卜英俊
江蘇省常熟市海虞中學 215519
猜想在數學學習過程中是一種重要的探索手段,在數學發展史上很多偉大的定理都是通過猜想發現的,當然也有一些猜想被驗證是不正確的.無論成功與失敗,都表明猜想是學習數學的一種重要的能力.學生具備了猜想的能力,就為數學學習插上了想象的翅膀,學會了提出問題并解決問題,使自身的思維得到進一步的鍛煉.
數學猜想不同于想象,它是以數學知識為基礎,在已有規律的基礎上,通過數學方法進行推斷或者推測.猜想的過程是運用數學知識進行分析和判斷的過程,因此提出猜想本身就包含著創造性的勞動.正是因為有很多偉大的猜想,推動著數學理論不斷發展,甚至在論證一些猜想的過程中還能發現其他的數學定理.因此培養學生的猜想能力,對于促進學生敢于質疑、敢于提出問題、敢于創新具有非常重要的意義.
數學猜想能力的培養體現在課堂的每一個環節、每一個設計當中,教師只有深知教學活動與學生思維之間的關系,才能在活動中訓練學生的思維,讓課堂充滿活力.
思維的鍛煉與實踐密切相關,學習過程中如果都是間接經驗,學生不會有深刻的體會.而通過直接的動手操作,可以讓學生在獲得直接經驗的過程中,激發猜想的興趣.
案例1三角形中位線定理
師:同學們已經學習了三角形中位線的概念,那么三角形的中位線有哪些性質和特征呢?同學們不妨來自己動手畫一畫,看一看,想一想.
同學們應注意任何線與線的關系都有兩種,一種為位置的關系,一種為數量之間的關系.同學們可以大膽地猜想一下.
生:我根據剛才畫的幾條中位線發現,三角形的中位線與三角形的第三邊平行而且長度等于第三邊的一半.
師:好的,同學們既然有了猜想,那我們要試著去論證一下這個猜想是否正確.大家可以試著動手做一下.大家做一個如圖1的三角形,沿著三角形的中位線把△ADE剪下來,試著把△ADE和四邊形BDEC拼接成一個平行四邊形(如圖2).
圖1
圖2
圖3
師:看來同學們都拼接成功了,其實我們發現拼接的過程就相當于將DE延長,使E成為DF的中點,那么如何證明剛才你們的猜想呢?
生:通過三角形相似原理,BD∥CF,DF∥BC,也就證明了四邊形BDFC是平行四邊形,那么BC和DF相等,而E成為DF的中點,因此DE是BC的一半.
本例中教師并沒有將定理直接告知學生,而是引導學生通過自己的作圖和觀察進行猜想,繼而又通過剪拼發現了證明猜想的辦法,這一系列的思維活動通過發現問題到證明問題,最終使學生獲得成功的喜悅,激發了探究的興趣.學生有了興趣的驅使,學習就變得輕松愉快,自然愿意投入更多的時間和精力,愿意發揮自己的主觀能動性去積極的探索和學習,讓學習真正成為一種自覺.
教學中教師要積極創設活動,讓學生主動參與,動手實踐,大膽猜想,運用自己所學的知識大膽設疑、充分證明,激發自身學習的積極主動性.
數學猜想是在已有數學知識的基礎上,采用數學方法進行的推理,因此掌握數學方法是猜想需要的前提.猜想過程中普遍需要用到歸納和類比轉化的思想,在教學中教師要不斷培養學生歸納和類比的數學推理方法.
1.學會歸納方法
歸納是學生提高學習效果的重要方法.簡而言之,歸納是由零散到整體的總結,是由特殊的例子推而廣之成為普遍的定理.
案例2凸多面體中面、棱和頂點的關系
探究這其中的關系較難,凸多面體也無法窮盡,所以可以采用舉例研究特殊圖形來找到規律.教師引導學生通過列表格進行分類整理(如表1),在整理的過程中發現面、頂點和棱雖然增長的數量不一致,但是都有著同樣的增加或者減少的趨勢.再仔細研究學生就會發現面與頂點的和等于棱的數量加上2.
表1
本案例是典型地采用了歸納推理的方法.研究一種較難的數學定理或者猜想時,不要妄想一步登天,可以從最簡單的部分著手,為了更加清楚直觀,可以盡量采用列表、舉例的方法,多舉一些簡單的例子進行觀察,從變化當中發現不變的規律,自然可以發現其中的定理.在教學中教師要逐步引導學生通過特殊到一般的推理,有效簡化推理的過程,論證猜想.
2.學會類比思想
類比思想是根據同類事物進行猜想和推理,在數學問題的解決過程中,類比思想應用非常廣泛,很多重要的數學定理的論證就是通過類比思想完成的.
案例3多邊形內切圓半徑
問題1:如圖4,已知三角形ABC的周長為l,三角形內部有一個內切圓O,其半徑為r,以O為頂點劃分成三個三角形.經過證明可知三角形ABC的面積等于三角形周長乘以內切圓半徑的一半.由此得出猜想1:若四邊形ABCD有一個面積為s的內切圓,四邊形各邊長分別為a,b,c,d,求推導出內切圓的半徑.
圖4
問題2:如圖5,圓O為四邊形ABCD的內切圓,OA,OB,OC,OD 將四邊形ABCD 分割成四個三角形,△OCD,△OCB,△ODA,△OAB的高都是圓的半徑,因此r=.據此可得出猜想2:若一個n邊形存在內切圓,且已知圓的面積為s,邊長分別為a,b,c,d…n,根據以上的猜想可以得到這個內切圓的半徑為r=
圖5
本題通過典型的類比思想,先從三角形推理到四邊形,進而再推廣到n邊形,使一個復雜的問題得以推理論證.類比思想就是對相似的性質、過程或者結構等進行聯想和推理,教師在進行定理的講解、習題的練習時都可以潛移默化地滲透這種思想,使學生利用知識之間的聯系和類比,進行合理的猜想和推理.
變式訓練是有效拓展學生思維的方法,教師只有進行大膽的思維訓練,才能讓學生大膽質疑和猜想,提高猜想能力.
案例4
原題:如圖6,以△ABC的兩條邊AB和AC為邊,向外作正三角形ABD和ACE.請證明BE=DC.
圖6
本題是一道并不困難的證明題,如果只是講解這道題,并沒有很好地發揮它的作用,可以改變已知條件,也可以改變結論,還可以將圖形與函數相結合,讓這道題真正發揮出它的潛在價值——一題多變.
變式1:在已知條件不變的情況下,增加求答問題.
以△ABC的兩條邊AB和AC為邊,向外作正三角形ABD和正三角形ACE.(1)證明BE=DC.(2)猜想直線CD與直線BE的夾角有什么特征?
變式2:增加新的結論,逆向推導已知條件.
如圖7,以△ABC的三條邊AB,AC,BC為邊,在BC邊的一側作等邊三角形BCF、等邊三角形ACE和等邊三角形ABD,請證明四邊形DAEF是平行四邊形.
圖7
猜想:當△ABC在什么情況下,四邊形DAEF是矩形?當△ABC在什么情況下,四邊形DAEF是菱形?當△ABC在什么情況下,四邊形DAEF不存在.
通過改變已知條件,將試題變成一道幾何綜合題,增加了題目的難度,也需要學生運用綜合思維能力以及分析和邏輯推理能力,在變式練習的過程中,學生的猜想能力得到了提高.猜想是思維的綜合運用,在教學中教師需要鼓勵學生大膽思考,對學生的想法要多鼓勵和表揚,不能直接否定,可以通過引導分析,讓學生逐漸找到思路.只有在不斷的訓練過程中,學生的猜想能力才能得到提高.
總之,猜想可以使學生鍛煉思維,學會類比轉化思想,進行更加綜合的思考,讓知識更加深刻;猜想還能增加學生的自信,培養學生的創新意識.猜想是興趣使然,反過來又能激發學生的學習興趣,所以教師要充分利用好猜想,讓它為學生的學習插上飛翔的翅膀,讓學生飛得更高、更遠.