基于極點配置法的電磁分流阻尼優化設計

李 戈，毛崎波，王 永，謝 冉

（1.南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌 330063；2.國網上海市電力公司特高壓換流站分公司，上海 201413）

將電磁分流阻尼(Electromagnetic Shunt Damper，EMSD)用于結構振動控制是一種新發展的被動控制方法，其優點包括能產生較大控制力以及阻尼力，信號具有很寬的頻率響應范圍，傳遞力為非接觸式等。EMSD的原理是利用線圈與永磁體的相對運動產生的電磁阻尼力[1]來降低系統的振動強度，并通過外接的分流電路消耗或者收集由系統的機械能轉化而來的電能[2]。根據機電類比，當把LRC等2階串并聯電路作為EMSD 的分流電路時，可以將EMSD 視作一個附加在主系統上的調諧質量阻尼器[3]，因此EMSD 等效于一個剛度、質量以及阻尼可以被方便地調節的調諧質量阻尼器，而對于參數可調的EMSD 來說，關鍵是要求解出分流電路的最優設計參數。Cheng 等[4]表明將EMSD 用于結構振動控制時，電磁耦合系數(即電磁系數)越大(線圈電感為預設值，因此電磁系數越大機電耦合系數也越大)，控制效果越好。這種現象在Zhu 等[5]的論文中得到了詳細的證明，即電磁系數越大，虛擬質量越大，就是質量比越大，EMSD 的控制效果越好。而目前在基于EMSD 分流電路優化設計的常見方法，比如定點理論(即H∞優化[6])和H2優化等(見Inoue 等[7]以及Tang等[8]文獻)，所得到的最優調諧比的解析表達式中，機電耦合系數的取值范圍均被限制為0～2，而通過分析文獻[3]的結論可知：利用H2優化考慮主系統阻尼時EMSD分流電路的設計參數，基于LRC串聯分流的EMSD 的機電耦合系數將會小于0～2 中的某個數。比如當主系統的阻尼比為0.05 時，機電耦合系數被限制在1.709 9之內，而且主系統阻尼比越大，機電耦合系數被限制得越小。而實際上，對于文獻[3，7－8]中的最優調諧比來說，當機電耦合系數接近1.709 9 或者2 時，最優調諧比將會趨近于0，此時按照這種最優設計所得分流電路的最優電容將變得非常大，從而很難實現最優控制。因此，傳統的定點理論以及H2優化方法顯然并不適用于機電耦合系數取較大數值時的EMSD的優化設計。

極點配置法是通過優化配置閉環系統的極點在復平面上的位置，使得系統的衰減系數最大化，是使得系統的暫態分量衰減最快的一種優化方法。國內的柳維瑋等[9]針對壓電分流阻尼電路提出了極點配置方法，她的研究表明運用極點配置方法設計的壓電分流電路有著良好的抑制振動的效果。Belotti等[10]提出了一種稱為“區域極點配置”的方法控制線性系統的振動，并驗證了該方法的有效性。國外的Olanipekun 等[11]使用極點配置法改變了以平動模態為主的低頻模態的極點位置，避免了行星齒輪系的共振。

由于不論研究對象是多少個自由度的系統，其響應一般是通過模態疊加法求得的，關鍵部分仍然還是單自由度系統的計算過程。因此本文針對機電耦合系數大于等于2 的情況，在采用EMSD 控制單自由度系統或者結構的單模態振動時引用定點理論和H2優化，對于基于EMSD的分流電路最優設計失效的問題，提出使用經典的極點配置法，解決在機電耦合系數大于2時基于EMSD分流電路的最優化設計問題。

1 機電耦合模型

如圖1所示，R0為線圈電阻，R1為線圈外接的分流電路電阻；L0為線圈電感，電感值為固定值；為感應電動勢[12－13]，其中?為電磁耦合系數(又稱電磁系數)，與線圈的匝數N、永磁鐵磁場強度B、線圈長度l有關。k為主系統的剛度，m為主系統的質量，c為阻尼系數，主系統的阻尼比ζ0=c/(2mω0)；圖1中，電磁阻尼力fem=?I[13],與主系統受到的慣性力方向相反。假設R為分流電路等效電阻，則圖1所示的機電耦合方程可表示為[14]：

圖1 將參數可調的電磁分流阻尼用于單自由度振動控制模型

不考慮式(1)中的線圈電磁系數?損耗，則機電耦合系數可以表示為ψ=?2/(Lk)。再假設ω0=，分流電路振蕩頻率為ωd=,分流電路調諧比為，分流電路的頻率比為,阻尼比為。文獻[14]中推導了將EMSD用于有阻尼單自由度系統振動控制時的位移放大因子的無量綱表達式，如式(2)所示：

2 極點配置方法設計

在極點配置法中要考察系統衰減系數最大化的效果，因此首先要得到系統的傳遞函數，然后由傳遞函數得到極點特征方程，再按照實際需要來配置主導極點在復平面上的位置，使得主導極點距離虛軸最遠，從而使系統的暫態分量衰減最快?？紤]將系統的位移X作為輸出量，激勵力F為輸入量，由式(1)可得傳遞函數如式(3)所示：

式中：s=σ+jω，令式(3)的分母為0，等式兩邊同時除以Lm可得極點特征方程，如式(4)所示：

含有無量綱參數的式(4)表達式如式（5）所示：

對暫態分量的衰減起主導作用的是離虛軸最近的極點。為此配置以上兩對極點在復平面上重合，令A1=A2=A，B1=B2=B，則有：

因此將式(4)和式(5)表示為如式(6)所示的表達式：

將式(6)展開后并合并s同類項后，可得式(7)：

因此，根據待定系數法由式(4)、式(5)、式(7)得到4 個代數方程(電感L的數值是固定的)，如式(8)所示，求解這4 個代數方程，即可得到最優等效電阻Ropt以及電容Copt、CS、分流電路的最優阻尼比ζopt、分流電路的最優振蕩頻率ωdopt。

求解式(8)得到最優參數的解析解如式(9)、式(10)所示：

由式(9)可知：分流電路的最優等效電阻Ropt與線圈的電感L和電磁系數?以及主系統的質量m、阻尼系數c有關；最優電容Copt與主系統的固有頻率以及線圈電感有關；最優主導極點關于負實軸對稱，其中A為最優主導極點的實部，即衰減系數(閉環系統的極點或特征根的實部即為衰減系數)，B為最優主導極點的虛部。由式(10)可知：機電耦合系數越大，最優阻尼比越大；不論機電耦合系數取何值，最優調諧比均為1，即只有分流電路的諧振頻率與被控結構頻率相等時暫態分量的衰減速度是最快的。顯然，對于極點配置法的參數優化設計，機電耦合系數的取值不受限制，因此極點配置法的優化設計能解決當機電耦合系數大于或等于2時基于EMSD分流電路參數的最優設計問題。這是其相比于H2優化以及定點理論的優勢所在。

3 數值計算

3.1 控制效果對比

第1節中基于EMSD的參數優化所用到參數的具體數值來自文獻[7]，同時可以根據文獻[14]，假設主系統阻尼比ζ0=0.05，數值計算參數如表1所示。

表1 電磁分流阻尼器參數

在表1中，機電耦合系數ψ為0.666 7，等效電阻R和分流電路的電容CS為待優化變量，主系統阻尼c由c=算得。根據式(7)可以算出經極點配置法優化所得到的最優電容Copt以及最優電阻Ropt分別為：Copt=0.013 9 F，Ropt=1.738 63 Ω。

同時根據文獻[14]提出的采用遺傳算法優化EMSD分流電路的思路，根據表1，算得H∞優化條件下的阻尼比為γH∞=0.816 43、調諧比ζ=0.658 31。同時根據文獻[3]，算得H2優化條件下的最優調諧比以及最優阻尼比分別為：γH2=0.76127，ζH2=0.474 70，故可以算得RH2=0.513Ω，CH2=0.24 F。

若將表1中音圈的電機替換為Supt Motion公司的型號為VCAR0032-0050-00A的直線音圈電機，即將表1 中的線圈電感L設置為0.003 3 H，將電磁系數?設置為7.1 N/A，此時EMSD的機電耦合系數ψ=2.874 6，大于2，結合式(10)可算得，當機電耦合系數大于2時，分流電路的最優阻尼比ζopt為1.733 5。

分別繪制采用上述優化法后的位移放大因子Xn的頻率響應，如圖2所示。

圖2 極點配置法與H2、H∞優化法的控制效果

由圖2 可知，定點理論和H2優化更適用于當機電耦合系數小于2 時EMSD 分流電路的優化設計。當機電耦合系數大于或等于2 時，將極點配置法用于EMSD 的分流電路的優化設計，可取得非常好的控制效果，而H2優化和定點理論無法實現。在機電耦合系數ψ=0.666 7時，繪制采用上述優化方法后所得極點復平面圖如圖3所示。

圖3 采用H2、H∞極點配置等優化法后所得極點復平面圖

由圖3 可知，極點配置法所對應的主導極點距離虛軸最遠，因此其衰減系數也最大。這就是說，相比于經典的H∞和H2優化法，經極點配置法優化的系統特征根的實部最大，即時間常數最小，暫態分量也衰減最快。由于H∞和H2優化法對應的衰減速度由它們各自的主導極點的實部所決定，可以算得，極點配置法對應的衰減系數分別大于H∞、H2優化對應的主導極點所決定的衰減系數76.96%、282.47%。

圖4所示分別為采用極點配置法優化、H2優化、H∞優化后，系統在單位脈沖信號作用下的時域響應。

圖4 分別采用極點配置法優化、H2優化、H∞優化后主系統在單位脈沖信號作用下的時域響應

給主系統施加一個單位脈沖信號，相當于給了主系統一個大小為1/m(m為主系統的質量)的初速度。由圖3 可知，在施加初速度1/m后，經極點配置優化后的主系統的位移衰減最快，即閉環系統的暫態分量單衰減最快，這是極點配置優化法相比于H2優化、H∞優化的優勢所在。

3.2 誤差分析

將Ropt、Copt分別增加或降低20 %，并代入式(4)求解極點的數值解，然后分別繪制極點在復平面上的位置圖，如圖5所示。

由圖5可知，最優電阻、電容的誤差都會導致主導極點從最優主導極點的位置向虛軸方向偏離，這會導致衰減速率下降。

圖5 最優電阻、電容增加或降低20%后極點的分布

圖6 所示為在單位脈沖信號作用下最優電容、電阻的誤差對主系統位移的時域響應曲線的影響。

由圖6可知：最優電容、最優電阻的誤差會降低主系統位移響應曲線的衰減速度，但是不會導致其發生明顯改變；這也直接表明了將極點配置優化法用于電磁分流阻尼分流電路的參數優化，具有相當好的魯棒性。

圖6 在單位脈沖信號作用下最優電阻、最優電容的誤差對時域響應的影響

4 結語

本文通過極點配置法推導出了將EMSD用于單自由度系統的振動控制時分流電路的最優設計參數的解析解。通過數值計算得到了以下主要結論：

(1)使用極點配置法解決了機電耦合系數大于等于2時EMSD分流電路的優化設計問題。

(2)采用極點配置法證明了把分流電路的諧振頻率設置為與結構固有頻率相等，才能使得系統的暫態分量衰減最快。

(3)相比于H2優化以及H∞優化，極點配置法對應的衰減系數大于H∞優化對應的主導極點決定的衰減系數76.96%，大于H2優化對應的主導極點決定的衰減系數282.47%，因此基于極點配置法的最優設計能使得系統暫態分量的衰減速度最快，這是極點配置法的優勢所在。

(4)通過誤差分析表明將極點配置優化方法用于EMSD分流電路設計具有正確性、可行性、良好的魯棒性。