張小剛
摘 要:數列旨在研究數的規律,是培養學生邏輯思維的重要知識版塊,而高中數學主要研究兩類特殊數列,即等差數列和等比數列,讓學生通過這兩類特殊數列打開對數列的認知。數列作為高中數學核心內容,也是高考熱頻考點,縱觀近幾年高考中數列的相關題目,考察形式豐富多彩,結合數學文化進行創新,將“數列”進行重新包裝,給很多學生造成了極大的困擾,本文旨在結合人教A版習題和高考題目對數列考察題目進行深度挖掘,找到這些題目的源頭,即“題根”,揭開籠罩在這些題目上面的面紗,讓學生尋根解題,不再盲目。
關鍵詞:高中數學;等差數列;等比數列;題根教學
數列是高中數學的核心內容之一,同時作為高考熱考考點之一,會結合數學文化以不同的“面貌”走到考生面前,但考察的核心內容并未改變,從而達到提升學生的核心素養,培養學生的創新意識,提高學生的綜合能力??疾榈念}目普遍呈現為中等題目,但對于南疆大部分學生還是很有挑戰性,所以決定將數列的考察類型進行整理,形成體系化的內容,讓學生在看到題目以后明確如何思考,如何尋找突破口,進而解決問題。就在此期間有幸聽了一位援疆老師的講座,在講座期間提到了題根教學,這是我第一次聽到這個詞語——“題根教學”,新鮮之余我就想到了數列,何不就此契機嘗試做一下數列通項求解的題根教學,后來就展開了尋根之旅。尋根主要是爭對教材的例題,然后鋪開到高考題目,這樣就是本著“教材為根,高考為樹,開花結果”的原則進行的。以下就是我形成的成果:
【題根與題源】
1.(必修5P50例2)根據圖2.4-2中的框圖(圖略,教材中的圖),寫出所打印數列的前5項,并建立數列的遞推公式.這個數列是等比數列嗎?
2.(必修5P69B6)已知數列{an}中,a1=5,a2=2,且an=2an-1+3an-2(n≥3).對于這個數列的通項公式作一研究,能否寫出它的通項公式?
【試題評析】
(1)題目以程序框圖為載體給出遞推數列{an},其中a1=1,an=an-1(n>1)。進而由遞推公式寫出前5項,并利用定義判斷數列{an}是等比數列。
(2)題目以遞推形式給出數列,構造數列模型bn=an+an-1(n≥2),cn=an-3an-1(n≥2),利用等比數列定義不難得到{bn},{cn}是等比數列,進而求出數列{an}的通項公式。
兩題均從遞推關系入手,考查等比數列的判定和通項公式的求解,突顯數學運算與邏輯推理等數學核心素養.
【教材拓展】
1: (2019·鄭州模擬)已知數列{an}滿足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).
(1)求證:{an+1+2an}是等比數列;
(2)求數列{an}的通項公式。
解:(1)證明 因為an+1=an+6an-1(n≥2),
所以an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).
因為a1=5,a2=5,
所以a2+2a1=15,
所以an+2an-1≠0(n≥2),
所以數列{an+1+2an}是以15為首項,3為公比的等比數列。
(2)解:由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,
則an+1=-2an+5×3n,
所以an+1-3n+1=-2(an-3n).
又因為a1-3=2,所以an-3n≠0,
所以{an-3n}是以2為首項,-2為公比的等比數列.
所以an-3n=2×(-2)n-1,
故an=2×(-2)n-1+3n。
分析:通過遞推關系進行構造,找到了新的等比數列{an+1+2an},進而對此題目進行突破,最后的落腳點還是回到了等比數列的定義以及通項公式的求解,所以“根”即為等比數列。
2: (2019·蕪湖調研)已知數列{an}是等比數列,a2=4,a3+2是a2和a4的等差中項。
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=2log2an-1,求數列{anbn}的前n項和Tn。
解:(1)設數列{an}的公比為q,
因為a2=4,所以a3=4q,a4=4q2.
因為a3+2是a2和a4的等差中項,
所以2(a3+2)=a2+a4.
即2(4q+2)=4+4q2,化簡得q2-2q=0.
因為公比q≠0,所以q=2.
所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n(n∈N*).
(2)因為an=2n,所以bn=2log2an-1=2n-1,
所以anbn=(2n-1)2n,
則Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,①
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1.②
由①-②得,
-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)2n+1
=2+2×-(2n-1)2n+1=-6-(2n-3)2n+1,
所以Tn=6+(2n-3)2n+1.
所以Tn=(n-1)·2n+1+2-。
分析:這是一道用對數包裝的數列題目,(1)的求解沒有任何難度,只是考察基本量法求解等差等比數列,也是為了(2)營造氛圍,而(2)才回到了等差等比數列的本質,通過等差數列和等比數列相乘的求和問題,回歸到了等比數列前n項和的推導上來,緊扣教科書,回歸本源,等比數列前n項和即為“根”。
【面向高考】
1:(2017·全國Ⅱ卷)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,等比數列{bn}的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2。
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項公式;
(2)若T3=21,求S3。
解: 設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,
則an=-1+(n-1)·d,bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②
聯立①和②解得(舍去),
因此{bn}的通項公式為bn=2n-1。
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.
解得q=-5或q=4.
當q=-5時,由①得d=8,則S3=21.
當q=4時,由①得d=-1,則S3=-6。
2:(2018·全國Ⅰ卷)已知數列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設bn=。
(1)求b1,b2,b3;
(2)判斷數列{bn}是否為等比數列,并說明理由;
(3)求{an}的通項公式。
解 (1)由條件可得an+1=an.
將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.
將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.
從而b1=1,b2=2,b3=4。
(2){bn}是首項為1,公比為2的等比數列.理由如下:
由條件可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首項為1,公比為2的等比數列。
(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1。
3:(12分)(2019·全國Ⅱ卷)已知{an}是各項均為正數的等比數列, 。
(1)求{an}的通項公式;
(2)設,求數列的前n項和。
解:(1)由題知,{an}為等比數列,設公比為q,所以 。
又因為?? ,即?? ,
所以,。
又因為 {an}各項均為正數,
所以舍去,即 ,
所以{an}的通項公式為。
(2)由(1)知,
所以,
所以是以1為首項,2為公差的等差數列,所以的前n項和為:
。
4.(12分)(2021·全國乙卷理科)
記Sn為數列{an}的前n項和,bn為數列{Sn}的前項積,已知。
(1)證明:數列是等差數列;
(2)求數列 {an}的通項公式。
解析略。
分析: 以上高考題目都立足題根,在題根的基礎上加以變化,主要考查等差、等比數列通項公式與前n項和公式計算,突出方程思想和數學運算等核心素養,準確計算是求解的關鍵。利用等差(比)數列的通項公式及前n項和公式列方程(組)求出等差(比)數列的首項和公差(比),進而寫出所求數列的通項公式及前n項和公式,這是求解等差數列或等比數列問題的常用方法。對等差、等比數列的綜合問題,應重點分析等差、等比數列項之間的關系,以便實現等差、等比數列之間的相互轉化。
小結:高考題中的數列試題,往往比較難,同學們有點怕,究其原因,還是數列試題綜合性強,變形靈活。其實數列問題還是有規律可尋的,縱觀近幾年高考數列試題,可分為幾種類型:概念題(等差等比數列的判斷與證明)、基本計算題(基本量的方法)、新定義題、和式問題、奇偶項問題、整除性問題、子數列,生成數列等等。但是在這些問題中,最關鍵的問題還是兩個最基本的數列:即等差數列與等比數列.故本文所說的數列之根即為等差數列與等比數列,理解和掌握等差數列、等比數列這兩類數列的本質屬性,即可對相應的題目順利解答。
參考文獻:
[1]俞新龍.有關等差、等比數列證明問題歸類解析[J].數學通訊.2006年21期
[2]徐生軍.談等差、等比數列課中的啟發式教學[J].數學教學.1996年01期
3120500338272