幾何畫板在初中數學教學中的應用探索

史中燕

【摘 要】幾何畫板是實用的數學教學軟件，是適用于代數、平面幾何、物理矢量分析、作圖的動態幾何工具，主要借助圖形基本元素：點、線，構造需要的圖形。課堂上，幾何畫板能提高學生從靜態到動態、從抽象到形象、從微觀到宏觀、從定性到定量分析數學問題的能力，培養學生不斷進取、積極探索、努力創新的精神。

【關鍵詞】代數;幾何;動態;圖形

幾何畫板能夠動態地展現出幾何對象的位置關系、運行變化規律，是數學與物理教師制作課件的“利劍”，主要借助圖形基本元素：點、線，構造需要的圖形。平時課堂上，數學組的老師習慣于用尺規作圖，這對老師的基本功要求非常高，老教師們徒手畫圓技術難度高。尺規作圖很有必要，可帶著學生一起動手實踐，但需要占用時間，如講評試卷時，借助幾何畫板可以省時，或者遇到動態圖形時，就需要借助幾何畫板，讓學生更好地感受變化過程。在利用幾何畫板畫圖的過程中，可以培養學生動手實踐、直觀想象、自主探索等能力。

信息時代大背景下，要求學生應用掌握的信息技術能力解決數學問題。在初中三年的數學教學過程中，我嘗試著將幾何畫板與教學內容結合，收獲了學生的優秀作品，更好地展示動態幾何過程，實現了更高效、具體的教學。

依據基本作圖，深刻認識幾何圖形

起步階段，我讓學生從幾何畫板的初步認識開始，學習點和線的作法以及度量，繪制基本幾何圖形，完成平行四邊形、菱形、正方形等基本圖形的作圖;嘗試基本幾何變換，如旋轉、平移、對稱，自主操作，繪制變換后的圖形;深入立體圖形的畫法，如圓柱體、圓臺和圓錐，實踐出真知，摸索著成長，為教學提供便利。一點點蛻變后，開始研究動態圖形，由簡到繁，舉一反三，共同探究動點的蛻變軌跡，感悟古老的“勾股定理”在信息技術環境下的魅力。

實現變換作圖，感悟數學知識深度和美好

幾何畫板不僅給教學帶來了便利，激發了學生的思維，更讓我們感受到數學的魅力與神奇（圖1）。感悟于數學的美，將美麗的圖形與動態變化結合，可以繪制出繽紛多彩的圖形，如“萬花筒”運用了兩點確定一條直線、鏡面反射、旋轉、平移、反射變化，實現生活中的幾何圖形動態化。孩子們在收獲美麗的圖案同時，收獲知識的深度。在繪制螺旋曲線過程中，感悟點、線的無窮變化，感悟生活中的數學。學生在學習過程中爭當“小老師”，收獲頗豐。

用幾何畫板軟件制作動畫演示效果，學生對變化過程中圖形的特征能直觀感受到，并且加深了印象，而這個效果與教師簡單把結論教給學生或不斷畫圖來說明是完全不同的。幾何畫板不僅可以處理幾何問題、代數問題、解析幾何問題、物理中的有關問題，還能用來進行研究性學習，可以用它來動態地演示二次函數、三角函數，甚至一些常規畫法下無法畫出的函數。

數學源于生活，用于生活，通過幾何畫板，將數學的神奇展現無疑，讓學生對幾何學習產生更濃厚的興趣。信息科技的日新月異，幾何畫板是新科技的應用，能拓寬學生視野，讓學生對學科更感興趣。實踐的課堂，氣氛活躍，學生自主實踐，這正說明了孩子們對信息科技和知識的熱愛。借助幾何畫板可以幫助學生提升數學建模、邏輯推理、數據分析、直觀想象等數學素養。

對教師而言，幾何畫板的課件制作能為教學提供便利，提升專業能力，激發教師對新的知識的探究。正如游戲幫助孩子開啟智慧，朗誦、書法、創作、繪畫才藝幫他們培養藝術情操，那么幾何畫板引導學生自主學習，深入探究，能培養實踐操作與信息技術的融合，雖然不是初中必修課內容，卻能讓孩子們通過接觸他們感興趣的知識，體會更多樂趣，定會終身受益。

深入動態問題，助力探究綜合問題

按照教學進度，在七、八年級學生可以完成幾何畫板基本原理介紹、簡單操作、簡單的幾何原理輔助教學;九年級幾何綜合題的研究可借助于幾何動態演示來幫助學生理解幾何原理，對幾何性質和定理理解得更快，更好地解決問題。

1.幾何畫板在初中代數教學中的應用

（1）以“反比例與一次函數復習”為例。函數是初中的重要內容，學生已對基本初等函數y=x，y=x2，y=x-1等有所了解，并且重點學習了一次、二次、反比例函數，但對于此類函數的綜合問題并未深入研究，因此深入地觀察這類函數的圖象特征，歸納總結上述函數的性質顯得十分必要。幾何畫板動態作圖可以幫助學生更好地理解一次和反比例函數中系數k，m變化對函數圖像的具體影響

活動1：已知雙曲線y1=與直線y2=-x+b交于A，B兩點，已知點A（1，2），直線分別交x軸，y軸于C、D兩點。結合圖象，你能研究哪些問題？并闡述解決方法。學生回答可能有：可求一次函數和反比例函數解析式、直線和雙曲線另一個交點B的坐標、一次函數與x軸交點、函數值大小比較和面積問題。

活動2：將直線y=-x+3沿y軸上下平移，平移后直線解析式設為y=-x+b，研究此時直線與雙曲線交點個數。幾何畫板動態演示平移過程。

活動3：將直線繞點（0，3）旋轉，設旋轉后直線解析式為y=kx+3，研究旋轉后直線與雙曲線交點個數。使用幾何畫板演示旋轉過程。

在教學設計中，系數變化利用幾何畫板動態展示，便于學生理解，感知變化。

（2）以函數綜合題、專題復習課為例。函數綜合題是歷年中考中的重點問題，綜合性強，且抽象。數學課程標準C級要求提出：結合圖象與表達式，掌握系數k的變化對函數圖象變化的影響;函數專題復習利于學生體會數學的整體性，提升數學運算素養。

幾何畫板作圖具體展現了函數的整體直觀形象，為學生探索函數的性質提供了思維活動的空間，便于學生體會數形結合思想在教學中的應用。

2.幾何畫板在初中幾何教學中的應用

初中的幾何內容主要包括：基本平面立體圖形識別、圖形三大變換、三角形全等和相似、基本四邊形的相關推理證明、圓有關知識、解直角三角形知識等。歷年中考題量大，靈活多變，綜合性較強，幾何畫板的引入可以動態呈現圖形變化過程，化繁為簡，便于學生理解和掌握。

（1）尋找動點軌跡和全等圖形。例如，已知△ABC中，AC=BC，現將△ABC繞點C旋轉后得到△CED，連接GE，GD。請你畫出點E和點D的運動軌跡（圖2）。利用幾何畫板作圖，可知追蹤軌跡為圓，將復雜問題簡單化。

（2）構造旋轉全等，一題多解。如已知等邊三角形ABC中，∠AGB=30°，GA=3，GB=4，求GC的長?？蓪ⅰ鰽CG逆時針旋轉60°（圖3），得出△GDC為等邊三角形，△BDG為等腰直角三角形，進而可算出GC的長度。

這類三角形旋轉問題，方法多樣，最多有6種方法，現場作圖，費時且效果不好，借助幾何畫板，能快速讓學生感知旋轉前后的區別，感知旋轉過程和不同的旋轉方法，對比中尋找規律，提升課堂效率。

（3）圖形變換求面積。例如，如圖4，將△ABC繞點C按順時針旋轉60°得到△A′B′C，AC=6，BC=4，求線段AB掃過的面積。由圖可知，AB掃過的圖形面積等于扇形ACA′面積加上△ABC面積減去扇形BCB′面積減去△A′B′C面積，而由旋轉可知△ABC面積等于△A′B′C面積，∠BCB′=∠ACA′=60°，故而得解。

扇形面積是初中的重要內容，學生容易掌握，但具體問題中涉及變化圖形的求法，需要有較好的幾何感知能力，將抽象問題具體化，復雜圖形分割化。幾何畫板的直觀性，能讓孩子們迅速掌握分割技巧，一目了然，化繁為簡。

以上內容為幾何畫板在我的教學課堂應用中的部分實例和一些體會。在不斷嘗試和收獲學生成長過程中，我深深地感知到先進的教育技術對教學的正向引領作用，如若全面開展，必將大大促進教學的改革和深化。

參考文獻

陶維林. 幾何畫板實用范例教程[M]. 北京：清華大學出版社，2008.

劉勝利. 幾何畫板課件制作教程（第二版）[M].北京：科學出版社，2010.

許興業. 幾何畫板與中學數學微型課件制作[M].廣州：廣東科技出版社，2003.

胡伏湘，龔中良. 多媒體技術教程——案例、訓練與課程設計[M]. 北京：清華大學出版社，2006.