在解題教學中重視對觀察能力的培養

陳巖

[摘? 要] 數學是一門以思維活動為主的學科，這就需要在教學中不斷強化觀察能力的作用.在數學問題的解決中，觀察能力的培養不僅需要激發學生的觀察意識，而且需要正確選擇觀察對象，同時還需掌握正確的觀察路徑.

[關鍵詞] 高中數學;解題;觀察能力;培養

眾所周知，觀察是認識世界的“窗戶”，觀察是解決問題的“踏板”，觀察是思維活動的“觸角”，觀察是智慧生成的“雙眼”. 因此，觀察是思維活動的開始，它是信息獲取的渠道，它是解題路徑的向導，它是分析問題的基礎.

在數學問題的解決中，觀察也是一種行之有效的學習方式，具備敏銳的觀察力，在準確發現問題、牢牢把握問題本質、選擇最佳解題途徑等方面都具有重要的作用. 學生觀察能力的差異性在一定程度上也揭示了學生能力的差異性，這樣一來，培養學生的觀察能力就成了數學素質教育的一項重任，也成為廣大數學教師在教學活動中所追求的重要目標. 本文擬對解題教學中觀察能力培養的策略以及具體路徑進行探討，以期引起大家對觀察能力培養的關注與研究.

激發觀察意識

觀察能力是學生在解題的過程中必須具備的能力，只有學生形成觀察意識，才能更積極地進行數學思考，才能更快地發現隱含于題目之中的解法，才能更好地找尋出條件與結論之間的關聯，才能使問題迎刃而解.

例1：如圖1，橢圓O的離心率為E=■，且有一準線方程x=2■.

（1）試求出該橢圓的標準方程.

（2）設一動點P滿足■=■+2■，點M，N在橢圓上，直線OM斜率與直線ON斜率的乘積為-■，是否存在定點F1，F2，使得PF1+PF2為定值？如果存在，請求出F1，F2的坐標;如果不存在，請闡明理由.

分析：觀察問題（1），易得出橢圓方程為■+■=1. 觀察問題（2），首先可以設點P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），據條件■=■+2■，可得P=（x1+2x2，y1+2y2）. 再從條件中“點M，N在橢圓上，直線OM斜率與直線ON斜率的乘積為-■”，可以得出兩點坐標滿足如下3個關系式：■+■=1，■+■=1，■·■=-■. 探究到了這一步，不少學生的思維出現了卡殼，無法繼續前進. 筆者適時點撥學生深入觀察和反復斟酌題目的結論“存在定點F1，F2，使得PF1+PF2為定值”，經過一段時間的探究，學生終于發現問題本質為“求點P的軌跡方程，并確定軌跡為橢圓”. 接著，再從代數的視角反復觀察橢圓標準方程“■+■=1”的結構特點及上述3個關系式之間的關聯，進一步得出x2+2y2=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=（x■+2y■）+4（x■+2y■）+4（x1x2+2y1y2）=20，也就是點P所在的橢圓方程，其中定點F1，F2坐標為F1（-■，0），F2（■，0）.

正確選擇觀察對象

高中生心理上觀察事物所必備的基本素質尚未完善，在解決問題的水平上對問題關鍵點、數量關系、圖形或公式的結構特征及內在規律的觀察上還有所欠缺.因此，只有注重對學生觀察方法的指導和培養，才能保證觀察的準確性和正確性.

1. 問題的關鍵點

在進行具體的解題活動時，基于已有認知結構與解題經驗逐步建構解題路徑. 借助觀察和運算相結合的方式，關注到題目的關鍵詞、句，不僅有利于更快地找出解題思路，而且有利于架起解題經驗與數學觀察之間的橋梁，通過反復地觀察，不斷地思辨，可以起到簡化運算和開闊思路的效果，從而使問題得到迅速解決.

例2：若等比數列{an}滿足a1+a2+a3+a4+a5=3，a■+a■+a■+a■+a■=12，試求出a1-a2+a3-a4+a5的值.

分析：從代數式的形式入手觀察，并與題設相結合可以得出a1+a2+a3+a4+a5為該等比數列{an}的前5項之和. 那么a■+a■+a■+a■+a■與a■-a■+a■-a■+a■是否也可視為一數列的前5項之和？有沒有可能是什么特殊數列呢？再次觀察它們的通項，并聯想等比數列的性質，可以發現a■+a■+a■+a■+a■為等比數列{a■}的前5項之和，而a■-a■+a■-a■+a■為等比數列{-1n+1an}的前5項之和，且等比數列{an}，{a■}，{-1n+1an}三者的公比存在一定的數量關系. 至此，完整的解題路徑算是搭建完成了.

解：設等比數列{an}的公比為q，那么等比數列{a■}的公比為q2，等比數列{-1n+1an}的公比為-q，據題意可得q≠1.

a■+a■+a■+a■+a■=■=3，

a■+a■+a■+a■+a■=■=■=3■=12，

即■=4，所以a■-a■+a■-a■+a■=■=4.

2. 內在規律

在解題中，一些題目蘊含的條件與性質都較為隱蔽，需要通過反復觀察清楚揭示已知與未知的內在聯系，深入挖掘并轉化結論和條件，找尋出正確的解題思路，使問題的解決達到“柳暗花明”的效果，同時也提升了學生觀察的敏銳性.

例3：已知f（a+b）=f（a）·f（b），且有f（1）=2，那么■+■+■+…+■=________.

分析：仔細觀察所求問題，可以發現它為數列■中的項，而■+■+■+…+■為該數列的前1005項之和，從而可以將問題轉化為找尋數列的通項問題.再次觀察條件f（a+b）=f（a）·f（b）和f（1）=2，不難察覺，令a=n，b=1，則有f（n+1）=f（1）·f（n）=2f（n），則有■=2，所以■+■+■+…+■=2010.

3. 式子的結構特征

數學式子的結構特征往往是問題解決的切入點. 在解題中，關注到題目中所出現公式的結構特征，也就是通過反復觀察，看穿公式的本質，這樣一來才能有效展開聯想或啟迪直覺思維，從而實現解題過程中的靈活運用.

例4：已知f（x）為定義在[-2，2]上的函數，且對任意實數x1，x2（x1≠x2），有■>0恒成立，且f（x）≤1，則滿足f（log■x）<1的解集是________.

分析：本題中由于f（x）無具體表達式，為一個抽象函數，此處要求解不等式f（log2x）<1，自然離不開函數f（x）的單調性，觀察條件■>0，其中隱含條件是什么呢？此條件可以轉化為：當x1-x2>0時，f（x1）-f（x2）>0;當x1-x2<0時，f（x1）-f（x2）<0，與函數單調性的定義相溝通，則可以判定函數f（x）為定義在[-2，2]上的增函數.

解：據■>0，可得函數f（x）在[-2，2]上是增函數. 因為f（x）≤1，所以f（2）=1，所以f（log2x）<1可以轉化為f（log2x）

4. 圖形特征

在解題中，仔細觀察圖形特征，可以較為容易地把握圖形特點，同時巧妙借助幾何性質，使問題得到快速解決.

例5：已知平面直角坐標系xOy中，圓C的圓心位于第二象限，其半徑r=2■，且圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓■+■=1與圓C的一個交點到橢圓兩個焦點的距離和是10.

（1）試求出圓C的方程.

（2）圓C上是否存在一點Q（不與原點O重合），到橢圓右焦點的距離為線段OF的長，如果存在，試探求出點Q的坐標;若干不存在，請闡明原因.

分析：觀察問題（1），易得出圓C的方程為（x+2）2+（y-2）2=8. 觀察問題（2），不難發現點Q是圓C上的一點，且滿足QF=OF，再利用待定系數法聯立方程組即可求解，具體求解過程如下：因為圓C的方程為（x+2）2+（y-2）2=8，且F（4，0）.

設Q（x，y），有（x-4）2+y2=16，（x+2）2+（y-2）2=8，

解得x=■，y=■或x=0，y=0（舍去）.由此可得點Q的坐標為■，■.

然而，此解法中解方程組具有一定程度上的繁雜，是否存在其他簡捷解題路徑呢？

我們可以通過畫圖重新建構解題路徑. 如圖2，觀察圖形特征不難發現：四邊形COFQ中，有CO=CQ，OF=FQ. 所以CF垂直且平分OQ，所以O，Q關于直線CF對稱. 本題則可轉化為求點O關于直線CF的對稱點. 具體解題過程如下：據條件可得a=5，F（4，0）. 又有O，Q在圓C上，所以O，Q關于直線CF對稱. 直線CF的方程：y-2=-■（x+2），即x+3y-4=0. 設Q（x，y），則有■=3，■+■-4=0，解得x=■，y=■，所以點Q的坐標為■，■.

（此解法看似書寫繁多，而解題過程所涉計算較少，不易出錯.）

培養正確的觀察路徑

正確的觀察路徑，也就是學會如何觀察，解決好觀察路徑的培養也是提高學生觀察能力的重要方面.

1. 全面觀察. 在觀察時，需立足整體，形成初步的觀察概念，再觀察部分的特征，從而牢牢把握問題的本質，并有步驟、有條理地建立解題路徑.

2. 靈活觀察. 在觀察中，還需多角度、多方位進行靈活觀察，透過問題的現象看到本質，從而及時捕捉到有效信息，在正確解題的同時培養學生思維的靈敏性.

3. 深刻觀察. 觀察的終極目標就是實現思維能力的提升，因此觀察活動需與思維訓練有效溝通，在觀察中牢牢把握問題的本質，做到目無全牛，從而提高解題的準確性的同時，培養學生思維的嚴謹性和深刻性.

總之，數學教學有責任、有義務發展學生的數學觀察能力. 只有具備了觀察這一重要數學素養，才能提高學生的數學理解，發展他們的解題能力，從而使思維能力向著深層次發展.