基于廣義變分原理的裝配/殘余效應下的結構力學特性分析

譚鄒卿， 石曉灝， 蔣學東， 班書昊

(1.常州大學 機械與軌道交通學院， 江蘇 常州 213164； 2.常州大學 生物醫學工程與健康科學研究院， 江蘇 常州 213164)

為了滿足工程中各種功能的需求，需要設計各種各樣的結構。例如，由于具有剛度高、結構輕、尺寸穩定性好等優點，桁架為工程中一種常用的結構[1-3]。另外，多層復合結構已廣泛應用于機械、光學、電氣和化學器件等領域[4-5]。然而，在實際工程中不可避免地會出現制造誤差、安裝誤差、測量誤差等因數，使得結構產生初始內力。初始內力的存在，必然會影響到結構的可靠性，甚至可能導致工程事故[6]。桿件長度的制造誤差使得空間桁架產生一定的初始應力，這些未知的應力可能會引起局部桿件的過早屈曲，甚至造成整個桁架出現累積式坍塌[7]。對于多層復合結構，當制備和工作過程中存在表面應力、外延生長錯配、溫度變化、擴散應變等因數時[8-11]，由于涂層與基底存在失配應變，造成涂層-基底結構存在殘余應力，進而引起多層復合結構的彎曲、剝離、脫層、屈曲以及斷裂等行為[12-16]。因此，對裝配/殘余效應下結構力學特性的研究十分必要。

考慮裝配/殘余效應的結構是超靜定的，其力學特性的研究是結構優化設計的一個關鍵問題。已有大量的方法研究裝配/殘余效應下結構力學特性，如連續介質理論[14,17-20]，Monte Carlo方法(MCM)[21-23]以及有限元法(FEM)[24]等。FURUYA[17]建立了一個解析模型，研究了桿件長度失配對空間結構靈敏度的影響。利用半解析方法，KARPOV等[18]研究了初始應力對規則晶格結構力學特性的影響。余俊等[6]闡述了考慮制造和安裝誤差對桁架結構各桿件的可靠性影響，并給出了修正的可靠性指標的計算方法。利用Monte Carlo方法，SHEIDAII等[23]研究了桿件長度隨機分布對雙層空間結構承載能力、坍塌以及可靠性的影響。SMITH等[24]利用有限元法求解了節點位置不確定條件下桁架結構的內力和位移。

此外，對層合結構殘余效應的研究也廣受關注。TIMOSHENKO[25]利用力和力矩平衡并結合變形協調條件，給出了熱應力引起的雙層梁彎曲的一般解。該方法被擴展到更為復雜的多層梁[26]。將總應變分解為均勻應變和彎曲應變，HSUEH等[14,16,27-28]利用三變量方法研究了多層系統的應力和變形。張能輝等[29-31]給出了更為簡便的兩變量方法。然而，上述方法適用于層合梁的殘余效應研究，不便于分析桁架的裝配效應。

盡管裝配/殘余效應的桁架和多層梁均屬于超靜定問題，但這些結構的一般解法尚未建立。目前，少量文獻[32-33]基于廣義變分原理研究了裝配誤差下桁架結構內力/應力問題，但不能直接求解其他復雜結構的裝配/殘余問題。本文利用拉格朗日乘數法建立了含裝配/殘余效應的新泛函，利用變分法得到結構支座反力或內力的矩陣形式的一般解，最后以空腹桁架、曲桿以及層合梁為例驗證了該方法的正確性和通用性。

1 裝配/殘余效應下的廣義變分原理

當系統達到平衡狀態時，其余應變能函數將達到其最小值，屬于極值問題。對有n個組件的線性超靜定結構，采用拉格朗日乘數法得含裝配/殘余效應下的新泛函的一般形式為[20]

(1)

經過適當的簡化或變換，式(1)可轉為已有文獻的理論。若不考慮裝配/殘余效應，式(1)可退化為經典的廣義變分原理泛函[34-35]。若考慮超靜定桁架，第j個組件的余應變能函數Vj僅是桿件軸力的函數，式(1)與文獻[32-33]中的理論一致。

將支座反力或內力Nk及λi都當作獨立的變分宗量，則新泛函L變分為

(2)

式中p為支座反力或內力的個數。

由于δNk及δλi都是獨立的，則L的極值條件為：

(3)

(4)

式(3)和式(4)分別表示靜力學平衡方程和變形協調方程。由此可知，不同于傳統的力法、位移法等，該能量法將求解超靜定結構的支座反力或內力，轉化為求系統相應的無條件廣義變分原理的新泛函極值問題。

2 裝配/殘余效應下的矩陣解

考慮裝配/殘余效應下線性超靜定結構，其m個獨立平衡方程的一般形式為

(5)

式中aij為支座反力或內力的系數。

第j個構件的余應變能函數為

(6)

將式(5)和式(6)代入式(4)得

(7)

將式(5)和式(7)改寫成矩陣形式為

(8)

式中：A和B分別為式(5)和式(7)的系數矩陣；AT為A的轉置矩陣；N為支座反力或內力的向量；Λ為拉格朗日乘子的向量；Ne為裝配/殘余效應的向量。

求解式(8)得[20,36]

(9)

式中:C11=B-1-B-1AT(AB-1AT)-1AB-1;C12=B-1AT(AB-1AT)-1;C21=(AB-1AT)-1AB-1;C22=-(AB-1AT)-1。

利用式(9)得廣義力(支座反力或內力)為

N=C11Ne

(10)

3 結果與討論

為了驗證裝配/殘余效應下能量模型的正確性，下面將討論空腹桁架、曲桿以及層合梁3種實例，并將計算結果與現有結果進行對比。

3.1 算例1:裝配效應下的空腹桁架

如圖1(a)所示空腹桁架結構，懸臂梁AB和CD長度均為l，抗彎剛度均為E1I1。桿BD略長于名義長度l/2，其制造誤差為Δ，抗拉壓剛度為E2A2。試求桿BD的裝配內力。

對梁AB進行受力分析，如圖1(b)所示。由靜力平衡條件可知:

(a) 空腹桁架示意圖

(b) AB的受力圖圖1 裝配效應下的空腹桁架 Fig.1 Assembly effect on a vierendeel truss

FA-FN=0

(11)

MA+lFN=0

(12)

式中:FN為桿BD的軸力;FA和MA分別為固定端A處的約束力和約束力偶。

對細長梁，剪切變形能影響較小，因此忽略剪切應變對梁應變能的影響?？紤]到載荷和結構的對稱性，根據式(1)得新泛函為

(13)

式中λi(i=1，2)為拉格朗日乘子。

將FN，FA和MA都當作獨立變量，由式(13)得：

(14)

(15)

(16)

將式(11)、式(12)和式(14)至式(16)寫成矩陣形式

(17)

求解式(17)得桿BD的裝配內力為

(18)

式中負號表明桿BD受壓力。上式與文獻[37]中的計算結果完全一致，說明了該能量法的正確性。

3.2 算例2:裝配效應下的曲桿

如圖2(a)所示的曲桿結構，由彈性圓桿AB和剛桿BC組成，在C端上方有一垂直的直桿。已知桿AB的長度為l，材料的抗彎剛度和抗扭剛度分別為EI和GIp。桿BC的長度為a。桿CD的加工長度比名義長度h略短，加工誤差為Δ，材料的抗拉壓剛度為EA。試求桿CD的裝配內力。

(a) 曲桿示意圖

(b) 曲桿AC的受力圖圖2 裝配效應下的曲桿 Fig.2 Assembly effect on a curved bar

對曲桿AC進行受力分析，如圖2(b)所示。由靜力平衡條件可知:

FA-FN=0

(19)

TA-aFN=0

(20)

MA-lFN=0

(21)

式中:FN為桿CD的裝配軸力;FA，TA和MA為固定端A處的約束反力。

考慮桿件的拉壓應變能、扭轉應變能以及彎曲應變能，根據式(1)得新泛函為

(22)

式中λi(i=1，2，3)為拉格朗日乘子。

將FN，FA，TA和MA都當作獨立變量，由式(22)得:

(23)

(24)

(25)

(26)

將式(19)至式(21)、式(23)至式(26)寫成矩陣形式為

(27)

求解式(27)得桿CD軸力為

(28)

上式與文獻[37]中的計算結果完全一致，說明了該方法能夠求解裝配效應下的曲桿內力問題。

3.3 算例3:殘余應變效應下的雙層懸臂梁

最后考慮殘余應變效應下的雙層懸臂梁，其結構圖以及初始殘余應變分布如圖3(a)所示。雙層懸臂梁的長度和寬度分別為l和b。各層的厚度、橫截面面積、慣性矩、彈性模量、殘余應變分別為hi，Ai，Ii，Ei，εri(i=1，2)。試求殘余應變效應下的雙層懸臂梁的內力以及曲率半徑。

(a) 雙層懸臂梁和初始殘余應變分布示意圖

(b) 雙層懸臂梁右截面的受力圖>圖3 殘余應變效應下的雙層懸臂梁 Fig.3 Residual strain effect on a bilayer cantilever beam

對雙層懸臂梁進行受力分析，如圖3(b)所示。由靜力平衡條件可知:

FN1+FN2=0

(29)

(30)

式中FNi和Mi(i=1，2)為各層的軸力和彎矩。

忽略剪切應變對梁應變能的影響，根據式(1)得新泛函為

(31)

式中λi(i=1，2)為拉格朗日乘子。

將FN1，FN2，M1和M2都當作獨立變量，由式(31)得：

(32)

(33)

(34)

(35)

將式(29)、式(30)和式(32)至式(35)寫成如下矩陣形式

(36)

求解式(36)得雙層懸臂梁的內力為:

(37)

(38)

(39)

式中K=4(E1A1+E2A2)(E1I1+E2I2)+E1A1E2A2(h1+h2)2。

根據歐拉-伯努利梁理論，懸臂梁各層受到的彎矩為

(40)

式中ρi(i=1，2)為各層的曲率半徑。

考慮到梁的變形很小，曲率半徑遠大于梁的厚度，則各層具有相同的曲率半徑，即ρ1=ρ2=ρ。因此，式(40)可簡化為

(41)

由式(38)和式(41)可得雙層懸臂梁的曲率半徑為

(42)

上式與文獻[38]中的計算結果完全一致，表明了該變分法能夠求解殘余應變效應下的雙層懸臂梁的內力以及變形問題，進一步說明了該方法的通用性。

4 結 論

利用廣義變分原理研究了裝配/殘余效應下超靜定結構的力學特性。引入拉格朗日乘數并結合靜力平衡條件，構造了考慮裝配/殘余效應的拉格朗日函數，求解其極值問題，給出了支座反力或內力矩陣形式的通解。為了驗證該能量法的有效性，對比了空腹桁架、曲桿以及層合梁3種算例，結果表明了該方法在求解裝配/殘余效應下各種超靜定結構力學特性具有良好的通用性。