基于能量空間不對中非線性雙轉子振動特性分析

孫新亮，劉 軍

（1.天津理工大學 天津市先進機電系統設計與智能控制實驗室，天津 300384；2.天津理工大學 機電工程國家級實驗教學示范中心，天津 300384）

旋轉機械在航空航天、能源、電力、交通等工業領域發揮著至關重要的作用，是當今工業部門中應用最為廣泛的機械設備，如航空航天發動機、燃氣輪機、發電機等。各類旋轉機械中轉子是關鍵部件，工作在高溫、高應力、高轉速等惡劣環境中，振動問題不可避免又亟待解決。其中，轉子不對中是除了轉子不平衡之外最為常見的一類轉子故障[1]。轉子系統出現不對中故障后，運轉會引發強烈振動、軸承磨損、轉軸撓曲變形和轉子與定子之間碰磨故障等[2-3]一系列不利于設備運行的動態效應時刻威脅著系統的穩定運行，危害極大。揭示出現不對中故障轉子的振動特征和機理，對于識別和掌握轉子系統的運行狀態具有重要的現實意義。

當前，國內外眾多的研究者已經針對轉子不對中故障展開了深入研究。Liu等[4]對微小不對中轉子系統進行了數值仿真和實驗，發現系統在故障外激勵下響應中包含非線性成分。Li等[5]研究了兩端軸承徑向間隙的不同對液壓轉子-軸承系統性能的影響，得出不同的徑向間隙會導致轉子不對中的結論。質量不平衡和不對中是轉子系統最常見的故障類型，諸多研究者[6－10]通過建立具有不平衡和聯軸器不對中故障轉子模型，經數值仿真分析了耦合作用下的轉子系統，發現不平衡主要與位于主共振附近的峰值有關，不對中故障與2ω附近的峰值有關，平行不對中故障放大了2ω響應振幅，2ω和4ω成分的振幅隨著偏角不對中的增加而增加。同時，轉子的不對中故障屢屢誘發碰磨故障。甄滿等[11]分析了不對中度和碰磨參數對耦合故障系統的影響。Lu等[12]采用時頻法分析了不對中故障對碰磨轉子系統的影響。劉楊等[13]指出在不對中力矩與碰磨力的作用下，油膜失穩現象局部被抑制，1、2階油膜振蕩現象均滯后顯現。另外，不對中故障造成轉軸應力變化，進而產生了疲勞裂紋。Zhao等[14]提出了一種結合變分模態分解、概率主成分分析和卷積神經網絡的噪聲環境下裂紋和不對中故障識別方法。Garoli 和Castro[15]分析了故障參數不確定的多故障轉子系統的隨機響應，結果表明，裂紋和偏角不對中對2ω和3ω超諧波響應不確定度的影響更為突出。

考慮到實際發動機或發電機等多采用雙轉子的形式。張宏獻等[16]建立了低壓轉子不同心的雙轉子有限元模型，結合數值仿真和實驗結果分析了不同心對系統的振動頻譜影響。Wang 和Jiang[17]考慮了聯軸器的平行不對中和偏角不對中故障，建立了非線性雙轉子動力學模型，并分析不同轉速、質量偏心、偏角不對中和平行不對中等故障對系統振動響應的影響。李明等[18]建立了非線性油膜力作用下柔性多跨轉子系統模型，重點分析不同轉速和不對中量下系統的非線性動力學行為。馮國全等[19]研究了雙轉子系統的固有特性，對比分析不同轉速及不對中角度下系統的振動響應變化。徐梅鵬等[20]建立了高壓轉子支點不同心的雙轉子系統模型，通過頻譜和軸心軌跡形狀分析展示了不同心故障特征。甄滿等[21]建立非線性不對中故障雙跨轉子系統有限元模型，利用相空間分析研究了不對中度對轉子動力學響應的影響，結果表明不對中度會使非線性特征更加復雜，轉子系統出現強2ω響應和4ω與6ω成分的偶數倍頻分量。

但上述研究中罕有在考慮滾動軸承的非線性彈簧特性條件下，探究不對中雙轉子系統的非線性動力學響應特性。本文就此問題，采用Runge－Kutta法求得系統的振動響應。利用振動能量空間分析方法，研究了不同臨界轉速區域在能量空間的轉子振動特性，不對中故障對系統的非線性振動特性及振動能量軌道的規律影響。研究結果可為雙轉子系統不對中故障診斷和振動控制提供理論依據。

1 系統動力學模型

1.1 雙轉子系統動力學模型

建立非線性不對中雙轉子簡化模型如圖1(a)所示。該四支點雙盤結構模型的高壓轉子轉軸為空心軸，通過支點B和中介軸承C點進行支撐，低壓轉子由支點A和D進行支撐。實際轉子系統中的復雜葉片結構均簡化為各軸上的單個剛性圓盤。當支點B與中介軸承C不同心時，高壓轉子產生不對中故障。

為了更好地引入轉子的非線性彈簧特性，采用集中質量系統進一步簡化系統模型。高、低壓轉子均簡化為四自由度轉子模型，即剛性圓盤安裝在無質量彈性軸偏右端位置處，如圖1(b)所示。模型中r為轉子渦動位移，θ為偏轉位移，τ為圓盤傾角，e為偏心距，中介軸承連接高、低壓轉子，造成雙轉子間的變量耦合?；诶窭嗜辗匠踢M行推導，可得雙轉子系統的動力學方程如式(1)和式(2)所示。

圖1 轉子模型

其中：上標符號^代表參數有量綱，m1和m2為圓盤質量，c11、c12、c21、c22、c31、c32、c41和c42為阻尼系數，α1、α2、γ1、γ2、γ3、γ4、δ1和δ2為系統的剛度系數，e1和e2為圓盤的偏心距，I1和I2為轉軸的截面慣性矩，Ip1和Ip2為圓盤的極慣性矩，ω1和ω2分別為低壓和高壓轉子的角速度，βτ1和βτ2分別為低壓和高壓轉子的初相角。

1.2 不對中模型

由于支點不同心導致高壓轉子與低壓轉子偏角不對中，如圖2所示。高壓轉子由氣流力驅動，設高壓轉子的驅動力矩水平向左，坐標系O-xyz固連在高壓轉子上，z軸與高壓轉子軸心重合，兩軸線的偏角為?，力矩投影與x軸的夾角為β。將力矩沿坐標軸分解，如式(3)所示。

圖2 不對中力矩分解示意圖

進而得到局部坐標系下不對中力矩公式(4)[20]。其C=4 cos?/(3+cos(2?))和D=(1-cos(2?))/(3+cos(2?))。

1.3 非線性恢復力模型

轉子引發較大撓度變形時，由球軸承的軸承間隙限制造成的非線性彈簧恢復力非線性項的表達式可經勢能V推導得到。首先，用極坐標(θ,φ)表示勢能V，其表達式如下。

通過θx=θcosφ和θy=θsinφ進行直角坐標與極坐標變換，可得非線性項Nx和Ny表達式如下[22]。

其中：Nx和Ny分別代表x和y方向的非線性恢復力，為對稱非線性項和非對稱非線性項的系數。

為表征低壓轉子軸心偏移PL=對非線性彈簧恢復力的影響，引入比例系數μ，表征高壓轉子非線性彈簧恢復力對低壓轉子振動幅值的敏感性[23-24]。高壓轉子系統的非線性彈簧恢復力的成分描述見式(7)：

綜合上述方程式(1)、式(2)、式(4)、式(6)和式(7)，得到無量綱化非線性不對中雙轉子系統耦合動力學方程如式(8)和式(9)所示：

2 振動特性分析

2.1 數值仿真分析

基于雙轉子系統的無量綱動力學方程式(8)和式(9)，采用反向旋轉的雙轉子系統，數值模擬中低壓轉子和高壓轉子的轉速比為?1 (ω=ω1=?ω2)[25]。模型中部分無量綱系數如表1所示。

表1 無量綱參數

雙轉子系統的振動響應曲線如圖3(a)所示。橫坐標為角頻率，縱坐標為幅值。其中三角形表示低壓轉子的響應曲線，空心圓圈表示高壓轉子的響應曲線。該系統的振動成分如圖3(b)所示，其中實線代表低壓轉子的頻率成分，虛線代表高壓轉子的頻率成分。在耦合情況下具有不對中故障的雙轉子系統中高壓轉子有3 個共振峰，分別在主諧波臨界轉速C2處和超諧波臨界轉速A2和B2處。在A2處高壓轉子誘發+2ω成分為主的超諧波共振，表明正向進動占主導。相反B2處出現頻率成分主要以-2ω為主，表明主要為反向進動，在C2附近的振動頻率成分主要為-ω。與高壓轉子相比，低壓轉子的振動特征呈現了復雜的振動現象。首先低壓轉子在低速區產生了若干超諧波共振峰，其中D 處的超諧波共振峰最為明顯。其次，低壓轉子在A1、B1和C1處的峰值與高壓轉子相關密切。通過頻譜對比可知，A1和B1分別產生+2ω和?2ω成分，c1處為?ω成分，其振動特性與高壓轉子規律相同。由于存在非線性彈性恢復力，高、低壓轉子的振動響應曲線均體現了硬彈簧特性。

通過分析圖3 可知，雖然不對中故障誘發于高壓轉軸上，但在低壓轉子也顯現出高壓轉子系統相似的動力學現象，表明由于中介軸承的耦合作用，高壓轉子兩端支點不同心導致的不對中故障對低壓轉子系統的振動特性也有較大影響，不對中因素會通過中介軸承的耦合作用傳遞到低壓轉子上。

圖3 雙轉子共振響應曲線和頻譜

2.2 振動機理

為了進一步分析不對中故障產生的超諧波共振區域所對應的振動機理，計算雙轉子低速區附近的分岔圖和龐加萊映射，結果如圖4所示。

在圖4(a)中，A點附近系統對應的龐加萊映射圖中散點展現星系旋臂狀，說明此時低壓轉子處在混沌運動狀態。B點和C點處龐加萊映射圖中存在環狀散點，低壓轉子呈現概周期振動。在圖4(b)中，A點和B 點龐加萊映射圖中存在2 個散點，表明高壓轉子做2ω周期振動。C 點處龐加萊映射中只有一個不動點，表明高壓轉子做主諧波振動。

通過上述振動特征分析可知，低壓轉子受變量耦合和非線性因素等影響，在圖4 中所示的陰影區域內發生了非線性振動現象，系統呈現復雜的概周期振動與弱混沌運動。鑒于高壓轉子兩端支點不對中故障所產生的共振峰，同樣出現在低壓轉子的振動響應中，這充分說明高壓轉子與低壓轉子之間通過非線性項和變量耦合進行著能量傳遞，間接地將故障影響擴展到整個雙轉子系統。

圖4 雙轉子系統分岔圖及龐加萊映射圖

3 能量空間中的振動機理分析

3.1 振動特性分析

假設系統能量消損少，則系統的振動本質是動能和勢能不斷轉換，借助振動能量變化可分析整個系統的動力學信息，將有助于剖析不對中故障對轉子系統的振動機理的影響?；贚iu 等[23－24]提出的振動能量分析方法，在不對中故障工況下分析了非線性雙轉子中的能量變化過程。首先，建立x1-y1-V的三維能量空間，V為系統在該振幅狀態下的彈性能量?；跓o量綱系，彈性勢能表達公式如下：

依據表1 中的系統參數條件，計算得到低壓轉子在超諧波共振區的能量軌道，如圖5 所示。根據振動能量分析方法可知，能量軌道圖展示了低壓轉子在諧波振動和概周期振動間的變化過程，該過程中，能量軌道從單環封閉能量曲線拓展成兜狀能量曲面和梯臺形筒狀能量曲面，然后再演變回單環封閉曲線。當ω1=0.4和ω1=0.45時，能量曲面邊緣表現出不規則趨勢，佐證了在不對中故障和非線性彈性恢復力的作用下，低壓轉子存在弱混沌運動現象?；仡檲D3和圖4分析論斷，采用振動能量分析方法所得結論，與相空間分析方法相比，具有一致性。不同于分岔圖和龐加萊映射圖，能量軌道遷移更加形象地呈現了故障系統能量變化的過程。

圖5 ω1=0.3～0.6時低壓轉子能量軌道遷移過程

3.2 基于能量軌道的能量傳遞分析

考慮具有中介軸承耦合的雙轉子系統中，高、低壓轉子的動力學方程中存在的復雜非線性耦合項，采用相空間分析法很難解耦，故難清晰地闡明復雜的非線性振動的誘發機理。為了定量分析，建立能量供給函數，通過研究轉子間的能量傳遞規律，可以定量地表達不對中故障對轉子振動能量的變化影響。

在非線性耦合條件下，假想超諧波臨界轉速附近的穩定能量軌道上從外界持續匯入的額外能量為Vx和Vy，外界能量的參與將導致系統的能量軌道結構發生變化。為了使能量供給函數模擬振動能量的供給，將能量軌道從空間中的單環封閉能量曲線變成空間中穩定能量曲面或非穩定能量曲面。當系統在臨界轉速附近進行能量交換時，能量供給函數應該保證系統能量維持周期性地增加或減少。綜合考慮到轉子的不對中故障會改變軸承的支撐負荷，使得不平衡量在能量傳遞過程中變得更加靈敏或遲鈍，故設定能量供給函數如式(11)所示。

在圖5 所示的系統參數條件下，取已知的低壓轉子能量軌道處于單環穩定狀態下對應的頻率，對能量參數A、B、pe1和pe2進行賦值，得到數值仿真結果如圖6所示。

圖6 ω1=0.35時系統能量供給仿真結果

低壓轉子在受到能量供給后，低壓轉子由諧波振動遷移至概周期振動。能量軌道由單環封閉能量曲線變化成邊緣較為無規律的兜狀能量曲面，與圖5中的能量曲面相符。通過上述能量供給仿真結果可知，通過改變外界能量變化，會改變系統穩定的能量軌道結構，模擬出具有故障的轉子振動形式的變化，說明對高壓轉子引入不對中故障，增加了轉子系統振動的能量，經由中介軸承的能量傳遞，造成低壓轉子的振動狀態的改變。

4 結語

基于構建的具有不對中故障的非線性雙轉子系統的動力學方程與振動能量方程，利用Runge-Kutta法完成系統的數值仿真計算，采取相空間分析和振動能量空間分析等方法，討論了系統的振動特性，并在振動能量空間上初步定量分析了不對中故障工況下系統振動形態遷移變化的機理，結論總結如下：

(1)高壓支點不對中故障的產生使得高壓轉子在低速區出現2 個超諧波共振峰，低壓轉子出現若干超諧波共振峰，其中高、低壓轉子前兩個超諧波共振峰以及主共振峰密切相關。

(2)在超諧波臨界轉速附近，不對中故障造成系統產生2ω頻率成分，且交替出現正向和反向進動，高、低壓轉子表現出相同的振動特性。

(3)盡管不對中故障發生在高壓轉子上，低壓轉子未直接發生不對中故障，但由于非線性因素和中介軸承的變量耦合等作用，在低壓轉子上也出現與高壓轉子系統相似的動力學現象，表明高壓與低壓轉子之間通過非線性項進行著能量傳遞，間接地將故障影響擴展到整個雙轉子系統。

(4)運用振動能量空間分析方法，研究了不對中故障對系統振動特性及能量軌道遷移過程的影響，能量軌道在單環曲線和梯臺形曲面間發生轉變，表明不對中故障轉子的振動狀態在諧波振動、概周期振動和混沌運動間不斷遷移。

(5)引入額外的振動能量后，發現轉子能量軌道發生遷移現象，證實通過改變系統能量可改變系統的穩定能量軌道結構。