重組知識結構，聯系生活實際
——以“等腰三角形”的教學為例

盛茂岳

甘肅省武威市涼州區皇臺九年制學校 733000

等腰三角形是軸對稱圖形的直觀展示，是幾何圖形學習中的關鍵知識點，研究等腰三角形的教學對于幾何中的邊角關系的教學能起到非常重要的作用.在學習等腰三角形的基礎上，學生會對幾何圖形的性質和判定有比較深刻的理解，為接下來學習等邊三角形、線段相等、角相等等幾何問題的證明奠定了基礎.筆者從聯系生活實際、整合知識結構和深度學習的角度，談一談“等腰三角形”的教學，供大家參考！

重組教材知識，探究本質規律

等腰三角形作為三角形的一種特殊表現形式，與一般三角形既有聯系，又有區別.它具有一般三角形的邊和角的特征，同時還有其特殊的軸對稱的性質.因此在研究等腰三角形時，除了可以通過三角形的全等知識進行探究以外，還需要從軸對稱的角度進行研究.這就要求在教學中教師要進行教材知識點的整合，將幾何圖形的相關知識點綜合運用，從中分析等腰三角形的本質特征.利用軸對稱圖形的特點可以探究等腰三角形的相關性質，同時也能在以后的幾何證明中利用三角形全等的相關特性進行幾何證明.

探究活動1：

活動準備：學生分組、直尺、剪刀、長方形紙片.

活動過程：學生利用準備的工具剪出一個等腰三角形.

活動結果：學生展示自己實踐的結果，并說明其原理.

設計意圖通過學生的動手實踐，引導學生理解通過對折三角形的方式進行剪裁，剪出了等腰三角形，這是利用了等腰三角形區別于一般三角形的性質，而折出的這條線就構成了三角形的左右對稱（如圖1）.

圖1

探究活動2：等腰三角形的性質和定理

師：請同學們在剛才剪出來的等腰三角形上標出A，B，C，D，如圖2，然后再將這個三角形進行對折，同學們發現了什么？

圖2

生1：通過對折發現等腰三角形不僅軸對稱，而且它的兩個底角還相等.

師：很好，這就告訴我們一個定理“等邊對等角”.我們如圖作一條輔助線AD，同學們仔細觀察圖2，還能發現哪些相等的邊和角呢？

生2：我發現圖上的∠1和∠2相等.

生3：BD和CD相等.

生4：線段AD不僅是等腰三角形的對稱軸，還是三角形的高.

師：通過剛才同學們的觀察，我們發現AD既是∠A的角平分線，還是三角形的高，也是三角形底邊的中線，所以也就是“三線合一”.

本例教學時教師設計了學生的動手實踐活動，在動手操作和觀察分析中，進行問題引導，利用軸對稱圖形的特性研究等腰三角形的性質，通過折疊、作輔助線等形式，進一步研究等腰三角形的“三線合一”的特點，在過程中滲透幾何證明的方法.這樣的教學活動相比于教師直接講授來得更加直觀，學生不僅鍛煉了動手實踐能力，還能在觀察分析中提升思維能力，初步掌握幾何圖形的學習方法.

貼近生活實際，靈活解決問題

數學來源于生活，最終又應用于生活，數學中的幾何知識在生活中的應用則更加普遍，因此幾何圖形的學習可以和生活緊密結合，用來解決實際問題，提高學生運用知識的技能.幾何圖形在生活中出現的場景很多，教師可以利用多媒體展示圖片和場景，可以展示一些特色的建筑，比如北京鳥巢、上海世博會場館圖片.這立刻點燃了學生的學習熱情，讓學生感覺到生活中到處都有數學知識的運用.在展示過程中，教師可以結合圖片引導學生認識等腰三角形的底邊、腰、頂角及底角等，認識等腰三角形的各個要素，為進一步的研究打下基礎.

案例等腰三角形的應用

如圖3，在民族特色民居中，許多房子的頂都是一個等腰三角形，在搭建房子頂時，AB和AC相等，柱子AD與BC垂直，已知BC等于6，∠BAC是120°，求∠B是多少度，BD的長度是多少？

圖3

本例從實際問題出發，考查學生對于等腰三角形“三線合一”定理的認識，符合學生的認知特點，既激發了學生的學習興趣，也滲透了數學的建模思想，培養了學生運用知識解決實際問題的能力.在此基礎上引導學生進一步思考等腰三角形“三線合一”的定理在實際生活中的運用，如在修建等腰三角形的屋頂時，通常會從屋頂的頂點系一個重物，往下掛，系重物的繩索要恰好經過一個關鍵點，那就是三角形的底邊中點.請學生思考這么做的理由，討論利用等腰三角形的定理解釋這么做可以保證房屋屋頂的水平.

從現實生活的圖形中抽象出基本的幾何圖形，進而利用圖形的性質解決問題，將所學知識應用到生活實際中去，體現了由具體到抽象再到具體的思維過程，有利于培養學生應用知識的能力，幫助學生體會生活，理解數學.

在實際問題的運用過程中，體現了學生對于知識的調動和運用技能，既能達到鞏固知識點的作用，又能在解題中利用數學建模思想解決實際問題，培養學生運用知識的技能，感受數學的實用性，體會數學的魅力.

精心組織訓練，滲透解題思想

等腰三角形的教學除了基礎的性質和定理以外，更重要的是要滲透數學的思想和方法，讓學生由感性認識上升到理性認識，能對具體內容進行概括和歸納.教師要通過具體的習題進行鞏固和檢測，在例題訓練中逐漸滲透思想方法.在習題訓練的設計中，教師應精心挑選能反映等腰三角形典型性質的習題，通過典型例題的訓練，使學生能加深對解題思路的理解.

習題訓練1如圖4，三角形ABC中，AB 和AC 相等，點D 是底邊BC 上的一點，已知AD和BD相等，求證∠ADB和∠BAC相等.

圖4

本題在引導學生解題時要滲透數形結合的思想，利用等腰三角形的邊和角的性質，通過數形結合的思想將數學的語言轉化為文字關系，將知識點進行聯系，充分聯想構建等量關系，利用數量轉化進行求解.在問題探究中，通過數形結合方法的使用，大大提升了思維的深度，使學生將數學知識內化為對數學思想的認知，訓練了學生的思維.

在習題訓練中，還可以通過“一題多解”的試題，訓練學生思維的發散性，讓學生能充分理解等腰三角形的性質.

習題訓練2“一題多解”

如圖5，已知三角形ABC中，AB和AC相等，點D和點E在線段BC上，并且AD和AE相等，求證BD和CE相等.

圖5

本例是一道一題多解的試題，著重訓練學生對等腰三角形性質的靈活運用，在引導學生小組討論、自主思考的基礎上，教師要引導學生采用多個角度進行解答，如可以通過等量轉換、構造的思想，可以通過作輔助線的方法（如作頂角的角平分線、作底邊上的高等）進行解答.在探究多種解法的過程中，讓學生進行深度思考，不僅加深了學生對等腰三角形性質的印象，而且可以讓學生尋找最佳解題途徑，培養了學生的創造性思維.

數學課堂中數學思維的培養至關重要，它是學生能夠提升綜合素質的關鍵.在數學思維的培養中，教師要注重引導學生體會數學活動的過程，在數學知識發生發展的過程中逐步掌握數學思想和數學方法，真正形成自己對數學的認識.教師要通過對教材知識點的理解、整合，利用生活中數學問題的轉化和優秀的習題訓練，加強學生對知識的理解，在問題引導和設問啟發中發展學生的思維，培養學生的創新意識.

總之，教師對課標、教材的理解，對數學方法和思想的把握，都會在一舉一動中潛移默化地傳授給學生.因此教師要提升學生的核心素養，就要不斷提升自己的專業知識水平和教學能力，做一個終身學習者，才能長久地影響學生，促進學生的全面和可持續發展.