《高等數學》教學中的猜想性思維

[摘要]高等數學是大學數學的重要組成部分，也是理工科專業學生的專業基礎課之一。高等數學的教學不僅是知識的灌輸，而應該在教學過程中，既傳授豐富的知識，又傳授基本的數學思想方法，讓學生學會去“想數學”，學會運用數學思想方法，獲得終身受益的思想方法.猜想性思維的學習與掌握更是終身受益的能力之一。

[關鍵詞]高等數學 思維 猜想

面對信息社會迅猛增長的知識量，培養學生獲取知識的智能及能力就顯得更為重要。只有在掌握了堅實的理論知識前提下，學生才能做到融會貫通、舉一反三。在加強理論教學的同時，應重視學生智能和自主學習能力的培育。自學能力是一個人運用已學知識，不依賴或少依賴他人的幫助而獨立獲取知識、掌握知識和運用知識的能力，是一種綜合能力。

當一門科學真正被把握且具有某些素質的時候，人們不一定當初就具備了這些素質，而往往在把握的過程中有可能形成這些素質.正是在這個意義上，人們把數學的學習稱為思維的體操.你經常做數學訓練，就是讓你的思維做著體操.在高等數學知識體系中，許多的數學思想方法都蘊涵在大量的概念、定理、法則與解題過程中.所以，高等數學的教學不僅是知識的灌輸，而應該在教學過程中，既傳授豐富的知識，又傳授基本的數學思想方法，讓學生學會去“想數學”，學會運用數學思想方法，獲得終身受益的思想方法.

猜想是對研究的對象或問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯想、類比、歸納等，依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想象的思維形式.猜想是一種合情推理，屬于綜合程度較高的帶有一定直覺性的高級認識過程.對于數學研究或者發現學習來說，猜想方法是一種重要的基本思維方法.正如波利亞所說：“在你證明一個數學定理之前，你必須猜想到這個定理，在你弄清楚證明細節之前，你必須猜想出證明的主導思想.”因此，研究猜想的規律和方法，對于培養能力、開發智力、發展思維有著重要的意義.

數學猜想是在數學證明之前構想數學命題的思維過程.數學事實首先是被猜想，然后是被證實.那么構想或推測的思維活動的本質是什么呢？從其主要傾向來說，它是一種創造性的形象特征推理.就是說，猜想的形成是對研究的對象或問題，聯系已有知識與經驗進行形象的分解、選擇、加工、改造的整合過程.黎曼關于函數 （其中z=x+iy）零點分布的猜想；希爾伯特23個問題中提出的假設或猜想等都是數學猜想的著名例子.這些猜想有些是正確的，有些是不正確的或不可能的問題，它們已被數學家所證明或否定或加以改進；有些則至今仍未得到解決.但是所有這些猜想或問題吸引了無數優秀的數學家去研究，成為推動數學發展的強大動力.

數學猜想和數學證明是數學學習和研究中的兩個相輔相成互相聯系的方面.波利亞提出，在數學教學中“必須兩樣都教”，即既要使學生掌握論證推理，也要使他們懂得合情推理.“會區別有效的論證與無效的嘗試，會區別證明與猜想”，“區別更合理的猜想與較不合理的猜想”.因此，掌握數學猜想的一些基本方法是數學教學中應予以加強的一項重要工作.

嚴格意義上的數學猜想是指數學新知識發現過程中形成的猜想.例如非歐幾何產生過程中的有關猜想以及上面談到的一些猜想例子都屬于這一類.但是這些猜想并不能在短時間內形成.它們實際上來源于廣義的數學猜想，即在數學學習或解決問題時展開的嘗試和探索，是關于解題的主導思想、方法以及答案的形式、范圍、數值等的猜測.不僅包括對問題結論整體的猜想，也包括對某一局部情形或環節的猜想.在這種意義上，數學猜想的一些基本形式是：類比性猜想、歸納性猜想、探索性猜想、仿造性猜想及審美性猜想等.它們同時反映了數學猜想的一些基本方法.

類比性猜想是指運用類比方法，通過比較兩個對象或問題的相似性，得出數學新命題或新方法的猜想.常見的類比猜想方法有形象類比、形式類比、實質類比、特性類比、相似類比、關系類比、方法類比、有限與無限的類比、個別到一般的類比、低維到高維的類比等.

歸納性猜想是指運用不完全歸納法，對研究對象或問題從一定數量的個例、特例進行觀察、分析，從而得出有關命題的形式、結論或方法的猜想.

探索性猜想是指運用嘗試探索法，依據已有知識和經驗，對研究的對象或問題作出的逼近結論的方向性或局部性的猜想.也可對數學問題變換條件，或者作出分解，進行逐級猜想.探索性猜想是一種需要按照探索分析的深入程度加以修改而逐步增強其可靠性或合理性的猜測.探索性猜想與探索性演繹是相互交叉前進的.在對一個問題的結論或證明方法沒有明確表達的猜想時，我們可以先給出探索性猜想，再用探索性演繹來驗證或改進這個猜想；在已有明確表達的猜想時，則可用探索性演繹來確定它們的真或假.

仿造性猜想是指由于受到物理學、生物學或其他科學中有關的客觀事物、模型或方法的啟示，依據它們與數學對象或問題之間的相似性作出的有關數學規律或方法的猜想.因此，模擬方法是形成仿造性猜想的主要方法.例如，由物理學的表面張力實驗猜想等周問題的極值；從光的反射規律猜想數學中有關最短線的解答；從力的分解與合成猜想有關圖形的幾何性質；由拋射運動來猜想和解決有關拋物線的幾何性質等都是仿造性猜想的典型事例.

審美性猜想是運用數學美的思想——簡單性、對稱性、相似性、和諧性、奇異性等，對研究的對象或問題的特點，結合已有知識與經驗通過直觀想象或審美直覺，或逆向思維與悖向思維所作出的猜想.例如，困難的問題可能存在簡單的解答；對稱的條件能夠導致對稱的結論以及可能運用對稱變換的方法去求解，如奇函數在對稱區域上的積分為零；相似的對象具有相似的因素或相似的性質，導數、定積分的本質都是極限，因此它們的一些運算法則與極限運算法則相同；和諧或奇異的構思有助于問題的明朗或簡化等均屬此列.審美性猜想也與其他猜想一樣，可以根據具體情況猜想出問題的結論或者問題的解法等.

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（作者單位：商丘師范學院河南商丘）