基于問題解決的數學單元教學設計
——以“二元一次方程組”為例

邢雪文

江蘇省蘇州市吳中區迎春中學 215000

問題提出

單元教學法是落實學科核心素養的重要抓手，單元教學法借助大背景、大問題、大思路、大框架進行高觀點統領、思想性駕馭、結構化關聯，能有效規避傳統的課時教學整體感不強、知識分解過度、學習碎片化、教學效益低下的現象［1］.學生學科核心素養的培養要 求教師的教學設計從設計一個知識點或課時轉變為設計一個大單元［2］，把每節課的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，讓學生感受數學的整體性.

以問題為導向的單元教學設計，可以幫助學生理解學習某一知識的必要性和可行性，使學生參與發現新知的全過程，包括發現問題、提出問題、分析問題、解決問題等過程.學生在參與學習的全過程中既能學會有關知識技能，又能掌握學習的路徑與方法.

“二元一次方程組”是初中數學在一元一次方程之后的內容，兩者之間存在密切聯系.學生在學習二元一次方程組時，往往會產生疑問：為何要學二元一次方程組？明明可以用一元一次方程解決，為何一定要用二元一次方程組？二元一次方程和一元一次方程有什么聯系？部分教師在教學時，將教學內容和教學目標碎片化，最后一些學生只學會解二元一次方程組，沒有意識到解二元一次方程組只是應用二元一次方程組解決實際問題過程中的一部分.還有一些學生缺乏整體性知識體系，不能和已知的一元一次方程建立聯系，不能發現研究方程問題的一般思路.

設計思路

單元教學的核心思想是系統思維，教師應從整體上系統性地確定教學目標，組織教學內容［3］，培養學生從整體上了解知識的來龍去脈，把握知識的本質，理解知識間的聯系，掌握數學的思想方法，靈活選擇和運用知識解決實際問題，提高系統化解決問題的能力.

喻平教授提出了單元教學法的四種主題教學模式：以問題解決的過程線索為主題、以建立個體CPFS結構為主題、以概念的發展為主題、以數學思想方法解決問題為主題［2］.筆者采取以問題解決過程線索為主題的單元教學模式，以“二元一次方程組”的教學為例，以問題導入，讓學生在解決和分析問題的過程中，發現若干新問題，再對新的問題不斷追根溯源，直到與已有知識建立起聯系來解決問題［2］.一方面以問題驅動學生深度思考，思維深度參與課堂，切實提升思維水平；另一方面讓學生在整體上理解知識間的關聯，系統化地解決實際問題，完善自身知識體系，提高問題解決能力和數學核心素養.

教學過程設計

（一）教學內容組織

單元教學的基本路徑是“總—分—總”，首先通過適當的方式讓學生對學習單元有一個整體的感知，然后根據單元的結構進行分解學習，最后在分解學習的基礎上再次進行綜合提升，形成更為全面的整體理解.

本單元采取“總分總”的模式.第一個“總”將用二元一次方程組解決問題情境作為第一課時的主要教學內容，目的是讓學生從整體上把握本單元內容的框架；“分”學習二元一次方程組的概念、代入法和加減消元法解二元一次方程組、解三元一次方程組；第二個“總”完善第一個“總”的問題，并對本單元知識進行深刻總結完善，拓展應用，擴展學生認知結構.本單元的教學始終圍繞明、暗兩條主線（如圖1）.明線是用二元一次方程組解決實際問題的過程中所用到的數學知識與技能，暗線是體會模型和化歸的數學思想，掌握研究方程問題的思路.

圖1 本單元明、暗兩條主線圖

（二）教學目標設計

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對本單元教學目標要求如下［4］：

①能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型；

②掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組；

③能解簡單的三元一次方程組（不做考試要求）.

現對本單元教學目標進行調整如下：

①能夠用二元一次方程組解決實際問題，體會與一元一次相比解決問題的便利性與可行性；

②理解二元一次方程組的概念，并能把握其與一元一次方程區別與聯系；

③能夠靈活選擇代入法和加減消元法解二元一次方程組；

④能解三元一次方程組，并思考解多元一次方程組的方法；

⑤掌握二元一次方程組的學習思路，并和一元一次方程進行對比，發現兩者的異同；

⑥體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，提高數學建模能力；

⑦能將解二元一次方程組轉化為解一元一次方程，將三元一次方程組轉化為二元一次方程組的過程中，體會化歸思想方法.

（三）素材組織

“二元一次方程組”內容包括三個方面：從問題到方程、解方程組、用方程組解決問題.具體教學設計和課時安排如表1.

表1 本單元教學課時安排表

由于篇幅有限，這里只以問題串形式，簡要展示各個課時學習的思路.

第1課時

問題1.籃球比賽規則規定：贏一場得2分，輸一場得1分.在中學生籃球比賽中，某球隊賽了12場，共得20分.該球隊贏了幾場？輸了幾場？

生：設贏了x場，輸了（12-x）場，則2x+（12-x）=20，求出x就可以.

追問1.1：如果設贏了x場，輸了y場呢？你能找到幾個相等關系，列出幾個方程？

生：兩個，x+y=12；2x+y=20.

追問1.2：設一個未知數就可以解決，為什么還要設兩個未知數呢？

問題2.《希臘文選》中有這樣一題：驢子和騾子馱著貨物并排走在路上，驢子不停地埋怨馱的貨物太重，壓得受不了.騾子對驢子說：“你發什么牢騷??！我馱的比你馱的更重.倘若你的貨給我1口袋，我馱的貨比你馱的貨重1倍；而我若給你1口袋，咱倆才剛好一樣多.”驢和騾各馱幾口袋貨物？

這個問題你認為設幾個未知數更好找到等量關系，解決問題？你準備怎么設？

生：設騾子馱x袋，驢子馱y袋.可以得到兩個方程：x+1=2（y-1）；x-1=y+1.

追問2.1：設一個未知數可不可以呢？你覺得哪個更方便？并說說理由.

生：可以.但設兩個未知數更方便，因為兩個相等關系更好找.

追問2.2：如何求得兩個問題中的未知數x，y？

設計意圖以兩個實際應用二元一次方程組的問題引入，問題1用一元一次方程解決很方便.問題2以《希臘文選》中的故事為背景，一方面以“復制式”直接引用數學史，滲透數學文化；另一方面這個問題用二元一次方程組更加簡便，讓學生體會學習二元一次方程組的必要性.雖然此時學生還沒有二元一次方程組的概念，但是有列方程的經驗，因此學生可以找出相等關系，建立方程模型.通過類比一元一次方程，要解決這個問題，就是要找到兩個未知數的值，由此得到相關概念：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程的解、二元一次方程組的解的概念，以及解這個二元一次方程組的兩種方法——代入消元法和加減消元法，從而形成整體的研究思路（如圖2）：

圖2 本單元研究思路圖

第2課時

問題3.x，y的值如何求？

追問3.1：要想得到x，y的值，我們首先要清楚x，y是什么意思，類比一元一次方程中未知數的值，你能說清楚嗎？

生：滿足方程的取值.

追問3.2：滿足哪個方程？

生：兩個都滿足.

追問3.3：這兩個方程和一元一次方程比有什么區別與聯系？

生：都是整式方程，所含未知數的項的次數都是1.一元一次方程只有一個未知數，但是新的方程有兩個未知數.

追問3.4：你能否模仿一元一次方程，給這樣的方程下一個定義？

設計意圖學生對本單元內容有了整體的概念，為了解決第一課時留下的問題，將問題一步步分解：要求x，y，首先要明確二元一次方程組解的概念，其次要知道二元一次方程組和二元一次方程的解兩個概念，最后要知道二元一次方程的概念.通過如何求x，y這一個問題，引導學生通過類比一元一次方程有關概念，一步步思考，自然而然地得出相關概念，了解概念為何而來，有何作用，理解概念本質.

第3課時

問題4.x，y的值如何求？

追問4.1：我們目前只學過解一元一次方程，能否將二元一次方程組轉化為一元一次方程來解？

生：應該可以.

追問4.2：一元一次方程和二元一次方程的區別在于未知數的個數不同，那么我們如何將二元一次方程組的未知數去掉一個，你能否從問題1中的兩種方法中得到啟示？

生：只要將2x+y=20中的y用（12-x）代替就可以求出x的值.

追問4.3：如何求y呢？

生：再代入上面的兩個方程，或者y=12-x就可以.

追問4.4：能否先消x，先求出y，再求x呢？

設計意圖與問題3相同，這里引導學生解二元一次方程組的具體方法，追問4.1引導學生將二元一次方程組轉化為一元一次方程問題，解出一個未知數，再求出另一個未知數即可.這是本單元轉化思想與消元法暗線的體現，由此引出代入消元法，讓學生明白代入消元法從何而來，而不是直接給出解方程的固定模板.通過追問4.4，學生會進一步理解代入消元法的本質是通過一個未知量表示另一個未知量，代入方程，將二元一次方程轉化為一元一次方程來解.

第4課時

生1：把兩個方程相加，就可以消去y，得到2x=8，x=4.

生2：把兩個方程相減，就可以消去x，得到y=1.

追問5.1：這個方程組能夠進行加減消元的前提是什么？

生：相同的未知數前面的系數是相同的或者互為相反數.

問題6.能否用同樣的方法解二元一次方程組？

生：（猶豫）有的說可以，有的說不知道.

追問6.1：如何將這個方程組同一個未知數前面的系數化為相同或互為相反數？

生：找最小公倍數!

追問6.2：如何找？

生1：①×2，②×5.

追問6.3：還有沒有其他的方法？

生2：①×3，②×2.

追問6.4：此時一個新的問題就轉化成了問題5這樣的一個已知問題，體現了數學上的什么思想？

生：化歸思想.

設計意圖讓學生先對問題6進行觀察，為了達到消元的目的，可以對兩個方程進行整體的加減，因為相同未知數前面的系數是相同或者互為相反數.從問題5得到啟發，引導學生對問題6模仿上述過程解方程，又產生新的追問6.1，6.2，6.3，追問6.3是為了幫助學生進一步理解加減消元法的本質，拓寬思維.其中幾個追問解決之后，就將問題7轉化為問題5的類型，通過追問7.4，再次滲透化歸思想.

問題7.問題1、問題2中的未知數的取值分別是什么？

設計意圖單元內容的學習源于問題，學習完之后要回溯本源，解決當初的問題，使之前后照應，不斷深化，完整地解決問題.

第5課時

生：通過消元轉化為二元一次方程組來解.

追問8.1：如何消元，選擇消哪個未知數？

生：z.

追問8.2：理由是什么呢？

生：因為方程②中不含z，消掉z之后，就可以和②組成二元一次方程組了.

追問8.3：只能先消z嗎？

生：不是，消x或者y都可以.

追問8.4：可以如何消？

生：加減或者代入消元法都可以.

設計意圖三元一次方程組課標不做考試要求，但為了進一步讓學生體會消元的過程，滲透轉化與化歸的數學思想，本課直接以解三元一次方程組的問題8引入，激發學生求知欲，引導學生自主探究本題如何進行消元，將解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組，學會解三元一次方程組的方法.追問8.1—8.4引導學生加深對消元法的理解與應用，落實能力與素養的培養.

第6課時

問題9.二元一次方程組解決問題用到的知識有哪些？

問題10.和一元一次方程解決問題比較有哪些區別與聯系？

問題11.談談本單元學習的思路是什么，對研究其他方程有什么啟示？

設計意圖本節課是單元教學“總分總”基本路徑下的第二個“總”.問題9目的在于學生學習了本單元所有知識之后，對各部分知識的重新認識與整合，建立知識聯結.問題10、問題11是在問題9的基礎上，進一步拓展延伸，將二元一次方程組與一元一次方程有關內容進行深入整合，從而讓學生對方程有了更高、更廣的認識，從更加系統的角度看待方程問題，形成方程研究思路（如圖3），提高分析與解決問題的能力，提升數學核心素養.

圖3 方程問題研究思路

（四）作業布置

作業是教師為了了解學生學習情況，讓學生鞏固所學的知識技能與思想方法.本單元要考查學生是否形成整體研究二元一次方程組的思路，是否體會模型思想與化歸思想，因此作業布置要體現出層次性.

層次1：二元一次方程組應用的題目，了解學生對本單元各個內容的掌握情況.

層次2：二元一次方程組的一題多解問題.在化歸思想的引領下，通過不同的方法進行消元，讓學生體會不同方法的優劣，檢驗學生對不同方法的掌握情況，培養學生思維的靈活性.

層次3：讓學生自主構造本單元的思維導圖，并談談學習方程問題的一般思路，以檢驗學生對本單元內容體系的把握.

層次4：讓學生自編二元一次方程組的應用問題.自編問題要考慮問題情境、二元一次方程組模型、解法（需考慮數據處理）、檢驗各個步驟.

（五）評價與反饋

單元整體教學視角下對學生學習情況的評價不僅要評價學生對各部分知識的掌握情況，更要關注學生是否形成了整體的系統知識體系，是否領會了其中蘊含的數學思想方法.