關注幾何證明，培養邏輯思維
——幾何證明中分析條件，研究求證，規范過程

馬 雯

（南京市棲霞區攝山初級中學，江蘇 南京）

一、幾何證明在初中數學學習中的重要地位

學生在小學就已經初步接觸過幾何，到了初中階段，不僅要求學生進一步掌握這些圖形的相關性質，還要在概念與性質基礎上進行“推理與證明”。根據《義務教育數學課程標準》，7至9年級這一學段，“圖形與幾何”是非常重要的一部分，而其中的“推理與證明”更是數學的標志性思維方式，學生在七年級就要開始培養“合情推理”的能力。

二、從“已知”到“求證”，再從“求證”到“已知”

1.對已知條件的充分分析，具備一定的“聯想發散”能力

著名數學教育家波利亞的解題理論告訴我們——解題要做到“七分構思（讀題，審題，發散，歸納），三分表述（書寫，運算，訂正，反思與回顧）”。因此解題無外乎就是建立從已知到未知的橋梁，而這個橋梁必須承載著教材中的定理、定義以及公式，整個過程中最難的無外乎找對出路，正確搭橋。這就要求我們的學生掌握點對點之間聯系的能力，就是我們所謂的“聯想發散”。

如，我們在講解“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”這一性質時：

例 1.如圖 1，已知 OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，求證PA=PB

師：我們來分析一下，首先由第一個已知條件OP平分∠MON你能得到什么？

生：角之間的大小關系，∠MOP=∠NOP

師：那由第二個已知條件PA⊥OM，PB⊥ON，你又能得到什么？

生：∠PAO=∠PBO=90°

……

圖1

通過師生這樣的對話，在無形間引導學生的思維，學生能夠在教師的“問題”下慢慢形成思考問題、分析問題的一種模式，從而由表及里學會分析已知條件，挖掘更多隱藏的條件。

2.對求證內容的精準把握，具備一定的“逆向推導”能力

“證明”對學生來說應該是比“推理”簡單得多，因為要求我們證明的結論一定是正確的，這相當于多給了我們一個已知條件，有的時候我們從“已知”到“求證”較為困難的時候，不妨可以調換順序，從“求證”出發，依據數學中的定義、定理進行轉化，一步一步向已知條件“倒推”，直至最后能夠聯系到一個給出的已知條件。

例 2.如圖 2，已知∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D，求證∠A=∠F。

師：本題中我們要證明∠A=∠F，也就是要證明什么？

生：AC∥DF。

師：那證明兩直線平行，我們一般是通過什么？

生：角之間的相互關系。

師：那證明∠C+∠DEC=180°就是證明什么？

生：∠D+∠DEC=180°（等量代換）

師：已知條件中有嗎？沒有的話，如何繼續轉化？

生：也就是證明BD∥CE。

師：也就是證明什么？

生：∠1+∠2=180°

……

圖2

本題中在面臨第二次由AC∥DF轉化到∠C+∠DEC=180°的時候，由于本題中還存在內錯角，可能不少學生會轉化成∠ABD=∠D或者∠C=∠CEF，這種轉化當然也是可以的。不過不少題目中，如果你轉化時，“選擇”不恰當，會多走彎路，甚至走進死胡同。因此我們在轉化時有一個原則——盡量向已知靠攏，這樣才能盡快地轉化到最終的已知條件。

這種“逆向推導”能力非常符合我們數學最近比較流行的“需求理論”，從我所需求的出發，將未知一步步向已知靠攏，最后能得到一個已知的條件或已知條件的推論。

3.規范解題，具備幾何證明的“邏輯性”

即便掌握了已知與求證的雙向關系，不少學生還是拿不到滿分。是不是課堂上我們演示出一個規范的解題過程就夠了呢？當然，我們不能否認一個規范的演示過程對學生發揮著一定的作用，學生在不太了解證明的時候，一開始只能“依葫蘆畫瓢”，但可惜模仿跟理解之間的差距還是很大的，因為他們根本就不知道什么是解題的規范性，什么是“因為”與“所以”之間的邏輯性。關于邏輯性是否斷開的問題，我們可以以下面這個學生對例2的部分證明過程為例。

生：∵∠1＝52°，∠2＝128°（已知）

∴BD∥CE（同旁內角互補，兩直線平行）不少教師簡單地認為這一學生的解題過程錯在“跳步驟”，而筆者認為“因為所以”之間缺乏邏輯性，錯在學生不理解什么是“同旁內角互補，兩直線平行”。

既然平行是通過兩個角的數量關系得到的，我們就必須呈現這兩個角的關系，而不是僅僅呈現這兩個角的大小。

應改為：∵∠1＝52°，∠2＝128°（已知）

∴∠1+∠2=180°

∴BD∥CE（同旁內角互補，兩直線平行）

“證明”作為初中數學學習中的一個重要里程碑，是基礎的又是重要的，基礎在于我們必須掌握這個技巧，才能達到解題的目的。而重要體現在它不僅要求我們規范解題，還提供了我們很多數學的思想方法，讓我們提升了自我的數學修養，從中體會到數學之美。