透視核心概念 溯源數學本真
——《小學數學教材中的大道理——核心概念理解與呈現》研讀與感悟

◇劉愛東

《小學數學教材中的大道理——核心概念的理解與呈現》一書由華東師范大學張奠宙教授和杭州師范大學鞏子坤教授等著（以張教授在本刊所發“評論與建議”文章為主——編者注）。之所以取這個名字，是因為“雖然小學數學的學習難度不大，但它背后所依靠的道理并不小”。書中內容緊緊圍繞數學核心概念的理解，就目前課程標準和小學數學教材中“有所欠缺的”“一些流傳很廣的認識和表述”，或從知識的濫觴處追根溯源，或從數學的本真處正本清源，或從教學的實際應用中辯證厘析，鞭辟入里、以理服人，其最終目的在于通過對小學數學核心概念的深度剖析，經由教師的教學“讓孩子們獲得更好的數學素養”。既有專家居高望遠的引領，又有根植教學一線的實證相佐，是一本不可多得的好書。

一 追根溯源，立足數學歷史大空間

數學發展史告訴我們：一個個體的發育史會重蹈其種族的發展史。 其表現在數學學習中，就是學生學習數學的認知過程與數學史的發展過程相似。為了厘清概念本質、促進學生發展，張奠宙教授十分注重從數學文化的高度，用數學發展的眼光引導教師開發教材，推陳出新。

在讀到對于“方程”概念的表述時，張教授從“方程”一詞的來源進行數學史的考證，發現該詞在西方是沒有的，西方只有“等式”。該詞來源于《九章算術》中的解線性方程，“方”是指把線性方程組的系數排列成一個方陣，“程”的意思是按照一定的程式進行運算，最后把未知數找出來，兩個字合起來意為系數按照一定的程式進行運算的過程，而非教材上所定義的“含有未知數的等式叫方程”。 因此，他建議教材要淡化方程的定義。他認為，學習方程的關鍵在于“理解方程思想的本質以及它的價值和意義”，而方程的本質是“為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的相等關系”，其核心價值是“為了尋求未知數”。這樣的分析有理有據，對于一直被“x＝1 是不是方程”折騰的一線教師而言，無疑具有十分重要的指導意義，因為x＝1 中未知數是幾已經很清楚了，無須再去“尋求”，而且沒必要進行這種毫無意義的自我折騰。

有了這樣全新的認識，教學中，我改變傳統教學中著重于以“含有未知數”“等式”為重點的定義，而是圍繞“為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起等式關系”這一方程思想重構教學過程，數學價值更加凸顯。具體分三步：

第一步，通過認識已知數和未知數讓學生明白，今天的學習是研究未知數和已知數之間的一種特殊關系。

第二步，在已知數和未知數間建立關系。給出一組已知數和未知數之間的數量關系，如x－30＜108、x－20＞108、x－25＝108 等，讓學生明白，其中能幫助我們獲得未知數值的，即有“等量關系”存在的，叫作方程。

第三步，豐富內涵理解方程。借助天平，在天平的左邊放兩個梨，右邊放3 個蘋果，天平平衡。問：你能根據“2 個梨的重量＝3 個蘋果的重量”這個等式，分別知道每個梨和每個蘋果的重量嗎？

引導學生明白，僅有等量關系不一定能夠獲得未知數的值，僅有已知數也未必能獲得未知數的值，只有在未知數和已知數之間建立等量關系，并能借助已知數和等量關系獲得未知數的值，這樣的等量關系才是方程。

二 關注本質，基于教學邏輯大視野

交換律的本質是什么？為什么兩個加數（乘數）可以交換？怎樣的教學過程才能反映出交換律的本質？在閱讀本書之前，雖然也有相關思考，但一直以來離不開“兩個加數（乘數）交換位置，和（積）不變”的概念定義。

張教授在書中告訴我們，理解加法交換律應該基于加法的意義，“加法的本質是接著數，它來自于添加或合并的操作活動”。 這樣的論述讓我明白了“交換兩個加數”意味著兩個求和的過程是兩個不同的數數過程，如5+8 與8+5，前者是以5 為基礎接著往下數8 個，后者是以8 為基礎接著往下數5 個，雖然結果相同，但數的過程是有區別的，而這正是加法交換律的本質所在。同樣的，乘法交換律源于乘法的意義，即“求幾個相同加數的和的簡便運算”，以此得知，3×5 和5×3也是兩個不同的數數的過程，前者是3+3+3+3+3，數5 個3，而后者是5+5+5，數3 個5，雖然結果相同，但計算的過程是有區別的。

借鑒上述觀點，我在教學中作了一些改變與嘗試。比如，乘法交換律的教學，我把教材上踢毽子圖（如圖1）稍作改變，改成每排5 人，共3 排。引導學生據圖交流得出，橫著數，每行5 人，3 行共有5×3＝15（人）；豎著數，每行3 人，5 行共有3×5＝15（人）。因為結果都是15 人，所以有5×3＝3×5。這樣的設計，從乘法的意義出發學習乘法交換律，打破了學生普遍通過機械記憶的方法學習乘法交換律的困境。

圖1

像這樣從數學邏輯大視野的角度厘清知識脈絡關系，引導學生建構知識體系的例子，在書中還有很多。它昭示我們，小學數學并不小，只有從數學的本質出發，才能基于追尋數學根部知識，在引導學生不斷體驗數學方法、感悟數學思想中，有效建構數學知識體系，實現數學學習過程即知識自然生長過程的教學目標。

三 簡約深刻，促進數學思維大提升

翻開本書目錄，“建議將‘分數的基本性質’直稱為‘分數的相等性質’”“小數容易分數難，何必死死捆綁在一起”“面積測量的活動有點‘故弄玄虛’”等題目，讓我一下子感覺，在直白簡約的文字背后，既撓到了小學教學中有為思維而思維的“癢”處，又觸及了數學的本質，對于培養學生數學核心素養，促進數學思維的提升具有畫龍點睛的作用。

張教授認為，小學數學并不簡單，甚至具有很高的學術含量。如果僅就一些教育理念進行教學設計是走不遠的，許多內容必須從數學本質的揭示上進行梳理，才能設計出更符合學生思維發展的教學案例。像面積，很多教科書上的定義是“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”，而張教授則從日常生活經驗出發，分析得出，面積和長度一樣，是人與生俱來的直覺，其實質是用某一個小正方形的面積作為“1”，去度量平面或曲面上一塊區域大小的“數”，可以通過“把一個圖形用單位方格子填滿，再數出一共有多少個方格子，就知道它的面積是幾”，用這樣“數一數”的辦法求面積的大小。

根據這樣的思路，我沿著“建立面的概念：撫摸課桌、書本、黑板等物體的面”→“面有大有?。航o大小顯著不同的兩個空白圖形涂色比賽”→“多種方法比較面的大?。河^察法、重疊法、畫格子法”→“統一數據描述標準：用某一個標準（如一個小正方形格子）去度量面，把面的大小用數據描述出來”→“形成面積概念：把標準看作‘1’，這種新的計量即為‘面積’”的邏輯脈絡，凸顯面積的計量意義。毫無疑問，這樣的教學過程是對傳統教學的一次突破和超越，比簡單地圍繞教科書上的面積定義，緊扣“表面”“封閉”等字眼，更能深刻揭示面積的數學意義，更有利于學生數學思維的培養，且為后面平面圖形面積的計算奠定了堅實的基礎。畫1 個方格子看作“1”的數學思想，在學習體積的時候同樣能用，這樣的數學思想，將來學微積分時也能用上。