數學深度教學理論下的解題教學

紀定春 唐蓓蕾

摘 要：數學深度教學是數學思維的教學，是數學教育的重要任務.本文以一道高考函數最值題為例，通過問題并聯，引發深度思考;問題探究，激活數學深度思維;深入問題本質，感悟數學思想;推廣問題，促進知識遷移，培養創新意識，進而培養學生的一般性思維策略，優化數學思維品質.

關鍵詞：數學深度教學;解題教學;高考數學;函數最值

數學深度教學是數學思維的教學，是數學教育的重要任務.深度學習的概念，是在研究計算機科學、人工神經網絡、人工智能等方面時產生的.數學深度教學，將深度學習的概念進行了移植，把計算機領域的概念引入了數學教育.數學深度教學，從構成對象上講，應該包括“教師的深度教+學生的深度學+其它因子”.教師的“深度教”，就是要以學生的已有知識經驗、認知結構、認知特點等為基礎，科學合理地設計課程、創設情境、聯系已有經驗等，來建立學生新舊知識之間的聯系，促進新知的同化或順應.學生的深度學習，是指在教師的有效指導下，以高階思維的發展和關鍵能力的獲得為旨歸，強調認知、技能、情感等全方位參與和發展的一種整體性學習過程[1].數學深度學習，歸結起來就是要促進數學高階思維能力的發展，也就是要會思維（即：想問題）.然而，現行中學數學教學，多以淺層的“教”和淺層的“學”為主要“教”“學”方式.淺層的“教”表現為知識點的灌輸式教學，學生對知識的原理不理解，僅停留在機械記憶、表層理解和運用階段.淺層的學習，表現為“機械學習”，這種學習方式滿足于數學知識和數學經驗（或教訓）的簡單積累，缺乏系統的數學知識構建、數學問題之間的聯系、數學問題的表征、數學思想的頓悟等，這種數學知識的簡單累積方式，與數學的邏輯系統本質特征是相違背的.

數學問題是數學的心臟，數學思維能力的發展和思維品質的提升，離不開數學問題的解決，即解題.從布魯姆的知識分類理論來看，數學深度學習，表現為會分析、會評價、會創造性地理解和運用所學習的數學知識來解決數學問題.然而，很多學生對數學知識還停留在記憶、理解和應用階段，數學教育的目的不是塑造學生的思維模式，而是讓學生在數學的學習過程中學會自主思考.正如鄭毓信先生所講，要由“幫助學生學會數學地思維”轉向“通過數學學會思維”，后者所提倡的是“數學深度教學”的一個重要內涵，即應當由突出強調具體的數學方法和策略，轉變為注重一般性思維策略與思維品質的提升[2].學生數學一般性思維策略和思維品質的提升，雖說可以通過數學解題教學來實現，但這并非只是通過簡單、機械的解題教學能夠實現的，而是在長期的數學教學過程中，在講解問題之間聯系、剖析問題本質、掌握數學方法、滲透數學思想、推廣問題和方法等過程中實現的.鄭毓信先生認為，聯系、問題引領、交流與互動、學會學習是深度學習的重要環節.可見鄭先生強調知識之間的聯系性、問題引領、交流性以及會學習等[3].郭元祥先生認為，深度教學的根本基礎是知識觀和學習觀的深刻轉變，強調知識處理的充分廣度、充分深度和充分關聯度，突顯學習的豐富性、沉浸性和層進性[4].由此可見，郭先生強調知識之間的深度、廣度、關聯度、豐富性、滲透性和遞進性等.可見，他們都強調關聯性，因為這是深度教和深度學的基礎，這對數學解題教學具有深刻的啟發性.

數學解題教學要注重通過相似問題的“并聯”（聯系），形成問題串，引發學生深度思考;通過多視角對問題進行探究，激活學生的數學深度思維;通過探究問題的本質，感悟數學思想，優化學生的思維品質;通過問題推廣，促進知識遷移，培養學生的一般性思維策略、孕育創新意識.接下來，以一道一診試題為引例，然后將引例和一道高考三角函數最值試題并聯，通過對三角函數最值問題的探究，引發學生數學深度思考、激活數學深度思維、感悟數學思想、體驗一般性思維策略，進而優化其數學思維品質.

1 問題并聯，引發深度思考

問題并聯（聯系）作為深度學習的首要環節，對激發學生的深度思考和促進問題解決具有引導性作用.好的數學試題（問題）往往具有基礎性、綜合性、思路寬廣、切入點多、結構簡單、形式對稱等特征.其中，綜合性就是要求學生在問題的解決過程中要注重不同知識點之間的聯系.在數學解題教學中，單純的解題教學帶給學生的往往只是孤立的、單個試題的解法和數學解題活動經驗的簡單積累，缺乏系統性和關聯性，難以形成知識網絡，而策略型思維是建立在多種數學知識、方法、策略、思想等融匯貫通的基礎之上，因此，單純的數學解題教學難以實現數學知識的結構化和網絡化，這對培養學生的策略型思維是不利的.通過相似問題之間的并聯，可以將相互獨立的問題并聯起來，形成問題串和問題網，再通過對問題串試題進行對比、分析、識別、表征、評價引導學生發現試題的呈現方式、問題設置、問題結構等之間的異同點，以及問題解決方法的側重點，引發學生的深度思考，優化思維策略，進而提升一般性思維策略.

問題1 （瀘州市2017級第一次診斷試題第15題）當x=x0時，函數f（x）=cos2x+2sin（π 2+x）有最小值，則sinx0的值為.

問題2 （2018年高考全國Ⅰ卷理科第16題）已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.

分析 對問題1，通過誘導公式，可得f（x）=2cosx+cos2x.可見，該題和2018年高考全國Ⅰ卷理科第16題是相同類型的試題，只是在問題設置、函數名稱、函數奇偶性等幾個方面上存在差異.問題1的解決方案較多，如導數法（通性通法）、換元法、二次函數法等.同時，該試題也設置了陷阱，函數f（x）在取得最小值時，有兩個最小值點，然而很多學生只考慮到其中一種情況，遺漏了另外一個最值點，這一點在設計上實屬巧妙，因此，該題的得分率比較低.問題2的呈現方式較為直接，可以考慮通過統一三角函數名，然后利用導數解決;或是換元后轉化成冪函數，再用導數研究冪函數的最值;或先平方，后配湊，再利用四元均值不等式解決，所以該試題的切入點多、思路極為開闊.根據當年高考考生的反映，該試題的運算量較大，且不好確定函數的最值，因此得分率也比較低.

評注 通過對上面問題1，2的分析和對比，可以大膽猜測，瀘州市2017級診斷性試題第15題，極可能是由2018年高考全國Ⅰ卷理科第16題改編而成，只是在問題的設置等方面有所差異.這兩道試題都是非常優秀的試題，可以并聯起來研究和學習，通過對問題1的分析和解答，自然過渡到2018年高考全國Ⅰ卷理科第16題的分析和解答.問題2中的函數是奇函數，解題的思路和切入點比問題1更多，是一道優秀的高考試題，且該試題具有高等數學中函數凹凸性的背景，具有探究價值和推廣價值，這對培養學生的一般性思維策略和提升數學思維品質具有重要的意義.

2 問題探究，激活數學深度思維

問題是數學的心臟.數學深度思維的參與，離不開問題的引領和問題的探究.通過對問題的探究，讓學生的思維參與其中，從教師的思維主導轉向學生自發、主動的思維（想問題），這就是要從“幫助學生學會數學地思維”轉向“通過數學學會思維”，不是讓學生在數學課堂上跟著教師的思路和方法走，而是要讓學生主動地尋求方法，去猜測、去嘗試、去估算、去計算、去推理等，甚至讓學生去預測問題解決所要經歷的大致過程等，讓學生在主動探究問題的過程中，逐漸地激活數學深度思維，促進一般思維策略發展，提升思維品質.

2.1 導數法探究函數最值

導數法是研究函數最值（最大、最小值）、極值的通性通法，頗受學生的喜愛.但是在應用導數法解決問題的同時，也常會碰到一些問題，如運算量較大、計算易失誤、函數單調性難以判斷、多次求導（高階導數）、邏輯混亂等，特別是在多次求導之后，反過來判斷原函數的單調性時，時常出現錯誤.因此，在使用導數法研究函數性質時，需要講究一些策略，適度增加思維量，盡量減少運算量.

分析1 為了方便研究，由于函數f（x）=2sinx+sin2x是奇函數，顯然周期T=2π，不妨將函數限定在一個完整的區間上，如-π≤x≤π（注意：不妨假設，在后面的討論和計算中，不作特殊說明時，都限定在-π≤x≤π上討論），這樣可以通過研究函數的局部性質來了解周期函數的整體性質.

對函數f（x）求導數，可得f ′（x）=2cosx+2cos2x.統一函數名，然后因式分解，可得f ′（x）=2（cosx+1）·（2cosx-1）.

令f ′（x）=0，可得cosx=-1或cosx=1 2.

經驗證，當cosx=-1時，（x，f（x））不為函數f（x）的極值點，故cosx=1 2.

當cosx=1 2時，又因為-π≤x≤π，所以解得x1=-π 3，x2=π 3.

因為當-π≤x

當x1≤x≤x2時，有1 2≤cosx≤1;

當x2

所以函數f（x）在x1=-π 3處取得極小值，在x2=π 3處取得極大值.則f（-π 3）=-3 3 2.

根據函數f（x）是奇函數，所以有f（π 3）=3 3 2.

由閉區間上的連續函數必然存在最大值和最小值，還需要計算函數的端點值，然后比較大小，可得函數的最小值，顯然有f（-π）=f（π）=0，故函數的最小值為-3 3 2.

評注 該方法將函數的定義域固定在一個完整的周期上，可以通過對一個完整區間上（周期）函數性質的研究，來達到對函數整體性質研究的目的，這是研究周期性函數的常見方法.但是該方法的運算量偏大，特別是在統一函數名、因式分解、解三角函數方程等過程中，容易出現失誤，在對極值點的判定過程中，當cosx=-1時，不容易判別函數在該點是否取到極值.

2.2 統一函數名，巧用換元法

三角函數，特別是正弦函數和余弦函數，具有良好的性質，如奇偶性、周期性、有界性等，其中有界性是三角函數重要的特性，這對研究函數的最值（最大、最小值）具有重要的價值和意義.換元法是數學中常見的解題方法，常見的換元法有整體換元法、部分換元法等，通過換元可以有效地簡化運算、降低思維難度、促進問題的解答.

分析2 在分析1中，最繁瑣的就是解三角方程，這對學生的數學思維來說，無疑是一種挑戰，在現行高中，并不太重視解三角方程，而是注重于解決代數方程，那么是否可以不用解三角方程呢？可以.利用三角函數的恒等變形，先將三角函數名統一起來，然后利用換元法，將三角函數最值問題轉化為純粹的求代數最值問題.

先利用二倍角公式，將原函數化為f（x）=2sinx+2cosxsinx=2sinx（1+cosx），然后再利用三角恒等式“sin2x+cos2x=1”，這里顯然不能通過“sinx=±1-cos2x”來直接統一函數名，因為“sinx”的取值情況是不確定的，如何解決這個問題呢？可以考慮將函數f（x）的兩邊同時平方，再將計算出來的結果還原，這并不影響函數的最值.于是，將等式兩邊同時平方，可得f2（x）=4sin2x（1+cosx）2=4（1-cos2x）（1+cosx）2.

令cosx=t，顯然-1≤t≤1，原式化為求當-1≤t≤1時，求f2（t）=4（1-t2）（1+t）2的最小值.顯然，這是一個高次函數最值問題，可以用導數來研究其最值，這樣就可以避免解三角方程，此處不再給出具體的解答過程.

評注 該方法充分地考查學生的三角函數恒等變形、導數運算、求導方法等基礎知識點.先利用三角函數的恒等變形統一函數名，然后又用換元法，將解三角方程問題變成求閉區間上連續函數的最值問題，這就避免了解三角方程.值得注意的是，該方法對學生的數學思維和運算量的要求都比較高.

2.3 巧取平方，構造不等式法

不等式是高中數學重要的知識模塊，在高中數學和高考數學中占有重要的地位.縱觀近年高考試題的風格和題目的類型，不難發現，高考數學對不等式的考查，有逐年加強的趨勢.例如，選做題中就常常出現不等式的證明和求最值（條件最值）的試題，這類不等式試題看似形式簡單，實則靈活多變，考試的得分情況也不盡人意.因此，在高中數學的教學過程中，應該注重對不等式的講解和練習.

分析3 通過分析2，可以得出f2（x）=4（1-cos2x）（1+cosx）2，將等式的右邊因式分解，可得f2（x）=4（1-cosx）（1+cosx）3，將因子“（1-cosx）”前面湊一個系數“3”，再恒等變形，可知f2（x）=4 3（3-3cosx）（1+cosx）3.顯然，等式右邊因子“3-3cosx”和“3（1+cosx）”相加為定值“6”，考慮使用四元均值不等式，即

f2（x）=4 3（3-3cosx）（1+cosx）3

=4 3（3-3cosx）（1+cosx）（1+cosx）（1+cosx）

≤4 3·（3-3cosx+1+cosx+1+cosx+1+cosx 4）4

=4 3·（3 2）4

=27 4.

所以-3 3 2≤f（x）≤3 3 2.

故函數的最小值為-3 3 2.

當且僅當“3-3cosx=1+cosx”時，即當cosx=1 2時，等號成立.

評注 該方法主要考查三角恒等變形、均值不等式（四元）、“配湊”法等基礎知識和思想方法.四元均值不等式，實際上已經超出了高中數學所學知識的范圍，但是這對培養學生的思維能力和創新意識具有重要的價值.其實，學生可以通過已有的二元均值不等式的知識經驗，探索并證明四元均值不等式，如高中已經講過二元均值不等式xy≤（x+y 2）2，四元均值不等式是可以在此經驗的基礎上延伸出來的，不妨再來一組，如zw≤（z+w 2）2，利用不等式的運算性質，將兩個不等式相乘，可得xyzw≤（x+y 2）2（z+w 2）2，顯然不等式右邊用二元均值不等式，有（x+y 2·z+w 2）2≤（（1 2（x+y 2+z+w 2））2）2=（x+y+z+w 4）4，可得xyzw≤（x+y+z+w 4）4，如此下去，用歸納法就可以得到n元均值不等式，即a1a2…an≤（a1+a2+…+an n）n.這就需要學生具有良好的類比推理、邏輯運算以及大膽猜測、敢于探索等數學綜合能力素養.由此可見，該方法對學生的思維量要求相對較高，運算量要求較低.

3 深入問題本質，感悟數學思想、優化思維品質

深入問題本質，不是就題論題，而是要挖掘試題的背景、內涵、命題意圖、條件呈現方式、問題設置方式、考查的知識點等，這樣才能更好地講出試題背后的思想、方法及精髓.將問題的本質弄清楚，可以更好地引導學生去觀察、分析、辨別、解決、反思、總結問題，進而感悟其中蘊含的數學思想和方法.數學思想是靠“悟”出來的，而不是靠教出來的.數學思想具有模糊性、潛在性和隱藏性等特點，很難直接教，但可以通過教師在教學的過程中有意識地滲透數學思想，或是引導學生在問題的解決過程中感悟數學思想.

在數學中，數形結合是一種重要的數學思想，是溝通直觀與抽象的橋梁.正如華羅庚先生曾講“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分解萬事休”.華先生強調數形結合的重要性，“形”可以為問題的解決提供直觀的想象或思路，“數”可以精確地刻畫“形”的本質特征，如一些不直觀的數量關系和空間結構等，可借助數來描述其中的關系.

分析4 注意到，此處的函數f（x）=2sinx+sin2x為兩個奇函數，相加之后的結果仍然是奇函數，不妨先來看看最簡單的三角函數g（x）=sinx的圖象有什么樣的直觀幾何特性？不難發現，有如下的關系：

對任意的-π≤x1，x2≤0，有不等式g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x2 2）成立，

當且僅當x1=x2時，等號成立;

對任意的0≤x1，x2≤π，有不等式g（x1）+g（x2）≤2g（x1+x2 2）成立，當且僅當x1=x2時，等號成立.

類似地，可以得出，對任意的-π≤x1，x2，x3≤0，有不等式g（x1）+g（x2）+g（x3）≥3g（x1+x2+x3 3）成立，當且僅當x1=x2=x3時，等號成立;

對任意的0≤x1，x2，x3≤π，有不等式g（x1）+g（x2）+g（x3）≤3g（x1+x2+x3 3）成立，當且僅當x1=x2=x3時，等號成立.

這樣的性質，可以借助正弦函數圖象的“形”看出來，然后利用代數符號（數）來刻畫，這種性質，在高等數學中常常用來刻畫函數的凹凸性.從幾何的直觀性質出發，到最后用代數符號表征出正弦函數的局部性質，集中體現了數形結合的思想.

為了方便研究函數f（x）=2sinx+sin2x的最值，可以將函數的自變量范圍限制在一個更小的區間上，不妨假設00，sin2x>0.

又注意到，在正弦函數中，sinx=sin（π-x）.

所以f（x）=2sinx+sin2x

=sin（π-x）+sin（π-x）+sin2x

≤3sinπ-x+π-x+2x 3

=3sin2π 3

=3 3 2.

當且僅當“π-x=2x”時，即x=π 3時，等號成立.

因為函數f（x）是奇函數，所以函數f（x）的最小值為-3 3 2.

評注 結合學生已有的知識經驗，借助正弦函數的幾何直觀，觀察正弦函數的幾何特征，將幾何性質代數化處理，便得出上面的不等式，這需要學生有深刻的數學思維和敏銳的洞察力，這個不等式是不容易被直接發現的，但可以通過教師的逐步引導來實現.讓學生在不等式的發現過程中感悟數形結合的思想，在問題的解決過程中感受數學本質和高等數學的魅力.可見，該試題蘊含高等數學中函數的凹凸性質，詹森（Jensen）不等式的特例，也稱琴生不等式.

4 問題推廣，促進知識遷移、培養創新意識

張景中院士指出：“推廣是數學研究極重要的手段之一，數學自身的發展在很大程度上依賴于推廣.數學家總是在已有知識的基礎上，向未知的領域擴展，從實際的概念及問題中推廣出各種各樣的新概念、新問題[5].”推廣，可以將一個具體的問題一般化，通過對一個問題的解決，來實現對一類問題或者是一串問題的解決，這對促進學生的知識遷移和思維的發展具有重要的意義.除此之外，推廣可以得出各種各樣的新概念、新問題，因此，推廣還孕育著數學創新，這對培養學生的數學創新意識、學習一般化的思維策略、提升數學思維品質等都具有重要的教育價值.接下來，將從不同維度，對該三角函數最值試題進行推廣、分析以及評注.

推廣1 已知函數f（x）=3sinx+sin3x，求函數f（x）的最小值.

分析 可以類比前面一種解法，不妨假設0≤x≤π 3，顯然f（x）=3sinx+sin3x滿足上述不等式的性質.

則有f（x）=3sinx+sin3x

=sinx+sinx+sinx+sin3x

=sin（π-x）+sin（π-x）+sin（π-x）+sin3x

≤4sin3（π-x）+3x 4

=4sin3π 4

=22.

當且僅當“π-x=3x”時，即當x=π 4時，等號成立.

由奇函數的性質，可知函數f（x）的最小值為-22.

評注 此推廣是將原問題的系數增加1，其余的不變，可以用上述探究1，2，3的方法來解決，也可以利用上述解法中函數的凹凸性質來解決.

推廣2 已知函數f（x）=nsinx+sinnx，求函數的最小值.

評注 推廣2，將原問題的系數一般化處理，解決方法類比推廣1，此處不再給出具體的解答過程，有興趣的可以嘗試去求解.

推廣 3 已知函數f（x）=2psinnx+psin2nx，其中p∈R+，求函數的最小值.

分析 利用二倍角公式，將函數名稱統一起來，得f（x）=2psinnx（1+cosnx）.然后將兩邊同時平方，可得f2（x）=4p2·sin2nx·（1+cosnx）2=4p2·（1-cos2nx）（1+cosnx）2.

于是，有f2（x）=4 3p2·（3-3cosnx）（1+cosnx）3

≤4 3p2·（3-3cosnx+3（1+cosnx） 4）4

=4 3p2·（6 4）4.

由奇函數性質，可知函數f（x）的最小值為-3 3p 2.

當且僅當“3-3cosnx=1+cosnx”時，即當cosnx=1 2時，等號成立.

評注 此推廣引入參數p，將原問題中的常數一般化處理，解決方法和探究3相同.

推廣4 已知函數f（x）=psinnx（1+cosx），其中p∈R+，求函數的最小值.

分析 先將等式的兩端平方，統一函數名，可得f2（x）=p2·（1-cosx）n（1+cosx）n+2.

可以考慮換元法，將其轉化成高次函數的最值問題，從而用導數解決，亦可以先配湊，再用不等式的方法來解決.

評注 此推廣將三角函數的指數進行了推廣，變成高次三角函數最值問題.這種試題，對于初學者來說具有一定的難度，可以在教學過程中作為課后思考習題使用.

推廣5 已知∑n i=1xi=c，0

分析 利用函數g（x）=sinx在區間0

f（x）=∑n i=1sinxi≤nsinx1+x2+…+xn n=nsinc n.

當且僅當“x1=x2=…=xn=c n”時，等號成立.

所以函數f（x）=∑n i=1sinxi在區間0

評注 此推廣是詹森不等式的一般形式，可以利用函數的凹凸性證明，如果要用常規方法來解決該問題，比較困難，可以尋找時機，適當補充詹森不等式的相關知識點，拓寬學生的數學知識面.

推廣6 已知函數f（x）=sinx，其中00，且∑n i=1λi=1.證明：不等式∑n i=1if（xi）≤f（∑n i=1λixi）成立.

分析 該不等式，可以用數學歸納法證明，過程比較繁瑣，如有興趣，可以參考文[6].

評注 此推廣為詹森不等式，是描述函數凹凸性最一般的代數形式，該不等式在競賽數學和高等數學中具有重要的價值和廣泛的應用，應該值得關注.

5 教學啟示

數學深度教學是指向數學思維的教學，更是指向由教師教會學生思維轉向學生學會自主思維的教學.

（1）重視問題和知識點之間的并聯.通過問題串（并聯）的引領，引發學生對數學的深度思考.

（2）注重引導.在教師的引導下，讓學生在主動探究問題、解決問題、反思問題的過程中，激活數學深度思維.

（3）深入問題本質.在把握問題的本質過程中，感悟試題蘊含的數學思想.

（4）注重問題的推廣.在問題的推廣過程中，促進知識遷移、孕育創造性思維.

（5）多視角探究問題.分析1從通性通法開始，這符合學生的常規想法;分析2是對避免解三角方程引起的思考，可以通過換元法去避免解三角函數方程;分析3是在分析2的基礎之上引發的再思考，通過對等式的右邊“配湊”，讓“配湊”后各個因式的和為定值，則乘積有最值，這可以通過已有的二元均值不等式取等條件的經驗想到，想法比較自然，運算量較小，但是對思維的要求比較高.

（6）注意思維的梯度.通過觀察正弦函數的半個周期的圖象，經歷從“形”直觀的感性認識到“數”的理性認識，感受數學的本質，感悟數形結合的思想魅力，最終利用代數表征幾何圖形的性質，突顯出函數凹凸性質的強大力量，極大地簡化了運算過程.

總之，數學深度教學，是促進學生數學核心素養生成的重要而基礎的環節，這不僅僅需要在解題教學的過程中體現，還需要貫穿于整個數學教育活動的全部過程，這樣才能夠真正地讓學生思維得到鍛煉，進而促進學生一般性思維策略的發展，優化數學思維品質.

參考文獻：

[1]張曉娟，呂立杰.SPOC平臺下指向深度學習的深度教學模式建構[J].中國電化教育，2018（04）：96-101+130.

[2]鄭毓信.“數學深度教學”十講之二：“數學深度教學”的具體涵義[J].小學數學教師，2019（09）：10-12.

[3]鄭毓信.“數學深度教學”的理論與實踐[J].數學教育學報，2019，28（05）：24-32.

[4]郭元祥.論深度教學：源起、基礎與理念[J].教育研究與實驗，2017（03）：1-11.

[5]朱華偉，張景中.論推廣[J].數學通報，2005，44（04）：55-57+28.

[6]華東師范大學數學系.數學分析上冊（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

（收稿日期：2020-01-03）