單葉調和映射的Qp-擬共形延拓

陳 燚，陳艷林，唐樹安，楊叢麗

(貴州師范大學 數學科學學院，貴州 貴陽 550025)

0 引言及主要的結果

為了敘述相關背景和結果，我們先從一些定義和記號開始。用Δ={z:|z|<1}表示全平面C上的單位圓盤，S1=?Δ={z∈C:|z|=1}表示單位圓周，H(Δ)表示單位圓盤內的所有解析函數。設f(z)=u(x,y)+v(x,y)i是一個關于(x,y)的連續可微復值函數，其中u(x,y)，v(x,y)分別是f(z)的實部和虛部，在z=x+yi，復值函數f的形式偏導數的定義為

其中fx=ux+vxi，fy=uy+vyi。如果單位圓盤內的一個復值函數f滿足

設k是一個非負實數且0≤k<1，f是區域Ω到Ω′的同胚映射，若f在Ω內具有ACL性質并且在Ω內幾乎處處滿足

單位圓盤內的單葉函數的擬共形延拓理論與幾何函數論、Teichmüller理論以及微分方程理論緊密相關，大量學者的研究得到了很多好的結果，并且這些結果得到了很好的應用，見文獻[3-7]。然而，單位圓盤內單葉調和映射的擬共形延拓理論卻是近些年才開始研究的，類似的單葉函數的擬共形映射的相關結果得到了推廣和應用。

(1)

其中ω是f的第二復伸縮商。它的Schwarzian導數Sf的定義為

(2)

在文獻[9]中，借助f的Pre-Schwarzian導數，Hernández和Martin證明了下列結果：

(3)

其中k滿足

(4)

那么f在Δ內單葉且可以擬共形延拓至整個復平面C上。

文獻[10]借助f的Schwarzian導數，相應地獲得了下列結果：

|Sf(z)|(1-|z|2)2≤δ0t

(5)

則f在Δ內單葉且可以擬共形延拓至整個復平面C上，其中0≤t<1。

在文獻[11]中，作者考慮了單葉調和映射能擬共形延拓且復伸縮商滿足一定的Carleson測度條件的情形。我們首先給出Carleson測度的定義。設D=Δ或者D=Δ*:={z∈C:|z|>1}，單位圓周S1上給一段弧I，Carleson集定義為：

其中|I|表示弧I的規范化長度，即

設0

那么稱正測度λ為有界的p-Carleson測度，若

在文獻[11]中，作者證明了下列結果：

(6)

則下列陳述等價：

A1:|Pf|2(1-|z|2)dxdy∈∈CM1(Δ)

A2:|Sf|2(1-|z|2)3dxdy∈∈CM1(Δ)

此外，如果條件A1或者A2成立，則調和映射f在Δ內單葉且可以擬共形延拓至整個復平面C上，使得它的復伸縮商μ滿足

本文將這一結果推廣至p-Carleson測度情形。實際上，在單葉函數情形，Pua和Peláez證明了下列的結果：

定理4[12]設0

B1:|Pφ|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)；

B2:|Sφ|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)。

其中Pφ，Sφ為單葉函數經典的Pre-Schwarzian導數和Schwarzian導數。

對于緊的p-Carleson測度情形，Jin在文獻[13]中證明了下列結果：

定理5[13]設0

C3:φ可以擬共形延拓至整個復平面C上，使得它的復伸縮商μ滿足

本文將上述結果推廣至單葉調和映射情形，主要結果如下：

(7)

則下列陳述等價：

D1:|Pf|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)；

D2:|Sf|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)；

此外，若以上3個等價條件之一成立，則調和映射f在Δ內單葉且可以擬共形延拓至整個平面C上，使得它的復伸縮商μ滿足

(8)

則下列陳述等價：

E1:|Pf|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)

E2:|Sf|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)

此外，如果條件E1或者E2成立，則調和映射f在Δ內單葉且可以擬共形延拓至整個平面C上，使得它的復伸縮商μ滿足

當p=1時，所對應的結果為定理3。目前還不知道定理中的第二個結論的反向是否正確，由定理5可知，當f為共形映射時，在緊的Carleson測度情況下，第二結論反向是成立的。

1 主要結果的證明

這一小節將證明定理6。為此，需要下面準備。

其對應的小Qp空間定義為：

Qp空間在文獻[14-15]中被引入和研究。在文獻[14]中作者證明了如果p>1，那么Qp空間就是Bloch空間，其中Bloch空間的定義如下：

關于Qp空間更多結果，請參考文獻[16]。在文獻[12]中，Pua等證明了：

定理7[12]假設0

F1:g=logφ′∈Qp；

F2:|Sφ|2(1-|z|2)p+2∈CMp(Δ)。

其中φ為共形映射。注意當p>1時，Qp=B。

下面我們開始定理6的證明。

定理6的證明：

(9)

其中k滿足式(4)。因為h(z)是共形映射，所以由共形映射的理論知：

(10)

根據調和映射f的Pre-Schwarzian導數和式(9)可知：

(11)

根據式(7)可知：

|Ph(z)|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)

(12)

由定理4可知，式(12)等價于

|Sh|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)

(13)

由(9)和(10)式，可以推出

(14)

由于ω是單位圓盤到自身的解析函數，由文獻[17]中的結果可知，存在1個常數M>0，使得：

(15)

因此由式(9)和式(15)可以推出：

(16)

同理可得：

(17)

根據調和映射f的Schwarzian導數可得：

(18)

結合式(7)、式(13)、式(14)、式(16)和式(17)，可推出：

|Sf(z)|2(1-|z|2)2+pdxdy∈CMp(Δ)，

(19)

結合式(7)、式(14)、式(16)和式(17)可知，式(13)成立，再由定理4可知，式(13)等價于式(12)。根據調和映射f的Pre-Schwarzian導數可得：

|Pf(z)|2(1-|z|2)p≤4(|Ph(z)|2(1-|z|2)p+

(20)

再結合式(7)和式(12)，即可推出：

|Pf|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)，

綜上，完成了D1?D2的證明。其次將完成D2?D3的證明，不妨假設D2成立，根據Schwarzian導數的定義以及式(7)、式(14)、式(16)和式(17)，可以推出：

|Sh|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)

(21)

由于h為共形映射，所以根據定理7可知，式(21)等價于

(22)

即

(23)

由于p>1，所以可得出式(23)等價于

(24)

結合式(22)和式(24),可以推出：

反之，假設D3成立，根據Pre-Schwarzian導數的定義，有

即

結合式(24)，可以推出式(22)成立，又因為h為共形映射，根據定理7可知：

|Sh(z)|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)，

根據Schwarzian導數的定義以及式(7)、式(13)、式(14)、式(16)和式(17)，可以推出D2成立。這樣我們完成了D2?D3的證明。

對第二部分的證明：不妨假設D1成立。則由文獻[9]的定理2可知，f在Δ內單葉且可以擬共形延拓至整個復平面C上，該延拓函數為：

其中

如果|w|<1，則有|μF(w)|=|ω(w)|，所以由條件式(7)知：

和

根據復伸縮商的定義，我們有

(25)

另一方面，由于g″=(ωh′)′=ω′h′+ωh″，所以我們得到：

由于‖ω‖∞<1，根據式(3),于是可以推出：

(26)

對于推論1的證明，其證明過程完全類似于定理6的證明過程。