師范教育中組合數學教學改革探索

喬智

【摘要】組合數學是數學中的交叉學科，其內容豐富，應用廣泛.本文先從教學內容不明確、教學目標不清晰、教學方法陳舊三方面分析了組合數學的教學現狀.隨后從緊扣培養目標、強調數學思維、介紹數學軟件、注重實際應用等四方面對組合數學課程的教學改革進行了探討.

【關鍵詞】組合數學;師范教育;交叉學科

【基金項目】本文系四川師范大學校級教改項目（項目編號：2018JWC093、JWC202082050、JWC202082088）.

師范專業的目標是培養優秀的教師，保證我國教育事業的順利發展.組合數學是數學中的交叉學科，其內容十分豐富，包括計數組合學、圖論、區組設計、極值組合、代數組合等.組合數學的應用也十分廣泛，它在計算機科學、生物學、化學等學科中都有著廣泛的應用.

一般的組合數學課程主要講授計數組合學，講解基本的計數原理及其應用.以成為優秀教師為目標，通過組合數學課程的學習，學生應掌握組合數學的基本思想，明白組合數學與數學各個分支的聯系，了解組合數學在其他學科中的應用.在組合數學課程教學改革中，我們要發現問題、解決問題，從而更好地進行組合數學的課程教學.

一、組合數學教學現狀的分析

在過去的幾十年中，隨著現代數學的蓬勃發展，組合數學本身產生了巨大的變化，其自身的廣度與深度都與過去不可同日而語.與此同時，隨著計算機科學的發展，組合數學與算法、編程、建模等相關內容都產生了緊密的聯系.師范專業的目標是培養優秀的教師，教學內容與方法更需要與時俱進，不能默守成規、一味地堅持傳統教學的內容與方式.

（一）課程內容不明確

組合數學的內容主要分為三類：純粹的數學，例如，容斥原理、Mbius反演公式;現實生活與生產中的問題，例如，關于地圖染色的四色問題、關于網絡流量的最大流最小割定理;科研與工程中產生的問題，例如，電路中基本的基爾霍夫定理、網絡的可靠性問題.

傳統的組合數學課程主要講授計數組合學.國內組合數學教材，主要包含鴿巢原理、生成函數、遞推關系、容斥原理、Mbius反演公式、Pólya計數定理等內容.其教學重點主要在于講解組合數學本身的各種理論，教學目標是讓學生熟悉與掌握經典的組合數學工具，具備解決組合數學問題的基本能力，對理論的講解與例題的選擇，更側重于其內在的組合意義，而非與其他學科的聯系.

隨著數學研究的不斷發展，組合數學中各種新的內容與方法不斷產生.目前組合數學的研究出現在許多不同領域.而在具體的教學過程中，教師也經常會講授組合數學在抽象代數、初等數論等其他數學課程中的應用.隨著組合數學在計算機科學等其他學科中的應用越來越頻繁，圖論在組合數學中的意義也日益重要.一般的組合數學課程教學通常不涉及圖論的內容，因而學生所能了解的組合數學的應用只局限于數學本身.

在具體課程內容的選材時教師會很困擾，一方面，由于組合數學內容十分廣泛，一門課程無法覆蓋組合數學的所有課題;另一方面，組合數學的經典理論與組合數學的各種應用也讓教師難以取舍.因此，組合數學課程的教學內容并不明確.

（二）課程定位不清晰

組合數學是一門交叉學科，學生學習組合數學的意義主要有以下幾個方面：從普及數學教育的角度看，組合數學是一門常識性課程，每個數學專業的學生都應該當對其有基本的了解;從傳授知識的角度看，組合數學可以讓學生理解組合思想、掌握組合技巧;作為與數學不同分支聯系緊密的學科，組合數學可以讓學生更好地認識到數學是一個整體;作為在科學領域和工程領域有廣泛應用的學科，組合數學可以讓學生了解數學的具體應用.

在師范教育中，數學專業的目標是培養未來的數學教師.那么具體到組合數學的課程教學中，本課程的教學目標必須明確.因為針對不同的培養目標，教師需要選取不同的教學內容，采用不同的教學方式.

在傳統的組合數學課程教學中，許多課時被用來向學生講授各種組合數學的技巧，例如，講解各種特殊計數序列.從數學科普的角度講，特殊計數序列這類內容屬于組合數學的經典結論，作為常識每個數學專業的學生都應當有所了解.與此同時，也有很多課時被用來將組合數學的各類定理推廣到一般形式，例如，偏序集上的Mbius反演公式、帶權形式的Pólya計數定理.從數學藝術的角度講，偏序集上的Mbius反演公式、帶權形式的Pólya計數定理作為對應定理在一般形式上的推廣，其結論本身充滿美感.教師采用這種講解方式的優勢在于使得學生對某些經典的組合專題有較為系統、深入的了解.但這種教學方式對結構圖論、代數圖論、概率模式等內容完全不涉及，理論與實際脫軌，使得學生很難使用組合數學的工具與思想去解決具體的問題.

在組合數學這樣內容豐富的課程教學中，教師需要對經典專題與前沿專題進行取舍，對專題涵蓋的深度與廣度也需要仔細斟酌.在師范教育的過程中，組合數學課程應該有著更加重要的角色.

（三）教學方法陳舊

隨著信息技術的不斷發展，數學與計算機的結合越來越緊密.不論是在工程中對數學的具體應用，還是在數學研究與科學研究的具體操作中，都離不開與計算機專業相關的數學軟件.但在組合數學的實際教學中，幾乎不包含對組合數學相關的數學軟件的講解.通常在數學實驗、數學建模等專業課程中教師才會對具體的數學軟件進行介紹.在組合數學的教學中，教師一般采用經典的數學課程教學方法，先介紹定義，隨后證明定理、命題，課堂的大部分時間都用在講解定義與證明定理.這種課程安排方法，把理論課程與應用課程分割開了.

事實上，理論與應用是數學的兩面，理論是應用的支撐，應用是理論的實踐.對于數學分析、線性代數這類入門課程或實變函數、泛函分析這類理論課程而言，教師進行這樣的講解當然是沒有問題的.但是對于組合數學這樣一門應用如此廣泛，與計算機結合得如此緊密的學科，教師依然采用傳統的教學方法，只講解理論與證明，無法讓學生明白組合數學在實踐中的具體應用，也無法讓學生了解組合數學的全貌，更無法激發學生學習組合數學的動力.因此，教師在組合數學課程教學中，可以嘗試引入新的教學方法，將理論與應用結合起來講授.

二、組合數學教學改革的思考

教師進行組合數學的課程教學，一方面應當盡量讓學生了解組合數學本身的各個專題;另一方面，也應當發揮組合數學的橋梁作用，讓學生進一步理解數學內部各個分支的聯系，了解數學在不同學科中的應用，掌握基本的數學實踐能力.

（一）緊扣培養目標

組合數學課程的培養目標應該是讓學生明確組合數學作為交叉學科的優勢，教師通過講解組合數學在不同數學分支中的應用和組合數學在不同學科中的應用，讓師范專業的學生了解數學的全貌以及組合數學與其他學科的聯系，從而讓他們未來成為更好的數學教師.在具體的教學中，教師不應在講解組合數學的某些專題時太過深入，而應當多介紹組合數學的不同專題，重點強調其與不同領域的聯系.

在過去的五十年中，數學的研究成果呈指數級增長，其后果之一就是人們無法對所有的新成果都有所了解.然而數學各個領域的教科書的數量也大大增加，例如，Springer出版社著名的UTM與GTM系列.在實際的教學中，教師要考慮到學生已掌握的有限知識，選擇講解課程所在領域的一小部分內容，盡量避免與其他課程產生聯系，以免增加學生的學習難度.與此同時，為了充實課程內容，增強學生對內容的理解，教師一般會選擇對具體的定理、命題進行深入講解，如一般化推廣、講解大量的例子.

在許多數學課程中，教師采用這種方法是沒有問題的.但組合數學有其自身的特點，一方面，組合數學因其易接受性而廣為人知.換句話說，許多組合數學的問題，其講解過程中主要涉及精妙的組合技巧，而不需要大量的數學背景知識.另一方面，組合數學在許多不同領域中都有較為直接的應用，即教師在講解過程中只需要對相關領域的應用背景有基本的了解.因此，教師在組合數學的教學中，講解大量精妙的組合技巧和相對初等的例子意義并不大.對于組合數學這樣的學科，我們應重點講授方法與應用.例如，最基本的二項式定理，一方面，它可以推廣到交換環上，也可以推廣為關于函數乘積的高階導數的萊布尼茲公式;另一方面，它也可以根據其得到多項式定理和多元函數的萊布尼茲公式.因為組合數學揭示的是數學中的基本技巧與原理，將組合數學作為線索，把數學的各個分支聯系起來.

因而在具體教學中，我們應當在適當的地方強調數學不同分支之間的聯系，這樣可以使學生更好地了解數學的全貌，也可多講解組合數學在不同學科中的應用，使學生更好地了解數學在工程和科學領域的作用.

（二）強調數學思維

一方面，組合數學的問題來源十分廣泛，每個問題都有自己獨特的精妙解法.另一方面，許多組合數學的基本結論，都可以進行一般性的推廣.在具體的教學中，我們應當弱化數學技巧，減少組合數學結論的一般性推廣，而重點向學生講授數學思維.

組合數學中的許多內容，大都有大量初等數學的應用，例如，特殊計數序列、鴿巢原理、容斥原理等.對于這部分相對基礎的組合原理，講解大量初等應用的好處在于向學生展示不同問題的精妙解法.許多組合數學的基本結論，都可以進行一般性的推廣，例如，偏序集上的Mbius函數、帶權形式的Pólya計數定理.通常，這種一般性的推廣都會得到比原本定理更為廣泛的應用，其推廣過程通常篇幅較長，但方法上的創新較少，其應用的推廣也通常是在同一類問題上進行的.組合數學在不同領域的應用十分廣泛，例如，數論、圖論、編碼、區組設計、算法.在授課過程中，教師有必要選擇其中有代表性的內容進行講解，多介紹組合數學的各種典型方法，而不應在某一部分具體內容上，追求一般性與理論體系的完美融合.因此，在組合數學的課程講解中，教師應當重點講授數學思維，選擇一些典型的方法進行講解，對相同的數學技巧、一般性推廣的講解可以適當減少.

教師在課堂中應重點講授數學思維，對于組合數學中那些精妙的應用和定理的一般性推廣，可以將其中的一些作為課后作業與課外閱讀.這種方式顯然不同于傳統的教師講授、學生接受的教學模式.學習數學最終還是為了解決問題，教師在課堂上把握住課程的核心脈絡，學生在課下閱讀一些額外的內容，嘗試解決一些經典的題目，不僅可以讓學生把握住課程的主題脈絡，還可以培養學生自學與獨立思考的能力.

（三）介紹數學軟件

傳統的基礎數學課程的重點在于講解數學理論.而組合數學與計算機科學的聯系十分緊密.因而在課程中，教師除了介紹組合數學理論之外，也可以適當補充相關數學軟件的介紹.

現代數學的理論越來越復雜，數學論文動輒上百頁，完全靠人工計算是低效的且沒有必要的.十七、十八世紀的數學家們，喜歡手算各種數值計算，以此來展示他們對理論的實際應用.對于現代數學教育來說，教師讓學生了解與掌握基本的計算方法與計算原理是有必要的，但不必執著于讓學生進行手算.

組合數學的具體問題一般計算量都較大.學生掌握數學軟件基本的使用方法，就可以避免大量重復的勞動，把更多精力用在理解數學思想上.而與此同時，在現代的工程和科研領域中，編程是一項必備技能，因而本課程中對數學軟件的學習也并沒有額外增加學生的學習任務，反而可以將計算機課程中的編程知識與數學理論的學習和具體數學問題的解決聯系起來.例如，Mathematica軟件中的求序列函數FindSequenceFunction，只需輸入數列的前幾項，該函數就會找到滿足條件的通項公式;而StirlingS1、StirlingS2、CatalanNumber函數則可以生成對應的Stirling數與卡特蘭數.

教師在組合數學課程中介紹數學軟件一些基本的組合函數的用法，在解決實際問題時，學生可以通過理論分析得到具體的算法，根據算法只需要調用數學軟件對應的內部函數即可，省了大量的工作量.而算法的復雜度也是組合數學關注的內容，同學們自主設計算法解決實際問題，更好地體現了學以致用的思想.因此，教師在組合數學課程中介紹數學軟件的使用，是很有益處的.

（四）注重實際應用

在一般數學課程的教學中，我們主要關注的是數學理論的構建與解決對應的數學問題.組合數學課程與具體的應用聯系十分緊密.因此，在組合數學課程中，教師應當多介紹組合數學在計算機科學等其他領域的應用，這樣更能激發學生的學習興趣.

在傳統的組合數學的教學中，教師主要關注的是各類計數問題，涉及的學科基本都是數學的不同分支，例如，數學分析、近世代數、初等數論等.數學的優美理論自然有其內在的價值，但數學的各種應用更充分地體現了數學是自然科學的紐帶.例如，組合數學中的最大流最小割定理，就是用來研究兩地之間公路運量的基本工具;基爾霍夫定律是電路中電流和電壓所遵循的基本定律，它也可以用組合數學理論給出直接的證明;計算機科學中的網絡可靠性也經常用圖論中的連通度進行描述.

而在具體問題的分析中，我們可以選擇與現實聯系緊密的問題.例如，組合數學在密碼學中的相關問題;交通網絡的運量分配問題;工廠生產中的最優化問題等.教師選擇這些實際問題進行舉例，可以讓學生了解組合數學的應用，激發學生學習組合數學的動力.

教師講解數學理論，可以讓學生了解數學理論的優美;而講解數學的具體應用，可以讓學生了解數學的具體用處與用法.對數學理論與數學應用兩方面進行了解，學生會更清楚學習數學的意義.

三、總結

組合數學是數學中的交叉學科，其內容豐富，應用廣泛.在師范教育的組合數學課程教學中，教師應當緊扣培養目標、強調數學思維、介紹數學軟件、注重實際應用，從而得到更好的教學效果.

【參考文獻】

[1]Alon N，Spencer J H.The Probabilistic Method （4th edition） [M].John Wiley and Sons Ltd，2016.

[2]Bondy.Graph Theory [M].Springer London.2008.

[3]L Lovász.Trends in mathematics： How they could change Education[J].Future of Mathematics Education in Europe，2014，1（2），525-533.

[4]潘永亮，徐俊明.組合數學[M].北京：科學出版社，2006.

[5]Stanley.Algebraic Combinatorics[M].Springer Bedin Heidelberg，2018.

[6]張大坤，史一葦，任淑霞.組合數學課程教學改革與實踐[J].軟件，2018，39（6），205-208.