氣流管道內多模態遠場輻射特性研究

許坤波，劉存糧，仝 帆，喬渭陽，高成沖

(1.南京工程學院 機械工程學院,南京 211167；2.中國空氣動力研究與發展中心 氣動噪聲控制重點實驗室,四川 綿陽 621000；3.西北工業大學 動力與能源學院，西安 710129)

管道噪聲研究對于日常生活很有必要，例如出口消聲器、大型煙囪以及渦扇發動機等裝置內的噪聲都屬于常見的管道噪聲類型[1]。對這些裝置進行聲學測量，最有效的方式是對這些聲源產生的聲場進行聲功率測量，因為聲功率不同于聲壓或其它變量，它是一種表征聲源強度的守恒指標，通常被用于檢驗消聲裝置的有效性[2]以及預測噪聲污染對附近居民的干擾程度。

聲功率理論上可以通過將垂直于管道出口截面的聲強進行積分得到。但是在實際應用中，布置這些用于聲強測量的傳聲器受限于測試對象，比如對數十米高的大型煙囪進行聲強測量將非常耗費人力。也就是說管道內聲功率測量通常都是困難的，一般都需要在管道內部或者遠場處布置多個測點用于測量聲壓，利用測量得到的聲壓數據推導出聲功率[3－5]。但是這種方法的最根本難題是管道內存在氣流。由于管道內存在氣流，管道內聲功率就不能像往常一樣通過測量到的聲壓和質點速度進行測定[6]。Munroe 等[7]指出利用聲壓梯度來推導聲學質點速度的方法在氣流方向與聲傳播方向不同時將變得無效，根據這些結果進一步指出兩者之間的關系并不是固定不變的。當預先知道管道內聲源分布或者模態幅值分布時，對管道內高頻處聲功率進行測定就變得易于實現。在這種情況下聲功率-聲壓之間的關系可以通過理論推導出來，并可以基于這種關系通過測量得到的聲壓數據推導出聲功率結果。但不幸的是很難提前知道聲源分布的詳細信息，而且管道內導通模態數目眾多也會導致模態測量并不足夠精確。

基于Levine 等[8]對入射平面波的研究以及Weinstein[9]對高階模態的研究，Homicz 等[10]研究了單個模態的遠場輻射特性，利用Wiener-Hopf方法精確給出了在半無限長、硬壁無凸緣的圓形管道內單個模態的無量綱指向性函數，并指出根據無氣流時的結果可以推導出環境內部都是均勻流動時的指向性函數。Munt[11]將其擴展到更一般的情況，即管道內均勻流和管道外流動速度不同，并用渦面模擬兩種流動的交界面，遠場預測的聲壓結果與實驗測量結果符合的很好。隨后Munt[12]將其延伸到近場測量。Rienstra[13]研究了均勻流條件下半無限長環形管道內單個模態的遠場輻射特性，Gabard 等[14]將其延伸到管道內和管道外氣流速度不相同的更一般情況，并給出了模態等能量聲源模型下的多模態遠場輻射結果。

在管道內高頻噪聲研究方面，由于這時管道內導通了大量模態，類同于渦扇發動機風扇的高頻寬頻噪聲和排氣煙囪噪聲，氣流管道內多模態輻射特性研究就顯得非常重要。而著眼于管道內多模態傳播以及輻射，已出版的論文很少有涉及。只有20世紀60年代Rice[15]和更近的Joseph等[16]對此進行了相關研究。Rice[15]推導出了高頻下聲壓平方均值的指向性公式，研究中將由兩個指標（周向和徑向階數）確定的模態簡化為只依賴于導通比的函數，這是因為相同導通比下的不同模態的主瓣輻射角度是相同的。Joseph等[16]給出了無氣流條件下多模態輻射聲壓平方的指向性一般式，對于前傳和后傳聲波同樣有效。

通過假設理想的模態幅值分布或聲源分布可將聲功率與測量的聲壓關聯起來。本文將研究多種理想聲源分布模型下管道內聲壓與聲功率之間的關系以及管道遠場噪聲輻射特性對聲源分布模型的敏感度。通過引入無量綱指向性函數，本文對多種聲源分布方案下的指向性函數的解析解和高頻漸進解進行了對比研究，并在高頻處進行了驗證，研究了不同聲源模型的功率放大特性對氣流馬赫數的敏感度。通過在單級軸流風扇遠場布置聲陣列來對此進行實驗研究。

1 管道內多模態遠場指向性函數

在氣流管道內部，位置以圓柱坐標系表示，即(r,?,x)，如圖1所示。

圖1 氣流圓形管道示意圖

頻率ω處的聲壓p可以表示為如下形式：

式中：(m,n)和(h,l)表示任意模態；Amn為模態幅值；ψmn為(m,n)模態的特征函數；S為截面面積；β=為模態(m,n)順流傳播的軸向波數；k為自由場時聲波波數；amn是模態導通比，對于導通模態0 ≤αmn≤1，當αmn=0 時就是模態(m,n)的導通/截止點。聲功率可以通過式(5)計算[3]：

式中：W為聲功率；PWLmn為模態聲功率；ρ為氣體密度；c為聲速。

只要知道管道內各個模態的幅值就可以知道聲功率。但是通常情況下管道內會導通大量模態，尤其是對于高頻的圓形管道來說更是如此，而對于這些大量的模態進行準確測量將是非常困難的，因此通過預先假設管道內模態幅值或聲源分布，對于管道模態聲傳播輻射研究很有必要。本節將介紹3種常用的具有代表性的聲源模型：均勻分布的不相干單極子（Monopole）、均勻分布的不相干偶極子（Dipole）和模態等能量（Equal Energy Per Mode，EEPM）聲源模型。

當管道內不相干聲源以任意時空關系均勻分布于管道某個橫截面時，含有源項q的非齊次波動方程為：

其中源項通?？梢詫懗桑?/p>

式中：ν代表聲源分布的時間階數；μ表示聲源分布的空間階數。在后續研究中聲源分布qij被限制于軸向方向，這時源項可以寫為：

在半無限長圓形管道內，當截面均勻分布著空間階數為μ、時間階數為ν的不相干聲源時，其產生的模態幅值可以寫成一般形式：

式中：(μ,ν)用以表示聲源類型，(μ,ν)=(0,1)對應于單極子聲源，(μ,ν)=(1,0)對應于軸向偶極子聲源。

實際研究中還有一種聲源分布類型：模態等能量聲源，也就是說管道內每個導通模態攜帶的能量是相同的，即PWLmn=W0，這時該模型的模態幅值分布可以寫成：

無量綱多模態指向性函數是任意馬赫數和極角下遠場聲壓平方均值與管道內聲功率之比，定義為[17]：

式中：kR定義為kR=表示遠場輻射聲功率在頻率為f時的期望值表示遠場測點（輻射半徑為a，輻射角為θ）的聲壓幅值平方。

Rice等[18]研究了管道模態傳播與模態傳播角度的關系，并得出均勻流動圓形管道內模態的傳播角度θmn公式，定義為模態傳播波陣面與軸向的夾角。本文中θmn與Rice 等[18]相同，在管道內θ與θ+δθ之間的聲功率指的是模態傳播角θ≤θmn≤θ+δθ的所有模態的聲功率之和δW(θ)：

其中模態傳播角度θmn與模態導通比αmn、氣流馬赫數Ma相關：

對于每個模態(m,n) ∈Ωθ，當δθ?1時，可以假設θmn≈θ，那么式(14)可以轉換為：

將式（15）代入式（13）可得：

式中：δN(θ)表示傳播角介于θ和θ+δθ之間的模態總個數，因此δN(θ)/N是個小量，其中N指總的模態波個數。假設頻率kR→∞，模態可以看成為αmn的連續函數，并可以求解出：

將其代入式（16）可得到管道內θ與θ+δθ之間的聲功率的解析函數：

需要注意式（18）是頻率kR→∞后的解析解，這時管道內聲功率可以通過將式（18）對角度積分得到。將解析結果式（18）代入式（11）定義的Q(kR,θ)，當kR→∞時，可得到無量綱指向性函數的高頻漸進解：

對于本文研究的3種聲源模型：（1）均勻分布的不相關單極子聲源；（2）均勻分布的不相關偶極子聲源；（3）模態等能量聲源，無量綱指向性函數可以通過式（19）求得。

2 風扇進口遠場噪聲實驗測量

本文的另外一個目的就是對多模態遠場輻射特性進行實驗測量，并通過與精確的解析解和高頻漸進解對比找到最適宜用于預測風扇管道遠場噪聲輻射的聲源模型。

實驗中在風扇進口遠場布置了弧形傳聲器陣列用于對遠場聲壓進行測量。如圖2所示[19]，進行遠場測量時以風扇進口中心為圓點，距圓點5 m 處布置了1/4圓形陣列，16個傳聲器等角度（每6°布置一個傳聲器）布置于與風扇進口中心同等高度的平面內。風扇級由19個轉子葉片和18個靜子導葉組成，試驗設計轉速為3 000 r/min，轉子由單個18.5 kW的電機帶動，管道直徑為0.5 m。

為了保證旋轉測量中的聲場相位穩定，在風扇轉子附近安裝了紅外鎖相裝置（如圖2 中轉子下方的方塊所示）。試驗中為了降低進口反射聲波對管道聲學測量的干擾并兼顧風扇管道排氣需要，將軸流風扇臺進口段（包含聲陣列測量裝置）放置于飛機強度所（Aircraft Strength Research Institute，ASRI）的半消聲室內部，出口安裝了消聲裝置。試驗測量中使用的傳聲器是BSWA 公司的MPA401 型1/4 英寸的傳聲器。聲壓信號由32 路Müeller BBM MKⅡ型數采同時采集，采樣頻率是fs=16 384 Hz，傅里葉變換中聲壓數據經過了60次窗截斷處理，窗大小為214。

圖2 風扇實驗臺及其遠場陣列

3 數值和實驗結果

圖3、圖4 和圖5 給出了指向性函數Q(kR,θ)在頻率kR=50 處關于極角θ的分布結果，對應的3 種聲源模型分別是：均勻分布不相干單極子聲源；均勻分布不相干偶極子聲源；模態等能量聲源。每個圖中分別給出了氣流馬赫數Ma為-0.3、0、0.3的結果。其中實線表示Q(kR,θ)解析解，虛線表示Q(kR,θ)高頻漸進解。對于均勻分布不相干單極子聲源，在Ma=0 時其指向性函數呈現為全指向性（如圖3(b)所示）。當Ma<0 時，隨著氣流速度增大，Q也隨之變大（見圖3(a)所示）。與之不同的是當Ma>0 時，隨著氣流速度增大，接近軸向位置的Q值變小而偏離軸向位置的Q值隨之增大（如圖3(c)所示）。當聲源是均勻分布的不相干偶極子時，在無氣流Ma=0時的指向特性與全指向性有明顯區別（見圖4(b)）。Ma<0 時隨著氣流速度增大，指向性在前傳方向內趨于相同（如圖4(a)所示），而在后傳方向指向性在特定輻射角度處會出現極小值。相反地當Ma>0時若速度增大Q在后傳方向會隨之增大而在前傳位置會隨之減小，并且在靠近軸向位置的某個角度處會出現極小值（如圖4(c)所示），這個特定角度θ0滿足：

圖3 均勻分布不相干單極子聲源模型的指向性函數

圖4 均勻分布不相干偶極子聲源模型的指向性函數

圖5 模態等能量聲源模型的指向性函數

根據式（9）所示的模態幅值分布可知這個角度θ0對應于模態幅值位置，這時模態傳播速度為零。最終，模態等能量分布的聲源模型指向性特征和均勻分布的不相干單極子聲源模型非常類似。

為了驗證多模態輻射傳播時指向性函數的準確性，利用遠場布置的圓形陣列對多角度處的輻射聲壓進行測量。圖6中用黑色方形符號標識了實驗條件（Ma=-0.07）下kR=50 頻率處的指向性函數結果，通過與根據3 種不同聲源類型計算出的結果進行對比可知：EEPM模型與實驗結果符合最好，均勻分布的不相干偶極子聲源模型次之，均勻分布的不相干單極子模型吻合度最差。

圖6 管道內多模態指向性函數的理論和實驗結果

4 結語

（1）本文針對半無限長、有均勻亞聲速流動的硬壁圓形管道內的多模態噪聲輻射特性，引入了無量綱多模態指向性函數，并對其進行了數值和實驗研究，結果表明其值依賴于各個導通模態的幅值和方向函數；

（2）數值研究中應用了3種聲源分布模型，并對其聲壓、聲功率以及噪聲輻射特性進行了理論研究，數值研究表明每個模態的幅值可以表示為模態導通比的函數。遠場噪聲輻射特性依賴于聲源分布模型，模態指向性函數隨著氣流馬赫數增大而增大；

（3）均勻分布的不相干單極子聲源模型的對流放大效應因子隨氣流馬赫數的變化規律與模態等能量模型相同；

（4）高頻處多模態指向性函數的解析解和高頻漸進解符合很好。軸流風扇輻射噪聲結果在高頻處與根據模態等能量模型計算出的遠場輻射指向性符合最好，精度最高。數值和實驗結果表明模態等能量聲源模型可以用于預測風扇高頻處的遠場輻射噪聲。