一道高考解析幾何題的思考與探索

常梨君 金一鳴

(江蘇省常州市田家炳高級中學,213000)

解析幾何在高中數學學習中占有舉足輕重的地位,近幾年高考對直線與圓錐曲線相交問題的考查更是主流.這類問題的常見解題思路為:將條件和結論坐標化,聯立直線與圓錐曲線方程,利用韋達定理解決問題.解析幾何問題的解題思路是清晰的,但多元變量運算的繁、難是導致學生“畏算”的主要因素.若解題方法選取得當,則會將大大降低運算難度,實現“巧算”.本文以2022年新高考I卷第21題第(1)問為載體,探討解析幾何問題解決的常見解題策略(此題的背景和方法也可推廣到橢圓和拋物線).

一、試題呈現

(1)求l的斜率;

二、解法賞析

1.常見解法

解法1(設而不求)

2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0.

①

當m=1-2k時,直線PQ的方程為y=kx+1-2k,過定點A(2,1),不合題意,舍去.所以k=-1.

評注從結論出發,設出目標直線PQ的方程(含雙參k,m),借助條件kAP+kAQ=0構建k和m的方程,找出k和m的等量關系,得到定值,這是通性通法,易想但運算量不小.

解法2(設而求之)

設直線AP，AQ的斜率分別為k1,k2,點P(x1,y1),Q(x2,y2).

由k1+k2=0,得直線PQ的斜率

評注由kAP+kAQ=0聯想到設出直線AP,AQ方程,聯立雙曲線方程求出點P,Q的坐標,再由直線斜率的定義直接求定值,也是常見方法.但此法適用的前提是直線與雙曲線的兩個交點之一已知,利用韋達定理的積式可求另一交點,運算量同樣大.

由同一點出發的雙曲線的兩條割線(形似),應當具有類似的性質,如直線的方程、交點的坐標等相似性.以此為基礎,可從函數與方程的角度出發,構造同構方程解決問題.

解法3(利用點P,Q在同一直線上構造同構式)

由題意知直線PQ的斜率存在,可設其方程為y=kx+m,將點P,Q的坐標代入并整理,得

其中的p=2+4k+2m,q=4+4k,r=2k-m+1.

解法4(利用點P,Q是三條曲線的公共點構造同構式)

由題意可設直線PQ,AP,AQ的方程分別為y=kx+m,y-1=k1(x-2)，y-1=k2(x-2).

能夠稱之為旅游資源的生態環境一定是美的、舒適的、自然的，能夠帶給旅游者一定的身心慰藉，帶來舒適的體驗和情緒的是放，這樣的生態環境能夠成為旅游資源開發的重點。因此，要實現地區旅游資源的開發和利用，首先應該要保護好、整治好地區的生態環境，不斷提升旅游資源的質量和水平，才能將地區打造成優質的旅游地帶。

②

其中的p=2+4k+2m,q=4+4k,r=2k-m+1.

同理可得

③

由② ③ 兩式可知k1,k2為方程px2-qx+r=0的兩個不等實根,下同解法3,不難得到k=-1.

評注將形的相似性用相同結構的兩個方程刻畫,多變量方程中提取主元抽象出同構方程,是同構法解題的基本思路.但由k1+k2=0聯想到構造關于k的二次方程,整體處理,這個視角的轉變才是難點,是有數學高級思維參與的數學運算,體現了設而不求的解題思想,相應運算量適中.

3.新思路2——齊次化方程法

解法5由直線PQ不過點A,設其方程為m(x-2)+n(y-1)=1.

(4n+2)k2+(4m-4n)k-4m-1=0.

④

評注以公共點A(2,1)為基礎,構造出類似結構的割線方程和雙曲線方程;再由k1+k2=0出發,利用“1”的代換,直接構造出關于k的二次方程,可謂神來之筆.究其本質,乃是坐標系平移變換,即將點A(2,1)平移為坐標原點.

4.新思路3——點差法

點差法在解決中點弦問題時有很好的優勢,但在數學教學中不能將這種印象固化為一種技巧.“點差”的本質是利用二次方程的加減整體消元,得到斜率與兩個點坐標和的關系式.根據這個思路,可得解法6.

x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0,

⑤

x1y2+x2y1+(x1+x2)+2(y1+y2)+4=0.

⑥

三、結束語

《新課標》明確指出:數學運算是在明晰運算對象的基礎上,依據運算解決數學問題的素養,要求學生理解運算對象,探究運算方向,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結果[1].學生基于運算對象選擇的路徑不同,導致的運算長度和繁簡程度也不同.上述六種解法體現了不同數學思想指導下的不同運算策略的選擇,“設而不求”和“設而求之”是解析幾何中常用的數學思想,選擇解法1和解法2表明學生“能夠在熟悉的情境中了解運算對象,提出運算問題”,屬于數學運算核心素養水平一.后續四種解法引入了“同構”、“齊次化”、“點差”思想,實現了不同程度上的運算簡化,這要求學生要有在綜合情境中創造性地轉化運算問題的能力,屬于數學運算核心素養水平三.由此可見,高水平的數學運算一定有邏輯推理的參與.

將解析幾何問題從“聯立求解”轉移到“識圖析圖”,從繁瑣的數式運算轉向分析推理型運算,讓學生體會更多“設而不求”、“整體運算”的計算精髓.只有這樣，才能真正提升運算素養,培養學生不怕算的毅力,以適應新高考對學生數學核心素養的要求!

(后續)