如何提高線性代數的課堂教學質量初探

侯春娟 林映翠

【摘要】線性代數是數學專業及相關交叉類學科的一門重要課程，也是經管類專業學生的必修課程.在線性代數教學中，老師的講解和教材的設計很大程度上會影響學生對線性代數這門課程的理解.本文以廣州華商學院線性代數課堂教學為例，對如何提高本校課堂教學質量進行初探，從而為我校進一步開展線性代數課程建設做好鋪墊.

【關鍵詞】線性代數;教學質量;學生;老師

【基金項目】本文系廣東省普通高校人文社會科學研究青年創新人才項目（自然科學） （2017KQNCX265）;廣州華商學院2021年線性代數一流課程（HS2021YLKC05）;廣州華商學院“校級質量工程”項目（HS2020ZLGC69，HS2021ZLGC31，HS2020ZLGC74）.

一、引 言

線性代數是龐大的數學體系中的一個分支，它具有很強的抽象性與邏輯性，對學習者的邏輯分析能力與空間想象能力要求非常高，同時線性代數在圖像處理、密碼學、機器學、工程技術等領域得到越來越廣泛的應用，甚至眾多學科都以它為基礎.因此，學好線性代數對學生今后的學習有相當大的作用.在本科階段，線性代數的課程主要教學生如何熟練掌握矩陣、行列式、線性方程、向量空間、二次型等相關基礎知識.

線性代數是廣州華商學院的一門基礎課程，學校為線性代數教學配備了較為完善的教學資源.但線性代數的教學過程中，存在部分學生對線性代數學習的積極性不高，甚至因為無法理解線性代數的相關知識而出現抵觸心理的現象（此結論來源于調查統計，由2020級會計學2班的林映翠同學進行整理匯總），這使我們不由得思考其中的原因.本文從老師應該注意的問題、學生應該注意的問題及合理使用教材這三個方面對線性代數的教學進行分析，并提出解決方法，以探索如何進一步提高線性代數的教學質量.希望本文對廣州華商學院線性代數教學工作的順利開展、學校老師授課方式的改進、學生學習線性代數方式的改進都有所幫助.

二、讓學生走進線性代數，理解線性代數原理

想讓學生走進線性代數，老師就要在正式授課之前，先引導學生建立線性代數跟中學數學的聯系，降低學生對新學科的認知難度.劉桂仙等人在對目前大學數學教學工作中存在的一些問題進行探討時特別指出[1]，教師在進行大學數學的教學工作時，一定要做好大學數學與中學數學的銜接工作.線性代數是數學又一個全新的分支，它不同于學生以往了解的數學，它自有一套思維模式與運算體系.這意味著學生在學習過程中要暫時拋開已深植于腦海的固有思維模式，建立一套全新的數學學習思維，構建一個全新的思想框架.再則，線性代數課程的后半部分涉及的向量空間問題，對學生的邏輯分析能力與空間想象能力要求非常高，這對還習慣用高中數學思維思考問題的大一學生來說有一定難度.大學中任何一門學科的相關知識在中小學教育時期都做好了基礎鋪墊，因此，學生在大學時期對任一學科的學習都是對原有知識更深入的思考與鉆研.無論怎樣，線性代數終歸只是數學的一個分支，與中學數學有一定的相通性.因此，在學生初步接觸一門新的學科時，不知從何學起、怎么學、學什么的情況下，教師應在正式授課之前利用學生對新學科的“白紙”印象，闡明線性代數與中學數學之間的關聯，引導學生在腦海中勾畫出線性代數與中學數學知識的聯系，讓他們明白什么是線性代數，線性代數是從哪一知識點發展而來的，又是對哪一部分進行深入研究的.代業明從認知論與方法論的角度分析并列舉了線性代數與中學數學諸多知識之間存在的關聯性[2].例如，線性代數中關于向量空間的相關研究是建立在學生對中學時期平面向量的相關理解上的，線性代數中的線性方程組相關知識是對中學時所學的二元一次方程組的解的深入研究，等等.教師以這種方式在大學線性代數與中學數學之間架起一座橋梁，能讓學生初步建立起與中學數學相聯系的思維框架，提高他們對線性代數的方式接受程度，降低他們學習線性代數的難度，從而更加容易推進線性代數的教學，更有利于提高教學質量.其中最重要的是讓學生理解線性代數的原理.真正能讓學生走進線性代數的方式是學生對線性代數的起源、原理、研究對象等最本質、最基礎的問題產生興趣，并明白線性代數在“高”“精”“尖”領域的重要性.如中國人民大學出版社出版的《線性代數（第三版）》，讓學生知道線性代數在生活中有諸多應用[3]：計算現實生活中的產品生產總值、預測人口總數、人臉識別技術、密碼學利用矩陣對信息進行編碼與解密，讓學生充分感受線性代數的魅力.學生理解了線性代數的原理，對在原理上推演而出的規律、定義等也就理解得更加透徹，遇到問題從其原理出發去思考，就更容易解決問題，從而能夠更加快速高效地吸收知識，更加輕松地學習這門課程.有些老師由于教學時間緊迫、教學任務繁重等諸多原因，在正式授課時沒有準確地解釋線性代數獨特的概念、原理和規律等問題，這會引起學生思維的混亂.因此，經過一段時間的授課后，老師要以提問的形式帶領學生進行回顧與總結，如矩陣相乘時它們的行元素與列元素怎么相乘相加，矩陣和行列式的數乘規則哪里不同，矩陣之間的相乘為什么有左乘和右乘之分，等等.有的學生雖然想要跟上老師教學的腳步，卻因缺少對線性代數的基本理解，再加上教學進度過快，越來越跟不上，只能一知半解地聽下去，面對行列式、矩陣、空間向量等內容時似懂非懂，到最后干脆破罐子破摔，囫圇吞棗地記住定義與公式，形成惡性循環，這是影響教學質量的一大因素.

三、注重專業名詞解釋，區分易混淆知識點

線性代數的教學雖分成多個章節進行，但有些專業名詞卻會貫穿多個章節內容，例如行列式、矩陣、矩陣的秩和向量空間等.王翠香在《線性代數課程的特點與教學方法探究》中指出[4]，線性代數里有些專業名詞用常規方法難以解釋，且有些知識點高度相似，如果老師對線性代數的任何一個專業名詞的定義解釋得不清晰或者對可能混淆的知識點不特別說明，都有可能導致學生對專業名詞不理解或者理解不透徹.學生發現課本的多個章節都出現自己不理解的專業名詞與厘不清知識點之后，就會對線性代數產生畏懼心理，甚至會形成一些錯誤認識.我們發現，一些老師在使用專業名詞時沒有考慮到課程標準的要求和學生的接受能力，會下意識地高估學生的理解能力，錯誤地認為一些專業名詞或一些知識點過于簡單，無須過多解釋學生也會懂，但是對于學生而言，這些專業名詞是他們從未接觸過的.就拿非零子式的定義來舉例，課本中k階子式的定義[3]是：在m×n維矩陣A中，任取k行與k列（k≤m，k≤n），位于這些行列交叉處的k2個元素按原次序做成的k階行列式稱為矩陣A的一個k階子式.其實這個定義若讓老師來看，非常簡單，他們認為給學生簡單講解就沒有任何問題了，但總有一部分學生理解不了非零子式代表的是什么，行列式交叉處的k2個元素是什么意思，怎么按原次序.因此，老師通過舉例說明可能效果更佳.如1-202-48-24-2中，一階子式就是3階方陣的每個元素構成的行列式，即為元素本身，共9個，非零元素有8個，相等的按一個計算，則一階非零子式共有6個，分別是1，-2，2，-4，8，4，二階子式共有9個，從三行中任取兩行，三列中任取兩列，即C23·C23=9，分別為：①1-22-4，②1028，③-20-48，④1-2-24，⑤10-2-2，⑥-204-2，⑦2-4-24，⑧28-2-2，⑨-484-2.其中①④⑦這3個行列式等于零，于是二階非零子式為余下的6個.三階子式則是矩陣本身的行列式，即1-202-48-24-2為唯一的三階行列式.而實際分析中，我們只需找到某個k階子式不為零就可以了，但詳細地分解一個例題之后，學生就能夠明確k階子式的含義，進而加深對矩陣的秩的理解.FCEF4DE7-750D-47FF-AC43-4E0E3E8D5417

有些學生對知識具有遺忘性.對于有些知識點，學生聽的時候很明白，而且教材里介紹得很清楚，但過了幾周，學生發現自己不懂了，尤其是易混淆的知識點.比如矩陣與行列式的數乘：矩陣數乘是用常數k乘矩陣A中的每一個元素，如kA=k1-202-48-24-2=k-2k02k-4k8k-2k4k-2k，而行列式的數乘則是用常數k乘|A|中的某一行或某一列的元素，如

k|A|=k1-202-48-24-2=1-202k-4k8k-24-2.因此，教師一定要讓學生養成做筆記的好習慣，而且要多練習，多回顧.教師要注重對線性代數專業名詞的解釋，并區分易混淆知識點，讓學生清楚地意識到“認真是成功的秘訣，粗心是失敗的伴侶”.

四、增加課堂互動，激發學生興趣

以廣州華商學院的線性代數教學過程為例，線性代數課程只安排在大一下學期，教學時長為18周，每周2個課時，共36個課時.由于教學時間緊迫、教學任務重，部分老師為了能順利完成教學任務，會采取兩種方式：一是為了壓縮教學時間，加快教學進度，會選擇性地忽略一些對課程不重要的知識點，對一些線性代數的聯系性、原理性和名詞性問題解釋甚少.這有可能導致學生對線性代數的相關知識一知半解，在不能理解課本知識以及跟不上教學進度后陷入自我否定的狀態，產生抵觸心理，從而出現老師在上面講課，學生在下面玩手機、交頭接耳等現象.二是師生互動少或不互動，教師保持良好的教學態度，教學非常認真，知識點把握也非常熟練，但減少了與學生的交流.趙鑫碩運用控制變量法，以時間長短為唯一變量對大學生學習注意力的差異進行研究發現[5]，隨著上課時間的延長，學生的注意力是先逐步上升，中間保持一段時間，然后逐步下降的.因此，這種課堂氛圍在無形中會給數學基礎差的學生帶來負面影響，導致學生注意力迅速分散，去做一些與課堂無關的事情，出現學生走神、不懂裝懂的現象，使教學質量出現滑坡.通過對廣州華商學院線性代數課堂上的這些現象進行分析，我們不難發現其中的原因：一是有些老師因為教學進度安排，缺少與學生的互動，不能同時兼顧基礎好和基礎差的學生;二是一部分學生只想通過課堂、通過教師的講解獲取這門課程的知識，缺乏自我學習的學習習慣.因此，要提高教學質量，老師們就得從課堂互動入手，從激發學生興趣入手，將學生的注意力重新吸引過來.同時線性代數因其邏輯性與抽象性強，就更加需要老師與學生的互動.

如何提高學生對線性代數的學習興趣呢？我們給出如下建議：課程進行到中途時，若老師發現學生開始走神，可先分享與線性代數有關的趣事或講一些趣味性的知識，如老師可以這樣向學生介紹二階行列式的對角線法則：滄聲笑海=滄海-聲笑.這樣既能加深學生對法則運算的印象，感受線性代數之美，又能吸引學生注意力，讓學生的精神得到放松，一舉兩得.受限于課堂時長，對于不同知識點的區分問題，老師不能覺得學生會自己區分就簡單地略過，有時候老師略過的知識點就是學生的理解誤區.老師可在下課前幾分鐘提出思考問題，例如，在矩陣與行列式的授課完成后，讓學生課后思考它們有什么不同，等下一節課時老師再詳細講解，以此培養學生的探索思考能力，節省課堂時間.當然這部分也可以采取線上活動的方式進行，做到線上線下相結合.同時，課后布置具有代表性的作業是非常必要的，可以讓走神沒聽課的學生也能根據題目去思考與運用知識點.老師為增加課堂互動、激發學生興趣做努力，學生也不能因為聽不懂就抱著得過且過、臨考沖刺、及格就行的消極想法應付線性代數這門課程，而是應積極配合老師，常練習，勤思考.

五、學生應及時平衡大學的生活與學習

中學時期學生的學習主要依靠老師和家長監督，這導致學生對父母和老師產生過分的依賴，自制力差，缺乏自主的決策和規劃能力.王翠香、李艷艷與張巧玲等人在對線性代數課程教學的研究中指出，大多數學生在中學時期的個人時間靠家長與學校安排，學習依賴教師和家長的監督，過于被動，這很容易導致一些學生在高中畢業進入個人時間可以自由支配的大學后，因不知道怎么樣去安排學習時間而喪失了自律的好習慣.在大學，學生除了擁有豐富的課外活動和大量可自由支配的時間，還需要用更多時間提前去收集、理解本專業的各種知識來提升自身能力，以求在未來能更好地發展.但中學時期按部就班的生活與自由自在的大學生活形成了鮮明的對比，學生對豐富多彩的大學生活產生了強烈的向往，沉浸于大學生活帶來的新鮮感，卻選擇性地忽視了大學也是一個對學生的自律性要求頗高的地方.種種原因疊加之下，學生就疏忽了對線性代數的自主預習，在跟不上教學進度之后，就產生了厭學、逃課和上課睡覺等諸多問題.由此可知，學生對監督的依賴性與大學對學生自律性的要求產生的沖突，也是教學質量下滑的一大原因.因此，學生應及時平衡好大學的生活與學習，做到在下節課即將到來之前復習學過的內容，提前翻看課本預習下一節老師要講的課本內容，分清主次，做好個人未來規劃，勞逸結合，為以后的精彩人生做好知識儲備.

六、學生應適當約束自己的課堂行為

任何教學都是兩個主體相互作用的過程，教師在教學過程中存在欠缺的地方，同樣也是學生存在一些問題的地方.線性代數課堂教學質量出現問題，有相當一部分原因出自學生本身.學生會因為對課程不感興趣、跟不上課程進度、在上課的前一晚通宵等各種原因在上課時表現出講話、埋頭玩手機、睡覺等拒絕學習的行為.這在一定程度上影響了認真學習的同學，也導致老師不得不分出精力看管這些學生，進而使教學無法正常推進，教學時間被浪費，教學質量下降.廣州華商學院教務處每學期都會安排學生在教務系統對老師進行教學評價，各個二級學院也會開展學生與教師的座談會.通過教學評價和座談會我們發現，部分學生將學不好線性代數的原因歸結于老師的語速過快、課程講得太快、講得聽不懂、太沒意思等.

從老師的角度看，按18周的教學安排設置的教學進度非常合理，除了能夠講解清楚知識點，也可以增加適當的互動環節.但是因為有些知識點比較簡單，通過前面的鋪墊，老師認為學生通過自主學習就能學會;有些知識點學生不需深入了解，如證明太過煩瑣、只做了解的內容老師也不會講，以免浪費課堂時間，影響課程進度.若學生想要深入了解這些問題，可以自主學習思考并在課后與老師進行交流.FCEF4DE7-750D-47FF-AC43-4E0E3E8D5417

從學生角度看，廣州華商學院的線性代數老師會在第一次上課時提供聯系方式，建立微信群，等等，方便與學生進行交流.所以學生除了課間和課上可以與老師面對面交流，還可在課后發文字信息、圖片或語音詢問相關問題，老師也會給予回復，耐心解答，對學生加以引導或者指出解答該問題的關鍵，讓學生再深入思考.因此，學生學不好不能完全歸咎于老師，要反思一下自己有沒有認真投入地去學習.學生應學會從自己身上找原因，而不是推卸責任，應適當約束自己的課堂行為，作息規律，做到不影響老師授課與其他同學學習.

七、根據學生接受程度合理安排課程

廣州華商學院的線性代數所使用的課本是中國人民大學出版社出版的《線性代數（第三版）》[3].這本教材有兩部分設計得非常好：一是每一個知識點都有相應例題的推導過程，每個章節最后都有相應的章節習題和總習題供學生鞏固和練習;二是在教材最后有對線性代數的應用與模型的舉例與講解.老師在正式授課之前，可以先將線性代數在生活中的應用簡略地講一點，讓學生大概了解并留下印象，做好鋪墊，使其以后學習到這部分的時候，對知識的了解更加深入.有部分學生反饋：該教材的第一章先對矩陣的概念與運算進行講解，再教授方陣的行列式，然后又返回來教授矩陣的相關知識，會讓自己對知識點的理解產生混淆.這對于初學的學生來說，有些不容易接受.有部分學生直言，第一節他們剛學了矩陣的概念與分類，還未清楚有什么應用和運算規則，第二節卻沒有絲毫銜接地介紹了行列式，在他們剛剛意識到矩陣和行列式原來不是同一個概念的時候，第三節又毫無預兆地介紹了矩陣各種運算的規則.我們都知道矩陣和行列式的性質有高度的相似性，且矩陣與行列式的相關內容貫穿整本教材，因此，老師在教學時需要重點區分出它們的不同.學生本就剛接觸這門課，如果教師按照教材的排序方式去教學，容易造成部分學生的學習根基不穩，思維邏輯混亂，無法正確地將兩個不同的知識點區分開來，從而導致學生對學習產生抵觸心理.部分學生表示，他們本來想對行列式的定義深入剖析理解，但稍不注意就將其與矩陣的概念混為一談.因此，如何將它們的關系捋清，使學生建立明晰的思維框架，是老師首要的任務.老師要將學生不理解之處介紹清楚，以便學生逐步完善思維框架，以此來提高線性代數的課堂教學質量.

結 語

由以上闡述得出，老師在正式授課之前一定要將線性代數與中學數學的聯系、線性代數的原理及作用等解釋清楚，注重對線性代數本質的剖析;在教授這門課時，應根據學生對知識的理解程度，按知識的先后順序將教材章節捋順;注重對線性代數學科中專業名詞的解釋，適當進行課堂互動，調動學生興趣.當然，不能只是老師單方面努力，學生也要配合，緊跟老師的教學步伐，學會平衡大學的生活與學習，約束自己，提高自律性，學會從自身查找原因而不是將學不好線性代數的責任推卸給老師，不能覺得它是一個陌生學科而對這個學科產生抵觸心理.線性代數的教學不僅僅是傳授定義和公式，有很多的應用都值得老師與學生共同思考與深入探討.

【參考文獻】

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[2]代業明.從方法論和認識論看線性代數與中學數學的聯系[J].煤炭高等教育.2011，29（5）：124-125.

[3]趙樹嫄.線性代數（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2021.

[4]王翠香.線性代數課程的特點與教學方法探究[J].大學教育，2019（11）：91-93.

[5]趙鑫碩.大學生移動學習注意力差異研究[D].徐州：江蘇師范大學，2017.

[6]李艷艷.線性代數教學改革的探索與實踐[J].文山學院學報，2021，34（3）：90-93.

[7]張巧玲.初探線性代數課程的特點與教學方法[J].數學學習與研究，2021（20）：12-13.FCEF4DE7-750D-47FF-AC43-4E0E3E8D5417