基于小波去噪的優化灰色模型在變形監測中的應用

范飛玲 黃基峻

(1.慶元縣規劃測繪設計院 浙江麗水 323800；2.廣西機電工業學校 廣西南寧 530023)

由于受到自然或者人為因素的影響，建筑物在施工或者運營階段不可避免地會發生變形，對其進行沉降監測意義重大[1]。建筑物沉降監測是對建筑物的沉降過程進行嚴格監控，觀測是否會發生超臨界沉降情況，以便將沉降變形控制在合理范圍內，從而保證工程安全實施。

小波去噪在處理數據時能夠剔除原始數據中的異常值，使原始數據序列更加平滑?；疑Ｐ褪浅Ｓ玫某两殿A測模型，但數據預測呈指數變化形式，預測結果與實際工況存在差異，如果采用恒正凹化和相鄰均值法對原始數據進行預處理能較好地彌補這一缺點，提高模型精度。本文以某建設項目建筑物形變監測為研究對象，基于小波去噪理論和灰色GM(1，1)理論，構建GM(1，1)模型和優化GM(1，1)模型，根據重構去噪前后預測模型，對預測結果和實測數據進行對比分析。

1 小波閾值法去噪

當信號中混有噪聲時，小波閾值法可以很好地抑制噪聲。小波閾值法去噪的前提是噪聲都具有相同的幅值，因此，可以通過設置一個閾值，將幅值低于該閾值的小波系數置為0，高于該閾值的小波系數完全保留， 或者做相應的“收縮”(shrinkage)處理，達到去噪效果[2]。

變形監測數據中混有噪聲信號，可表示為

s(x)=f(x)+e(i)，i=1，2，…，n

(1)

式中：s(x)為變形監測數據，包含了真實變形量和確定性噪聲，f(x)為真實變形量，e(i)為隨機噪聲。

閾值去噪中，閾值函數體現了對超過和低于閾值的小波系數的不同處理策略，是閾值去噪中關鍵的一步。閾值分為兩類，一是硬閾值，二是軟閾值。通過信號與閾值的對比，保持大于閾值的點不變，把其余的點置零，那么把它就叫作硬閾值[3]。硬閾值函數的表達式為

(2)

軟閾值函數的表達式為

(3)

式中：λ為給定閾值，ω為小波系數，ωλ為賦予閾值后的小波系數，sign(*)為符號函數。

當小波系數的絕對值小于閾值時，小波系數置零，當小波系數的絕對值大于或等于閾值時，小波系數變成該點與閾值的差值，這樣的閾值稱為軟閾值。而硬閾值則直接使用置零方法，所以軟閾值的曲線較硬閾值的曲線更為光滑，效果更好。

2 灰色模型

2.1 GM(1，1)模型

GM(1，1)模型是指僅由一個變量的一階微分方程形成的模型，其建模步驟如下：

1)累加生成。設原始序列為x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，對x(0)做一次累加，得到x(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}。

(4)

(5)

2.2 GM(1，1)模型的精度檢驗

為了評價GM(1，1)模型的精度，需要建立評價指標對模型的準確性進行說明。通常精度評定包括3個參數：殘差大小、關聯度和后驗差[4]。

殘差是指預測值與實測值的差值，可表示為

(6)

式中：e(k)為第k次變形監測的殘差。

關聯度檢驗是指構建的模型能否與原始數據進行較好的匹配，其匹配程度如何。

表1 模型精度等級評價Tab.1 Grade Evaluation of Model Accuracy 模型精度等級PC1級(好)0.95≤ PC ≤ 0.352級(合格)0.80≤P< 0.950.35

2.3 優化GM(1，1)模型

對于不同發展趨勢的原始數據序列，其灰色GM(1，1)的建模效果不一：對于原始數據呈凹向且恒為正的序列，模型預測效果最佳；而對凸向的數據序列和非恒正的數據序列，模型預測誤差較大[5]。對于這種缺陷，GM(1，1)優化模型可采用“鏡像”和“平移”等手段對序列{x(0)(tk)}進行轉換，使其呈現恒正凹型特性，再根據序列中相鄰數據求取的平均值生成新序列{x(00)(tk-1)}。對新數列再次建模[6]，同樣用面積表示方程f(tx)在時區上的增量，就可以讓區間前半部分通過彌補陰影部分來降低計算誤差，如圖1所示。

圖1 GM(1，1)建模和優化GM(1，1)建模

等時距監測數據序列可表示為

{x(0)(t)}={x(0)(t1)，x(0)(t2)，…，x(0)(tn)}

(7)

時間間距可表示為

Δti=ti-ti-1； Δtj=tj-tj-1

(8)

若Δti=Δtj，i≠j，i、j∈{1，2，…，n}，則代表序列中時間間隔相等。

建模前，采用相鄰均值法進行數據預處理，即對序列中所有相鄰數據求取平均值生成新序列。

(9)

重新對序列{x(00)(ti)}進行建模，累加結果為

x(01)(tk)=x(00)(t1)×Δt1+x(00)(t2)× Δt2+…+x(00)(tk)×Δtk

(10)

采用最小二乘法可求得發展系數a和灰作用量u，獲得序列{x(00)(tk)}時間響應方程式。

(11)

(12)

3 工程實例驗證

本文以某建設項目的一號住宅樓的101監測點和二號樓的205監測點為研究對象，項目地塊以平地為主，坡度較緩，南北寬約169.84 m，東西長294.33 m。建設項目周圍建筑物眾多，人員密集，且分布著密集的城市地下管線，建筑變形如果超出限定范圍，會導致嚴重的后果，所以有必要進行嚴格的變形監測。本次均使用這兩點的29期觀測數據對預測結果和實測數據進行對比分析。

3.1 監測數據小波去噪

在小波去噪過程中，選擇的小波基函數、閾值和分解層次等因子不同，得到的去噪結果也不同[8]，因此，要找到對某個監測點最優小波去噪結果，需要對不同因子不斷進行對比分析。

根據小波去噪理論，一般情況下，利用軟閾值進行信號處理可以獲得更佳的光滑信號曲線和更理想的去噪數據[9]，因此本文選擇軟閾值去噪法。

經過多次試驗對比分析，小波去噪最終確定采用db8作為小波基函數，分解層數為1，采用無偏風險估計閾值(rigrsure)原則，設置scal=sln時，101監測點和205監測點去噪后預測成果與原始數據如圖2所示。

圖2 101監測點和205監測點小波去噪前后的結果

3.2 灰色GM(1，1)模型比較

3.2.1 優化前后灰色GM(1，1)模型比較

建設項目開始階段，101監測點和205監測點沉降速度較快，到監測后期建筑物沉降逐漸趨于穩定，總體呈“先快后慢”的趨勢。采用傳統GM(1，1)模型對101監測點和205監測點的前25期原始數據進行建模，再利用模型對第26期～第29期的累積沉降量進行預測。

圖3 101監測點和205監測點傳統GM(1，1)模型預測結果

從圖3可以看出，101監測點和205監測點的原始數據與傳統GM(1，1)模型預測曲線的發展趨勢不一致，原始序列后期均呈現穩定趨勢，而預測曲線仍在快速上升。從表2可知， 101監測點預測結果平均絕對百分比誤差為30.19%，P為0.959 7，C為0.455 5，模型精度只達到2級(合格)。205監測點預測結果平均絕對百分比誤差為64.16%，P為0.801 7，C為0.270 5，模型精度也達到2級(合格)。這說明傳統GM(1，1)模型的擬合和預測結果相比于原始數據誤差較大。

采用優化GM(1，1)模型對101監測點和205監測點進行建模。兩監測點原始數據雖然都呈先快后慢趨勢，但101監測點整體呈凸型，適合用優化GM(1，1)模型進行建模。

圖4 101點原始數據恒正凹化處理前后對比

對于205監測點，原始數據呈先凹后凸型趨勢，對于凹凸性不固定的數據，需要分段選取數據進行建模以提高預測精度。選取205監測點第15期～第25期呈凸型數據進行建模，建模過程與101監測點相同。101監測點和205監測點優化GM(1，1)模型預測結果如圖5所示，精度檢驗情況如表2所示。

表2 傳統GM(1,1)模型與優化GM(1,1)模型擬合和預測結果對比Tab.2 Comparison of Fitting and Prediction Results between Traditional GM(1,1)Model and Optimized GM(1,1) Model項 目傳統GM(1,1)模型監測點101監測點205優化GM(1,1)模型監測點101監測點205數據擬合階段數據預測階段最大殘差/mm3.794.42-1.43-0.34最大相對誤差/%151.00359.62-56.187.11相對誤差均值/%25.5152.887.642.32最大殘差/mm5.1110.970.110.37最大相對誤差/%37.1983.170.812.58平均絕對百分比誤差/%30.1964.160.461.38P0.959 70.801 70.977 20.953 2C0.455 50.270 50.108 10.107 1

圖5 101監測點和205監測點優化GM(1，1)模型預測結果

從圖5可以看出，101監測點和205監測點的原始數據與優化GM(1，1)模型預測曲線有較好的擬合。從表2可知，101監測點優化GM(1，1)模型預測結果平均絕對誤差為0.46%，P為0.977 2，C為 0.108 1，模型精度達到1級(好)；205監測點預測結果平均絕對誤差為1.38%，P為0.953 2，C為0.107 1，模型精度也達到1級(好)。說明優化GM(1，1)模型精度高于傳統GM(1，1)模型，預測效果都有較大提升。

3.2.2 小波去噪前后優化GM(1，1)模型比較

為驗證原始數據經小波去噪后能否提高建模精度，本文對使用小波去噪后的原始數據進行建模與使用原始數據進行建模的精度進行對比分析。小波去噪并沒有改變原始數據的變化趨勢，101點小波去噪后數據依然呈凸型，205點小波去噪后數據也依然是“先凹后凸”型。

對101監測點和205監測點采用相同方式進行優化GM(1，1)模型建模，建模過程如上。經小波去噪后的101監測點和205監測點優化GM(1，1)模型的處理結果如表3所示。

從表3可以看出，由于101監測點和205監測點數據在監測后期數據變化較為平穩，導致小波去噪效果不明顯，因此小波去噪前后預測值沒有較大改變。對于101監測點，小波去噪前后的優化GM(1，1)模型預測數據沒有變化；對于205監測點，去噪后優化GM(1，1)模型的均方誤差、平方和誤差和平均絕對百分比誤差相對于小波去噪前優化GM(1，1)模型，精度有較大提高。

表3 小波去噪前后101監測點和205監測點優化GM(1,1)模型精度對比Tab.3 Accuracy Comparison of Optimized GM(1,1)Model between 101 Monitoring Point and 205 Monitoring Point before and after Wavelet Denoising項 目小波去噪前監測點101監測點205小波去噪后監測點101監測點205誤差均值/%7.642.326.982.51平均絕對百分比誤差/%0.461.380.460.54均方誤差/mm0.036 70.105 90.036 70.085 7平方和誤差/mm0.021 50.179 30.021 50.121 7

4 結 語

本文針對傳統GM(1，1)模型在沉降變形預測上的不足，優化GM(1，1)模型。利用恒正凹法對原始數據數列進行了數據預處理，并采用了相鄰均值法重新構建了一階累加序列，讓坐標系中函數在同一時段的點前后面積能夠差值互補，從而能更準確地描述原始序列的真實變化，進而降低GM(1，1)模型擬合誤差，而且優化GM(1，1)模型的精度高于傳統GM(1，1)模型，預測效果有較大提升。

在優化GM(1，1)的基礎上，提出小波去噪數據處理方式，去噪后的優化GM(1，1)預測模型能較好地對沉降趨勢進行預測，模型精度更高，預測結果更為可靠，其結果對工程安全施工具有一定的指導意義。