·數學必修5》（人教A版）。正弦定理是高中數學重要內容之一，是在學生學習了三角等知識之后，對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內容的直接延伸，起到承上啟下的作用，因而定理本身的應用又十分廣泛。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索，感受數學思維方法，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。

二、學習者分析

學生已經學習過平面幾何，解直角三角形，三角函數，向量等知識，有一定觀察分析，解決問題的能力，但對前后知識間聯系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。

三、教學重點難點

重點：通過對銳角三角形邊與角關系的探索，發現、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

難點：1.正弦定理的發現與證明過程；2.已知兩角和一邊，兩邊以及其中一邊對角解三角形

四、教學目標

1.知識與技能：通過對銳角三角形中邊與角關系的探索，發現正弦定理；掌握正弦定理的內容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡單的實際問題。

2.過程與方法：讓學生從實際問題出發，結合以前學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般，合情推理的方法發現并證明正弦定理。

3.情感態度與價值觀：培養學生處理解三角形問題的運算能力和探索數學規律的推理能力，并培養學生堅韌不拔的意志、實事求是的科學態度和勇于探索、勇于創新的精神。

五、教學過程

（一）復習舊知，導入新課

問題一：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系，我們是否能得到這個邊、角關系準確量化的表示呢？

師生活動：教師引導學生思考從初中所學的知識引出邊和角之間的量化關系。

（二）探索新知

問題二：由于我們不容易直接得到一般三角形中邊和角的關系，所以，我們先考慮直角三角形這種特殊情形。

師生活動：教師引導學生從特殊三角形直角三角形出發觀察思考直角三角形有什么邊與角的關系，學生結合圖形得到它們的關系。

教師歸納：

在Rt△ABC中，∠C是最大的角，所對的斜邊c是最大的邊，要考慮邊長之間的數量關系，就涉及到了銳角三角函數，根據正弦函數的定義：

板書：ac=sinA，bc=sinB。所以asinA=bsinB=c.又sinC=1，所以 asinA=bsinB=csinC。

問題三：那么，對于一般的三角形，以上關系式是否仍然成立呢？

師生活動：教師引導學生將直角三角形的結論應用到一般三角形的情況，學生分類討論對于銳角三角形和鈍角三角形以上式子是否成立。

教師歸納：

如圖，當△ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據三角函數的定義：

板書：CD=asinB，CD=bsinA，所以asinB=bsinA，得到asinA=bsinB.

同理，在△ABC中， bsinB=csinC.

同理得到鈍角三角形的證明。

教師歸納：從上面的討論和探究得到以下定理。

板書：

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即：asinA=bsinB=csinC.

問題四：是否可以用其他方法證明正弦定理？

師生活動：教師引導學生展開思考，結合之前學過的各種知識得出正弦定理。

（三）剖析定理，加深理解

板書：

解三角形：一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。

問題五：我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？

師生活動：教師設計兩個例題，引導學生得出①已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角；②已知兩角和一邊，求其他角和邊。

（四）課堂練習，鞏固提高

例1、已知a=16，b=163，A=30°，解三角形。

例2、在△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，解三角形。

師生活動：學生

（五）復習小結，深化內涵

問題6：這節課你學到了什么？

師生活動：教師鼓勵學生積極回答，請學生小結學習了本節課有什么收獲，其他同學進行補充，然后教師根據學生回答進行概括補充。

教師歸納：

主要內容有：

（1）正弦定理：asinA=bsinB=csinC

（2）正弦定理應用范圍：

①已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。

（六）課后思考

問題六：已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊和角時，三角形在什么情況下有一解，二解，無解？

師生活動：學生課后思考。