構造三角形模型求解代數題

陳 翔

(江蘇省泗陽中學，264200)

正弦定理、余弦定理是聯系三角形的邊與角關系的兩個重要定理,在解題中有著廣泛的應用.對于結構特征與正、余弦定理公式相類似的代數式子,我們可以通過構造三角形模型,運用正、余弦定理求解.這種方法簡捷明快、頗具新意.下面舉例說明.

一、求代數式的值

解由已知條件中的連等式,聯想到解三角形中的余弦定理,構造邊長為4的等邊三角形?ABC,P是?ABC內定點，連結PA，PB，PC，設PA=x,PB=y,PC=z.

在?PAB中，由條件x2+y2=42,可得∠APB=90°.

評注本題依據已知條件中連等式的特點,通過構造三角形,然后進行分割,運用余弦定理和三角形面積公式,整體求得結論,十分巧妙.

二、求代數式的最值

例2設實數x,y滿足x2-xy+y2=1,求x2-y2的最大值與最小值.

解觀察已知條件的結構,發現和余弦定理的結構相似,故構造?ABC,使∠ACB=60°,AB=1,BC=x,AC=y.

在?ABC中,由余弦定理,可知x,y滿足x2-xy+y2=1.

評注本解法利用正弦定理,把x,y用三角函數表示出來,再通過三角變化把所求式化為三角函數的形式,從而求出最值.

三、解方程(組)

例3設正實數x,y,z滿足

求x+y+z的值.

分析觀察方程組中每一個方程的結構,發現與余弦定理的結構相似,考慮構造三角形求解.

解原方程組可化為

由此將原方程組中三式相加,并將xy+yz+zx=2代入,可得x2+y2+z2=3.于是

x+y+z

評注這是代數問題用幾何方法求解的范例.根據已知條件構建幾何圖形,進而用已知幾何圖形的性質求得代數問題的解.

四、證明不等式

例4(2022年全國中學生數學奧林匹克競賽廣西賽區預賽題)已知x,y,z都是正數,且(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0,求證：x(y+z)2+y(z+x)2+z(x+y)2-(x3+y3+z3)≤9xyz.

構造法是一種重要的數學思維方法,它是創造力的較高表現形式,是高考考查的熱點.在數學解題中應注意依據題目特征,類比相關知識,通過構造數學模型來促使問題的解決,從而培養思維的創造性.構造時,需跳出題外,高屋建瓴,方可遂愿.