2015年高考數學試題評析

本刊特約數學試題評析組

今年全國各地的高考數學試卷，整體結構與知識分布相對穩定，分值與往年相同，并沿用多年的命題風格。試卷在對基礎知識、基本技能和思想方法全面考查的同時，還力求創新，突出對學生實踐能力的考查，要求積極探索，運用已有的數學知識、方法和技能解決有關問題。概觀今年全國各地高考試卷，有許多經典試題，但也存在個別有爭議的試題。

一、值得肯定的試題

例1 （湖北文科卷第2題）：我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（B）

A134石 B169石 C338石 D1365石

【答案】B。

【解析】本題主要是按比例進行計算即1534x=25428x≈169。

例2 （全國Ⅱ卷理科第8題）：右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”。執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a = 。

A0 B2 C4 D14

【答案】B。

【解析】本題既可以利用算法，通過不斷地賦值得出最終的答案，又可以利用對“更相減損術”的理解來解題。

方法1：利用算法解題即程序在執行過程中，[WTBX]a，b的值依次為a=14，b=18；b=4；a=10；a=6；a=2；b=2，此時a=b=2程序結束，輸出a的值為2[WTBZ]，故選B。

方法2：“更相減損術”是用來求兩個數的最小公倍數的方法，題中給出14與18，其最小公倍數為2，故直接得出答案。

【點評】這兩道題分別選自中國古代數學專著《數書九章》和《九章算術》。兩道題的解法簡單，卻滲透著中國古代的數學文化，兩道題都強調中國古代數學文化的傳統特色，使學生在做題過程中，潛移默化地接受我國古代傳統文化的熏陶，感受中華優秀文化傳統的博大精深。

例3 （北京文科卷第14題）：高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績、數學成績與總成績在全年級中的排名情況如下，甲、乙、丙為該班三位學生。

從這次考試成績看，

①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是： ；

②在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是： 。

【答案】乙，數學。

【解析】①題由圖可知，甲的語文成績排名比總成績排名靠后，乙的語文成績排名比總成績排名靠前，故填“乙”。

②題由圖可知，比丙的數學成績排名靠后的人比較多，而總成績的排名中比丙排名靠后的人數比較少，所以丙的數學成績的排名更靠前，故填“數學”。

【點評】本題突出對圖形、圖表語言運用能力的考查。它要求考生從圖表中獲取信息，并進行信息整合、邏輯推理，從而得出答案。該題既體現了數學中“數形結合”的思想，同時又重視考查考生解決實際問題的能力。

例4 （全國Ⅱ卷理科第19題）：如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求直線AF與平面α所成的角的正弦值。

【解析】（1）如圖[WTBX]

（2） 如圖以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則A10，0，0，F（0，4，8），E（10，4，8），G（10，10，0），H（0，10，0）， FE=（10，0，0），EG=（0，6，[JP2]-8），設平面α的法向量為[AKm→D]=（x，y，z），則[AKm→D]·FE=0且[AKm→D]·EG=0，即10x=06y-8z=0，令y=4，則x=0，z=[JP2]3，故[AKm→D]=（0，4，3），又有AF=（-10，4，8），cos〈AF，[AKm→D]〉=-10×0+4×4+8×3（-10）2+42+82×02+42+32=4515，設直線AF與平面α所成角為θ，則sin θ=cos〈AF，[AKm→D]〉=4515，即直線AF與平面α所成角的正弦值為[SX（]4[KF（]5[KF）][]15[SX）]。

【點評】本題以長方體為載體，通過對問題的分層設計，綜合考查了學生對于面面平行、面面垂直的理解與應用，以及直線與平面所成角的求法，本題緊扣教材，符合新課程標準的特點。問題（1）考查學生對面面平行性質定理的理解和應用，同時考查學生的動手操作能力。問題（2）求直線AF與平面α所成角的正弦值，是立體幾何中常規的求空間角問題，學生對此類題目較熟悉，容易入手。問題（2）既可以采用傳統幾何的方法，通過作輔助線尋找直線AF與平面α所成角求解，也可以建立空間直角坐標系，應用空間向量的坐標運算解決線面成角問題。這一問處理方法比較靈活，適合不同層次的考生解答。但是本題問題的設計有別于以往證明平行、垂直問題的方式，本題既考查了立體幾何中基本思想與方法的運用能力，又考查了學生的實際操作能力。因此，該題能有效檢測學生的數學綜合素質。[WTBZ]

例5 （江蘇卷第17題）：某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5 km和40 km，點N到l1，l2的距離分別為20 km和25 km，以l1，l2所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數y=[SX（]a[]x2+b[SX）]（其中a，b為常數）模型。

（1）求a，b的值。

（2）設公路l與曲線C相切于點P，P的橫坐標為t。

①請寫出公路l長度的函數解析式f（t），并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度。

【解析】本題第一問求a，b的值，需要兩個式子，所以到圖形中尋找兩個已知點的坐標，點M，N的坐標分別為（5，40），（20，25），將其分別代入y=ax2+b解得a=1000b=0。

（2）①由上一問題知y=1000x2（5≤x≤20），則點P的坐標為（t，1000t2），設在點P處的切線l分別交x，y[JP2]軸于A和B兩點，y′=-2000x3，則l的方程為y-1000t2=-2000t3（x-t）， 由此得A（3t2，0），B（0，3000t2）。

故f（t）=（3t2）2+（3000t2）2=32t2+4×106t4，t∈5，20。

②設g（t）=t2+4×106t4，則g′（t）=2t-16×106t5。令g′（t）=0，解得t=102。

當t∈（5，102）時，g′（t）<0，g（t）是減函數；當t∈（102，20）時，g′（t）>0，g（t）是增函數。從而，當t=102時，函數g（t）有極小值，也是最小值，所以g（t）min=300。此時f（t）min=153。

答：當t=102時，公路l的長度最短，最短長度為153 km。

【點評】本題一方面考查了函數的概念、導數的幾何意義及其應用，另一方面又考查了運用數學模型及數學知識分析、解決生活中實際問題的能力。從整道試題來看，g′（t）=2t-16×106t5=0方便計算，目的數據是精心設計的，以便讓學生有更多的時間思考解決問題的策略，而不是糾纏于煩瑣的計算上。更為可貴的是，本題結合實際交通問題，要求學生建立數學模型，適度創新，運用所學的數學知識分析問題，完成山區公路設計，使學生認識到，數學知識可以解決實際問題。

二、值得商榷的試題

例6 （江蘇卷第14題）：設向量ak=（coskπ6，sinkπ6+coskπ6）， （k=0，1，2，…，12），則∑11k=0（ak·ak+1）的值為 。

【答案】93。

【解析】方法1：本題要求∑11k=0（ak·ak+1）的值，學生很容易想到先算出akak+1的表達式，然后令表達式中的k從0取到11，對表達式進行求和。

[HT5，6。5]

akak+1=[HT5，6。5]（coskπ6，sinkπ6+coskπ6）·（cos（k+1）π6，sin（k+1）π6+cos（k+1）π6）

=[HT5，8。]

coskπ6cos（k+1）π6+（sinkπ6+coskπ6）（sin（k+1）π6+cos（k+1）π6）

=[HT5，6。5]2coskπ6cos（k+1）π6+sinkπ6sin（k+1）π6+coskπ6sin（k+1）π6+coskπ6cos（k+1）π6

=[HT5，6。5]coskπ6（coskπ6cosπ6-sinkπ6sinπ6）+cos（kπ6-（k+1）π6）+sin（kπ6+（k+1）π6）

=32cos2kπ6-12sinkπ6coskπ6+32+sin（2k+1）π6

=34coskπ3+12-14sinkπ3+32+sin（2k+1）π6

=334+12cos（2k+1）π6+sin（2k+1）π6

∑11k=0（ak·ak+1）=334×12=93。

方法2：

2coskπ6cos（k+1）π6+sinkπ6

sin（k+1）π6+coskπ6·sin（k+1）π6+coskπ6cos（k+1）π6，對于這一步，我們可以用積化和差公式來進行化簡，積化和差公式如下：

sin αcos β=[SX（]1[]2[SX）][sin（α+β）+sin（α-β）]

cos αsin β=[SX（]1[]2[SX）][sin（α+β）sin（α-β）]

cos αcos β=[SX（]1[]2[SX）][cos（α+β）cos（α-β）]

sin αsin β=[SX（]1[]2[SX）][cos（α+β）cos（α-β）]

那么2coskπ6cos（k+1）π6+sinkπ6sin（k+1）π6+coskπ6sin（k+1）π6+coskπ6cos（k+1）π6

=334+12cos（2k+1）π6+sin（2k+1）π6

這樣就避免了先用三角和差公式，再用降冪公式所進行的煩瑣計算。

∑11k=0（ak·ak+1）=334×12=93。

【點評】本題主要考查向量的數量積和三角函數的性質，本題作為試卷填空題的壓軸題，過于簡單，思維含量不高，只是考查了學生的運算能力。本題用方法1計算量很大，學生不容易解出來，用積化和差公式解答本題非?？旖?，但是2015年江蘇省數學考試說明中明確規定：學生并不需要掌握積化和差公式。也就是說，積化和差公式不在2015年江蘇高考的范圍內。因此，該題有超綱之嫌。

[WTBZ]

例7 （江蘇卷第18題）：如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），且右焦點F到左準線l的距離為3。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于 點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程。

[WTBX]

【答案】（1）x22+y2=1；（2）y=x-1或y=-x+1。

【解析】（1）求橢圓的標準方程，只要列出兩個方程即可：一是離心率的式子，另外一個是焦點到準線的距離的式子即可求出橢圓方程x22+y2=1。

（2）方法1：求直線AB的方程，已知直線過定點，所以選擇直線方程的點斜式進行計算。當ΑΒ⊥x軸時，ΑΒ=2，又CΡ=3，不合題意；當ΑΒ與x軸不垂直時，設直線ΑΒ的方程為y=k（x-1），?。▁1，y1），Β（x2，y2），將ΑΒ的方程代入橢圓方程，得[JP2]（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，則x1，2=2k2±2（1+k2）1+2k2，C的坐標為[HT5，5"]2k21+2k2，-k1+2k2，且ΑΒ=[KG-*2][HT5，5"]x2-x12+y2-y12=1+k2x2-x12=221+k21+2k2

若k=0，則線段ΑΒ的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意從而k≠0，故直線ΡC的方程為y+[HT5，6]k1+2k2=-1kx-2k21+2k2，則點Ρ的坐標[HT5，6]-2，5k2+2k1+2k2，從而ΡC=23k2+11+k2k1+2k2因為ΡC=2ΑΒ，所23k2+11+k2k1+2k2=421+k21+2k2，解得k=±1，此時直線ΑΒ的方程為y=x-1或y=-x+1。

方法2：AB為焦點弦，所以可以用圓錐曲線第二定義求焦點弦長，設?。▁1，y1），Β（x2，y2），AB=AF+[JP2]BF，由圓錐曲線第二定義知AF2-x1=22AF=2-22x1 ，BF2-x2=22BF=2-22x2 ，AB=22-22（x1+x2）。

當ΑΒ⊥x軸時，ΑΒ=2，又CΡ=3，不合題意。

當ΑΒ與x軸不垂直時，設直線ΑΒ的方程為y=kx-1，中點Cx0，y0，則直線PC的方程為

y-y0=-1kx-x0，PC=1+1k2（x0+2）。

將ΑΒ的方程代入橢圓方程，得1+2k2x2-4k2x+2k2-1=0，

x1+x2=4k21+2k2x0=2k21+2k2，AB=22-22（x1+x2）=22-2x0=2（2-x0）

ΡC=2ΑΒk4-2k2+1=0k2=1k=±1

此時直線ΑΒ的方程為y=x-1或y=-x+1。

【點評】本題主要考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關系，第一問很簡單，第二問因為直線AB過點F，所以求直線AB的方程即需要求直線的斜率，本題關鍵是根據PC=2AB列出關于斜率的等量關系，有一定的運算量，答案的解法即方法1是用求根公式做本題，這樣運算量很大。而將ΑΒ的方程代入橢圓方程，得1+2k2x2-4k2x+2k2-1=0，則x1，2=2k2±21+k21+2k2，C的坐標為2k21+2k2，-k1+2k2，且ΑΒ=x2-x12+y2-y12=1+k2x2-x12=221+k21+2k2，換成用韋達定理x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2ΑΒ=x2-x12+y2-y12

=1+k2x2-x12

=221+k21+2k2。

計算簡單很多，或者用方法2計算起來也很快捷，但是考綱上明確指出，對韋達定理不做考試要求。因此，該題也有超綱之嫌。

例8 （湖北卷理科第14題）：如圖，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2。

（1）圓C的標準方程為 ；

（2）過點A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，下列三個結論：

①[SX（]NA[]NB[SX）]=[SX（]MA[]MB[SX）]；②[SX（]NB[]NA[SX）]-[SX（]MA[]MB[SX）]=2； ③[SX（]NB[]NA[SX）]+[SX（]MA[]MB[SX）]=2[KF（]2[KF）]。其中正確結論的序號是 （寫出所有正確結論的序號）。

【答案】（1）（x-1）2+（y-[KF（]2[KF）]）2=2；（2）①②③。

【解析】（1）設圓心T（1，0）（r為圓的半徑），因為AB=2，所以r=12+12=2，圓心C（1，2），故圓的方程為（x-1）2+（y-2）2=2；

（2）本題是求過點A任作一條直線都成立的結論，所以選擇特殊值法。取過A的直線MN方程為x=0，聯立方程組[HT5，8。]（x-1）2+（y-2）2=2x=0x=0y=2-1或x=0y=2+1，

因為B在A的上方，所以[JP2]A（0，2-1），B（0，2+1）。

令直線MN方程為x=0，此時M（0，-1），N（0，1）MA=2，MB=2+2，NA=2-2，NB=2，代入計算得知①②③都成立。[WTBZ]

【點評】本題學生用以上解法很容易選出答案，作為壓軸題，過于簡單，且考查面偏小。學生看完題目，首先會選擇用平面幾何知識結合圓錐曲線去解題，但是發現很困難，其次會嘗試用設點表示直線或設斜率來做，發現計算量太大，于是選擇特殊值法，問題迎刃而解。這么容易解答出了試卷的第14題，這樣的試卷結構有失合理性。

通過對2015年高考全國各地數學試卷、尤其是對上述8道試題的分析，筆者得到了許多教學啟示。其中主要有以下幾個方面：第一，在平時的教學中，應引導學生注重對教科書基本知識點的理解、掌握。第二，日常教學中要加強對學生計算能力的訓練，一方面，要提高計算的速度；另一方面，要提高計算的準確率。第三，在日常訓練中，要強化解題過程的規范性與完整性。第四，注重圖表語言理解能力的培養，引導學生注重數形結合的數學基本方法的理解與應用