數學建模案例融入高等數學教學的實踐探討

郭連紅

【摘要】 在高等數學的教學過程中改進教學方法、靈活調整教學內容、豐富數學教育內涵是提升學生創新思維能力和綜合素質，培養高技能人才的一個重要環節.文章從高等數學課程的現狀以及選取的數學建模案例出發，闡述了結合專業背景，在課堂或課后小組作業中融入相應的數學模型案例進行實踐教學應遵循的幾個原則，并給出具體的教學實施案例.

【關鍵詞】數學建模、高等數學、教學實踐

【基金項目】廣州番禺職業技術學院2021年度教育教學改革項目（2021JG24）

高校開設的高等數學課程，為學生學習后繼專業課程或進行科研工作提供了必不可少的知識儲備、理論方法和重要工具，作為培養學生理性思維的重要載體，高數課程還為培養學生的創新思維和創新能力提供了學習和訓練的機會，這也是學生將來創造性地應用專業知識乃至發現新知識的重要基礎.因此，教師在高等數學的教學中改進教學方法、豐富數學教育內涵，是提升學生創新思維能力和綜合素質、保證高校人才培養質量的重要環節.

數學建模是將實際問題用數學語言和符號抽象、簡化后，建立能近似描述實際問題的模型，通過模型求解達到解決實際問題的一種有效方法.數學建模過程實質上是“問題解決”的過程，也是培養學生分析和解決問題能力的過程，也是培養學生創新能力的過程[1].因此，教師在高等數學的教學中結合專業背景，開展以問題為導向、融入數學建模思想、結合數學建模案例的教學，對于高校數學改革研究具有重要意義.

一、高等數學課程現狀分析

高等數學課程是理工類、經管類專業的一門基礎課程，是大部分高等院校都已開設的一門必修課程.但是在學時設置上各院校及各專業之間差別較大，部分獨立院校以及大部分高職院校，一般將高等數學課程的學時設置為48學時至90學時，有些院校的經管類專業甚至不開設高數課程.在大面積縮減學時的背景下，高等數學教學內容主要集中在一元微積分與微分方程這兩大模塊上，只有學時達到90學時以上的專業才能介紹二元微積分部分的知識.在不同專業人才培養計劃下，實際的教學實施過程中的某些內容還略有不同.教師的課堂講授方式也較多偏向于傳統教學方式，利用數學工具解決實際問題或相關學科問題的實踐也很難在課堂上進行.總之，目前的課程設置較多地偏向于數學知識體系本身，缺乏與學生所學專業的融合，與數學課程服務于專業課程的目標有所偏離，不利于學生對數學知識學以致用.

高等數學的主要內容是微積分，而微積分的形成和發展與幾何、物理、天文等研究領域的發展密切相關，這為高等數學的實際應用提供了很多現實場景[2].因此在高等數學教學中，教師可選用物理、生物以及經濟中許多現象的代表性變量進行分析，進而建立各類簡易的數學模型.這些內容融入課堂使得教學內容更加豐富生動，進而激發學生的學習興趣.教師在有限的課堂教學時間中，找到恰當的切入點，通過融入數學建模思想及案例，依據各專業的不同特征以及對數學的不同需求對教學內容進行取舍，還可以建立以“模型案例”為中心的知識體系，結合課后學生小組合作、社團學習、師生共研等多樣的教學實施形式進行教學.

二、數學建模案例的選取

在高等數學教學中進行案例教學的困難主要有兩方面.一方面，數學模型往往與具體的數學問題以及較為系統、復雜的數學方法緊密相連;另一方面，低年級本科生、特別是高職院校的學生，數學基礎相對薄弱，對數學建模的認識處于起點階段.因此，如何精選涉及初等數學理論和方法且又能體現數學建模思想的案例融入課程就十分重要.通過教學實踐進行總結，一般地，教師在選取數學模型案例時應遵循幾個原則：

（一）結合高等數學的知識點，聯系專業背景，聯系生活，選擇恰當的數學模型

教師選用的數學模型不僅要來源于生活，要與專業背景相契合，還要具備一定的實用性與趣味性，不應涉及太深的專業知識.所以，在選取數學模型進行案例教學時，教師要針對不同專業的需求，盡量選擇能精準服務專業課程的案例.例如，在電子技術、工業設計、電氣自動化等理工類專業的高等數學教學中，教師講授極限、無窮小概念時，可結合歐姆定律設計相應的物理問題，建立相應的數學模型;講授導數時，可結合變壓器原理與應用，設計背景問題引入數學模型案例;講授不定積分、定積分時，可結合交流電路的分析，設計相應問題建立數學模型.在經管類、建工造價類專業高等數學的授課中，教師講授重要極限時，可引入單利與復利的計算方法，結合第二重要極限，建立極限在經濟應用中的數學模型;講授導數知識時，可結合常用的經濟函數，依據最大利潤原則，建立相應的經濟數學模型.

（二）課堂融入數學模型案例目標明確——引導學生學以致用

在此目標指引下，教師所選模型案例的理論應該簡明、易懂，能夠在較短時間內講解清楚，不占用過長的課堂時間，在進行課程設計時，要遵循學以致用的目標，做到精心設計，而不是用“模型案例”的內容占用高等數學的課堂.

（三）數學建模案例的引入，宜采用循序漸進的方式

教師應充分了解學生的學情，面對學生多樣化的情況，想要達到數學建模案例對課堂教學效果的輔助作用，就需要在課前精心設計數學模型的講解過程，內容上安排合理、講解通俗、循序漸進，同時上課語言幽默和風趣，增加師生互動環節，從而活躍課堂氣氛，調動學生的學習動力，提高學生的學習興趣.

三、數學建模案例教學實踐

（一）在概念中引入數學建模案例

任何一門學科的核心概念就是這門學科的精髓，高等數學的概念相對抽象，教師在教學時可以通過引入數學建模案例，抓住復雜的概念的實質，讓學生把關鍵的概念真正學透，體會到數學的趣味[4].

案例1 導數定義——邊際分析模型

教師在講解導數的概念時結合邊際分析，將導數概念中的各個要素，分別對應邊際分析各要素.比如，結合經濟學中常用的邊際收益函數.當函數因變量（收益）隨自變量（銷量）發生變化時，導數就提供了關于這種變化的大小和方向的信息.設產品銷量是連續變化的，且產銷平衡，則銷量從x增加到x+Δx，引起的總收益增量為

ΔR=R（x+Δx）-R（x）（1）

兩者的比值表示在x增加到x+Δx之間總效益的平均變化率為

ΔRΔx=R（x+Δx）-R（x）Δx

當Δx→0時，若

limΔx→0ΔRΔx=limΔx→0R（x+Δx）-R（x）Δx（2）

存在，則稱此極限為邊際收益，在數學上稱其為收益函數的導數，記為R′（x）.這樣就將導數概念與經濟學中邊際效益的問題結合起來，更易于學生理解.

（二）在重要結論、計算方法及定理應用中引入數學建模案例

高等數學的課程特點是概念多、符號多、運算規律與定理多，知識聯系緊密.大部分學生在學習高等數學時，并不清楚為什么要學這門課程中那么多的定理，也不清楚這門課程對專業課程的學習以及自身綜合素質的提高到底有多大作用.因此，如果教師在講述定理時能將其與相應的數學模型有機結合，就能把看起來枯燥無味的定理與生活實際建立聯系，起到事半功倍的效果.

案例2 第二重要極限——復利計算模型

利息就是借方按照合約向貸方支付的報酬.例如，客戶把錢存入銀行，銀行按照規定的利率和期限付息.依據初等數學的基礎和生活經驗，同學們知道生活中常用于計算利息的方法有兩種，一種是單利計算，另一種是復利計算.假設本金為A0元，存款年利率為r，存款期限為n年時，按單利計算方法得n年后的本息和An為

An=A0+A0rn

按復利計算時，如果以一年為一個計息期的復利計算方法，每年利率為r，n年后的本息和An如表1所示.

如果以一年k個計息期的復利計算方法，則第n年后的本息和為

An=A01+rkkn（3）

如果按連續復利計算，即n→∞，那么第n年后的本息和為

An=A0limk→∞1+rk=A0limk→∞1+rk=A0enr（4）

當本金A0=1000元，存款的年利率為r=6%時，依據上述算法就可以得到具體年份的本息和.由于在同樣本金下，計息次數越多，銀行支付給存款人的利息就越多，因此連續復利計算利息的方法我國銀行目前還沒有采用.在第二重要極限的課堂教學中，教師引入復利計算模型能讓學生體驗到重要極限在實際生活中的現實意義，同時，可由此引導教育學生遠離各類借貸平臺，從而起到課程育人作用.

案例3 微分方程的可分離變量法——固定資產折舊模型

某公司一臺機器設備在任意時間的折舊率與當時的價格成正比，假設機器剛進貨全新時的價格為2萬元，5年末的價格為1.2萬，求該設備出廠10年后的價值.設M表示設備的價值，則M=M（t），由于折舊率與當時價格成正比，則有微分方程

dMdt=-kM（5）

其中比率系數k>0，這就是折舊-價值的數學模型.

由分離未知量的思想，先將方程（5）轉化為

dMM=-kdt（6）

再對方程（6）兩邊積分得M（t）=Ce-kt.由于設備的初始價格為2萬元，可知M（0）=2，得C=2.將t=5，M=1.2代入即 1.2=2e-5k，解得k=-0.2ln 0.6，所以

M（t）=2e0.2tln 0.6（7）

從而該設備出廠10年后的價值為M（10）=2e0.2×10×ln 0.6=0.72元.

由此結合實例歸納出可分離變量的微分方程類型為

dydx=f（x）g（y）（8）

可分離變量微分方程求解的一般步驟可總結為：

第一步分離變量，將方程可以變形為

1g（y）dy=f（x）dx（9）

第二步方程兩邊同時積分，如果f（x）與1g（y）可積，則方程兩邊同時積分，得到方程

∫1g（y）dy=∫f（x）dx

教師將可分離變量微分方程的解法以一個實例為載體進行介紹，給枯燥的算法賦予應用背景，易于學生對算法的理解，并帶領學生體驗用數學解決實際問題的過程.

（二）在生活中尋找熱點，引入數學建模案例

生活中的很多實際問題，例如人口問題、管理問題、抵押貸款、傳染?。ㄈ鏢ARS、新型冠狀肺炎）的傳播甚至減肥問題等，這些社會熱點問題的內在規律都是可以通過數學模型去解釋的.

案例4 科學防疫——傳染病模型

研究傳染病模型，對社會經濟的發展與維持社會秩序有重要意義.通過查閱資料，同學們可以查到關于傳染病的多個經典模型.2020年新冠疫情暴發，科學家從數學領域、醫學領域對疫情進行分析，依據經典傳染病模型，加入新的因素變量進行深入研究，也是疫情防控的一種有效手段.但是經典的傳染病模型和熱點疫情問題對于大部分學生來說，難以用現有知識去解決.對此，教師在高等數學課程中引入簡化的傳染病模型，是為了提供一個讓學生更容易理解和支持防控疫情各項措施的輔助途徑.

問題：一艘郵輪上有600名乘客，其中一名游客患某種傳染疾病，12小時后已有3人感染發病.由于該傳染病早期癥狀不明顯，且隔離措施缺乏未能及時實施.疫情防控部門可在游客確診之后的60～72小時內將有效疫苗送達，并立即接種.設計數學模型估算出疫苗運達時已感染傳染病的人數.

問題分析：設y（t）表示發現首例感染者后t時刻（單位小時）的感染人數，則此時未感染的人數為600-y（t），則y（0）=1，y（12）=3.

假設極端情況，當感染人數y（t）很少時，只有很少游客能接觸到感染者，此時傳染病的傳播速度慢;當感染人數y（t）很多時，未感染的人數600-y（t）很少，此時傳染病的傳播速度也很慢.不考慮極端情況，只研究當感染者很多以及未感染者很多時，傳染病的傳播速度很快的情況.由此可知，傳染病的發病率與未被感染人數有關，與未被感染者人數也有關.由此可建立如下微分方程模型

dydt=ay（600-y），a為常數.（10）

依據微分方程求解通解為

y（t）=6001+Ce-600at（11）

代入初始值解得

C=599，y（12）=6001+Ce-600a×12=3

600a=-112ln5973×599≈0.09183

于是

y（t）=6001+599e-0.09183t

經過計算得到

y（60）≈175，y（72）≈332

從模型計算結果發現，疫苗花費72小時運到時感染人數是花費60小時運到時感染人數的2倍，可見在傳染病的處理過程中及時采取隔離措施是防疫重要的一環.目前新冠疫情仍在全球肆虐，我國采取盡早隔離、動態清零、全民防疫的有力措施，有效地控制了新冠病毒的傳播與變異，這不僅是我國傳染病學的研究成果，更體現了中國特色社會主義制度的優勢所在.教師在高等數學課程中引入熱點問題，使學生在學習數學知識的同時，還學習了傳染病的防治方法，通過與現實疫情防控效果的對比，對學生進行了一次愛國主義教育.

四、小結

數學建模案例融入高等數學的教學中，能夠提高學生學習高等數學的興趣，引導學生學以致用，鍛煉學生運用數學工具的思維能力.在教學實踐中，首先，教師要設計和選用大部分學生都比較熟悉且能夠與學生所學專業知識的背景緊密聯系的數學模型，布置相應的課后小組作業，能產生較好的教學效果;其次，教師選擇模型應該與高等數學中的某個知識點契合，重在引入建模思想，理論簡明易懂，能夠在較短時間內講解完，不占用過多課堂時間;最后，教師通過小組分享的形式，學習每一單元后分配一小節課用于分享課后建模作業，能夠大大提高學生的學習主動性.

面對目前高等數學教學中存在的問題和困境，各高校都在依據自身需求進行高等數學教學改革.教師在高等數學的教學過程中融入數學建模思想，倡導數學建模的理念，組織數學建模競賽，有利于引導學生勤于思考，培養其善于提出問題并分析問題的習慣，訓練其應用數學建模方法去解決實際問題的能力，從而提高學生的分析、計算、推理能力，進而激發學生的創新能力與團隊協作能力等，這些理念與目標也是高校數學教育工作者在日常教學工作中需要不斷反思、研究與踐行的.

【參考文獻】

[1] 葉其孝.把數學建模、數學實驗的思想和方法融入高等數學課的教學中去.工程數學學報[J]，2003，20（8）： 3-13.

[2] 李大潛.將數學建模思想融入到數學類主干課程[J].工程數學學報，2006（1）： 9-11.

[3]孫靜懿.高數教學中數學建模思想融入實踐研究[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版）.2014，27（10）： 61-63.

[4] 萬安華.高等數學課程教學方法的優化及其案例[J].大學數學，2018，（2）：111-115.

[5] 姜啟源.謝金星，葉俊.數學模型[M]. 北京： 高等教育出版社，2018.