數形結合思想在初中數學反比例函數中的應用

曹小鋼

摘 要：數形結合思想主要指的是將數學知識中的幾何問題與代數問題結合起來考慮，既能發揮幾何知識的直觀性，又能發揮代數知識的嚴密性，充分地將兩者的優勢結合起來，從而幫助學生快速解決數學問題，并且在應用的過程中形成嚴密的邏輯思維，從而能夠深入地了解數學的內在智慧，將數學知識融會貫通。將從具體的例題出發，簡要談談數形結合思想在初中數學反比例函數中的應用。

關鍵詞：數形結合思想；初中數學；反比例函數

恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學?！睌敌谓Y合從某種意義上說，就是將數學問題之間的條件與結論進行一定的聯系，將數學問題中的代數知識和幾何知識運用、體現出來，將代數的準確性以及幾何的直觀性都充分地表現出來，將這些考慮問題的手段有效地結合在一起，從而促進數學解題思路的拓展與提升，從而將數學問題的難度降低，幫助學生更輕松、更直觀地進行解題。反比例函數自身就是一種幾何與代數知識的結合，因而在進行反比例函數解題的時候，我們應當盡量多地利用數形結合思想，將初中數學反比例函數中的問題更好地解決。

例1.已知圓柱的側面積是20π cm2，若圓柱底面半徑為r cm，高為h cm，則h關于r的函數圖像大致是（ ）。

我們根據已知數據并且結合圓柱的側面積表達公式即：s=2πrh，并且2πrh=20，那么我們就可以得到h=10/πr，因此我們可以知道π與r之間是反比例關系，在解決實際問題的時候，我們還應當關注題目的實際應用，即r作為半徑應當有一個潛在的取值范圍即r>0，那么我們就可以知道h與r之間的反比例函數關系圖象一定是在第一象限，通過已有知識的掌握，聯系現實實際，我們可以將問題答案成功地求出來。在這里，我們應用到的知識主要是反比例函數的定義，即，一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=k/x（k為常數，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數。我們通過圓柱側面積的表達公式，并將題目中已經掌握的信息利用起來，求出h與r之間的關系，發現與反比例函數的定義相符，那么我們就可以判定這肯定是一個反比例函數圖象，接著，我們就可以確定答案為A。當然，這道題目中的解題思考進行概括和升華之后可以是這樣的：我們在進行解題時，應當先找出兩個變量之間的關系，根據這個關系式我們可以畫出相應的函數圖象，從而能夠歸納出相應的圖象特征，并找到相應的函數圖像。

例2.如圖：A、B是雙曲線一個分支上的兩點，且B（a，b）在點A的右側，則b的取值范圍是—（ ）。

根據題目中的圖像所示，我們可以得出A點的坐標為（1，2），同時我們知道B點也是這個雙曲線一個分支上的一點，因此點B的坐標可以利用雙曲線的函數關系式表達成為（a，2a），又因為點B位于點A的右側，那么我們可以根據反比例函數圖象在第一象限中的變化規律得出y隨著x的增大而減少的結果，因此我們可以得出a一定大于1，且b一定小于2，b一定大于0，也就是b大于0且b小于2。在這道題目的解題過程中，我們主要運用的解題思路是結合我們已知的條件，從圖象中尋找有用的相關信息，從而能夠將已知條件轉化為要求的目標，只有充分地結合圖像，我們才能將所有的條件都考慮完整，不會將“b在第一象限，所以一定大于0”的信息給忽略掉，從而得出更為準確的答案。

總而言之，反比例函數作為一種重要且有效的數學解題手段，我們應當幫助學生在數學思維養成的過程中逐步學會這種思維手段，并將其熟練地運用到數學解題過程中去。對于反比例函數中比較突出的問題，包括比較大小、通過應用題目確定數值關系式等，我們應當運用數形結合的解題思想進行解題，從而達到事半功倍的解題效果，實現反比例函數的優質解題。

參考文獻：

[1]李浩明.數形結合在反比例函數中的應用[J].語數外學習，2008（6）.

[2]雷祥紅.與反比例函數大小有關的大小比較：感悟數形結合思想的應用[J].中學課程輔導，2007（2）.