多層網絡中對傳播內容感興趣層的存在對其它層的影響＊

楊 非，曹 磊，陳丹丹，廖 展，趙 明

（1.廣西科技師范學院，廣西 來賓 546199；2.廣西師范大學物理科學與技術學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

自然界和人類社會中的很多系統是錯綜且復雜的，人們為了研究方便，將系統中的個體抽象成節點，將個體間的聯系抽象成邊，這樣就形成了一個巨大的結構復雜的網絡[1-5]，即近二十年來科學家熱衷研究的復雜網絡。我們生活周邊就有各式各樣的復雜網絡系統，例如：把人看作節點，人與人之間的朋友或熟人關系看成邊，這就形成一個社會關系網絡；在生物界中，將捕食者和被捕食者看做節點，捕食關系看成連邊，就組成了生物網絡；在每個城市中，把電力站看做節點，將輸電線路看作連邊，就形成了電力網絡[2-3]，用復雜網絡來研究復雜系統能將問題簡單化，更有利于進行我們理論上的分析。因此對復雜網絡的研究具有非常重要的意義，復雜網絡雖然看起來復雜，但是其結構還是具有一些明顯的統計特性的，比如網絡的多層結[6-7]等，而近幾年，復雜網絡的信息傳播逐漸成為熱點。

在現實生活中，每個人對每類信息的關注程度都是不一樣的[6]。對于感興趣的信息或行為，該個體可能會關注、接收并傳播信息，而對于不感興趣的信息或行為，該個體可能不會關注和傳播。但有的時候我們需要在一個不感興趣的人群中傳播一類特定的信息或觀念，那么如何推廣才能使其傳播范圍更廣呢？舉例來說老年人對電子產品比較抵觸，那么如何將有益于這類人群的電子產品推廣出去就是一個需要解決的問題。一個可能的辦法是將這類信息首先推廣到老年人的子女中去，因為這些年輕人更容易接受新的理念和新產品，再通過他們將新的理念和產品推廣到老年人群中去，這將比直接向老年人推銷更為有效。因此本文就將考察如何將信息在難傳人群中進行傳播，使更多的人收到、進而接受信息最終將信息傳播出去。

在具體的操作中，我們建立一個雙層網絡，其中一層對所傳內容感興趣，而另一層對該信息不感興趣，我們試圖利用感興趣層的節點的影響力將信息傳播到不感興趣層的節點。之前我們考察的是利用某一層的相對較大的平均度，而本文所利用的是某一層對所傳播的內容更感興趣，利用這樣兩種利于傳播層的存在，將信息或理念或產品傳播到難傳層中去，最后，我們將這兩種方法結合，找出利于促進難傳網絡層傳播的最佳方案。

1 雙層網絡和傳播模型介紹

雙層網絡模型：首先生成兩個隨機網絡A 和B，兩者的規模相同NA=NB=N，平均度分別為＜kA>和＜kB>，之后分別在兩層中隨機選擇節點并連接作為層間連邊，避免邊的重連，使得層間連邊的平均度達到＜kAB>。在這個工作中層間連邊相對稀疏，因此只有部分節點既有層內連邊又有層間連邊，我們稱這樣的節點為“橋梁”節點。這里我們假設A 和B 層網絡分別表示分屬兩個地域的人群，兩類人群的交往方式不同即具有不同的度分布pA(k)和pB(k)。這樣我們就獲得了一個比較簡單但卻能描述兩個地域人群相互關系的雙層網絡。在我們的工作中，N=5000，A 層網絡的平均度為6，B 層網絡平均度改變，層間連邊數量為1000 即連邊密度為kAB=0.00004（如圖1 所示）。

圖1 簡單的雙層網絡示意圖

傳播模型：為了考察傳播過程，我們采用了經典的SIR[3-7]傳播模型，該模型描述了個體從未生病的易感態（S 態)被感染后變成染病態（I 態）并可能把疾病傳染給其處于易感態的鄰居，最后轉變成免疫態（R態）的過程（如圖2 所示）。該模型也往往被用來描述信息或行為的傳播過程，其中S態表示個體不了解信息的狀態，I 態表示個體相信了網絡中正在傳播的信息并傳播該信息給其鄰居的活躍狀態，R態表示個體已經對所傳信息不再感興趣的疲憊狀態。在本文，我們在A 層網絡中隨機選擇幾個節點作為傳播源開始傳播，考察當B層網絡的平均度發生改變時對A 層網絡傳播范圍的影響。為了簡化模型，我們令層內和層間的感染率β相同，恢復率γ為1。

圖2 SIR 傳播模型示意圖

2 B 層網絡的感染率對A 層網絡傳播范圍的影響

我們考察對所傳信息感興趣層對難傳網絡層的影響，如果個體對所傳信息感興趣，那么當收到信息后就很容易相信，即對于這類人群來說信息的感染率比較大，因此在我們的工作中保持A 層網絡的感染率在一個比較小的值不變，考察B 層網絡的感染率對A 層網絡的傳播范圍及速度的影響，那么B 層網絡的感染率越大表明B 層網絡中的個體對所傳信息越感興趣。我們認為信息開始在A 層網絡傳播后經過層間連邊傳播到B 層網絡，如果B 層網絡的感染率比較大，那么信息在B 層網絡會很快地傳播開來，并通過層間連邊將信息回傳給A 層網絡，使得A 層網絡的傳播范圍進一步增大，為了驗證我們的想法，我們保持A 層網絡的感染率為0.18，B 層網絡的感染率βB為0.20、0.25 和0.50，A、B 層網絡的平均度都為6，初始時5 個傳染源在A 層網絡中開始傳播，同樣描述個體相信信息的時間來考察信息的傳播過程。如圖3 所示的是信息經過一次傳播，可以看出信息首先在A 層網絡傳播，經過一段時間后信息傳播到B 層網絡，而A 層網絡的傳播減少，但是一段時間之后，A 層網絡又開始傳播，這個過程使得A 層網絡的傳播規模增大。這個過程表明了感染率大的B層網絡的存在是怎樣促進A 層網絡的再次傳播。

圖3 網絡中被感染節點出現的時間

從圖3 還可以看出，似乎B 層網絡的感染率越大，對A 層網絡傳播的促進作用越大，因此，為了進一步驗證我們的猜想，我們還給出了A 層網絡中剛剛相信信息的活躍個體比例（I 態個體占A 層網絡總個體的比例）和信息傳播范圍即疲憊個體比例ρRA（R 態個體占A 層網絡總個體的比例）隨時間的變化規律，作為對比還考察了當不存在B 層網絡（可認為B 層網絡的平均度為0）、信息僅在A 層網絡中傳播時ρI0和ρR0隨時間的變化規律，如圖4 所示，圖中各點是經過10000 次平均得來。從圖4（a）可以看出，當不存在B 層網絡時，A 層網絡中活躍個體的比例隨時間是先增大后減小的，增大的幅度不是很大，但當B 層網絡存在時，由于B層網絡的回傳作用，A 層網絡中活躍個體的比例隨時間明顯增加：B 層網絡中節點間的感染率越大，A 層網絡中活躍個體的數量增加越多、增速和降速都越快。圖4（b）清楚的表明隨著B 層網絡感染率的增加A 層網絡的傳播范圍顯著提高。這兩幅圖都表明B 層網絡的感染率越大，對A 層網絡的傳播范圍的促進作用越明顯。

圖4 A 層網絡中的活躍態個體和傳播范圍隨時間的變化規律

下文將詳細考察B 層網絡的感染率對A 層網絡的傳播范圍的影響，我們設置在A、B 層網絡的平均度相同時，將B 層網絡的感染率βB從0.08 到1.0 之間取值，分別考察了三個典型的A 層網絡感染率βA=0.16，0.18和0.20 下隨機選擇5 個傳染源時A 層網絡在傳播穩定時的傳播范圍ρRA的變化規律。為了比較，我們還給出了只存在A 層網絡時網絡的傳播范圍ρR0。在A 層網絡的感染率不同的情況下A 層網絡的傳播范圍隨著B 層網絡的感染率的變化情況如圖5 所示。

圖5 在不同的感染率βA 下A 層網絡中的傳播范圍隨B 層網絡的感染率βB 的變化規律

從圖5 可以看出，無論A 層網絡的感染率取何值，隨著B 層網絡感染率的增加，A 層網絡的傳播范圍是單調遞增的，表明B 層網絡感染率越大越能促進A 層網絡傳播范圍的增加。

為了深入考察在不同的A 層網絡的感染率下所造成的B 層網絡對A 層網絡的影響程度，我們考察了存在和不存在B 層網絡時A 層網絡傳播范圍的差值ΔρR=ρRA－ρR0隨A 層網絡傳染率的變化關系，如圖6 所示。從圖可以看出這個差值隨著A 層網絡傳染率的單調增加，并不是單調變化的，而是先升高在βB≈0.18 附近取最大值然后再降低的。出現這個現象的原因是A 層網絡的傳播范圍受到B 層網絡影響的強弱，不僅與B 層網絡傳輸過來的信息次數有關，也與A 層網絡自身的傳播狀態有關，自身傳播的范圍如果已經比較大了，那么即使傳過來的信息比較多作用同樣也不明顯。

圖6 在不同的感染率βA 下A 層網絡和僅有A 層網絡時的傳播范圍的差值隨B 層網絡的感染率βB 的變化規律

3 同時考察平均度與感染率

我們已經知道，易傳層B 的平均度和感染率對難傳層A 都是有影響的，因此我們又考察了平均度與感染率的共同作用，我們通過調節B 層網絡的平均度和感染率，給出了A 層網絡傳播范圍的灰度圖，如圖7 所示。我們設置A 層網絡的感染率為0.18，平均度為6，橫坐標代表B 層網絡的平均度，從5 到20 的變化，縱坐標代表B層網絡的感染率，從0.16 到1.0 變化，灰度部分表示A 層網絡的傳播范圍。顯然B 層網絡的平均度和感染率都對A 層網絡的傳播范圍有影響，但兩者的結合能夠更容易地提高A 層網絡的傳播范圍。比如想令A 層網絡的傳播范圍達到0.28，如果βA=βB=0.16，那么B 層網絡的平均度要增大到非常大的值才可能（本圖未能顯示）；如果kB=kA=6，那么B 層網絡的感染率要達到0.42，如圖中左側的藍色正方形所示；而如果將B 層網絡的平均度與傳染率相結合就比較容易達到，比如圖中右側藍色正方形所標志的當B 層網絡的平均度取12，感染率取0.30時，就能將A 層網絡的傳播范圍增長到0.28 了。因此，我們說B 層網絡的平均度和感染率相結合更容易提升A 層網絡的傳播范圍。

圖7 在不同的感染率βB 和不同的平均度kB 下A 層網絡的傳播范圍的變化規律

4 利用B 層網絡的平均度來提高A 層網絡的傳播范圍

下面的研究工作表明，B 層網絡的存在會促進信息在難傳的A 層網絡中的傳播，因此，在這里我們試圖利用B 層網絡的這一作用來提高信息在A 層網絡中的傳播范圍。很容易知道，要想利用B 層網絡就需要將信息盡快地傳播到B 層網絡，如果我們僅能控制A 層網絡，那么最有效的辦法就是以A 層網絡中的橋梁節點為傳播源，使得信息以最快的速度傳播到B 層網絡，為了證明這一設想的有效性，我們對比考察了在A 層網絡中隨機選擇非橋梁節點為傳播源和選擇A 層網絡中的橋梁節點為傳播源對A 層網絡傳播范圍的影響，數值模擬的結果如圖8 所示。圖中給出了傳染率分別為0.16、0.18 和0.20 時兩種情況下A 層網絡的傳播范圍隨B層網絡的平均度的變化規律，從圖8 可以看出，當B 層網絡開始起作用后與在A 層網絡中隨機選非橋梁節點為傳播源相比，以橋梁節點為傳播源能夠明顯的提升A 層網絡的傳播范圍，并且B 層網絡的平均度越大效果越明顯。利用該方法能夠更有效地提高A 層網絡的傳播范圍。

圖8 在A 層網絡中，隨機選擇橋梁節點(target)和隨機選擇非橋梁節點(random)為傳播源時A 層網絡的傳播規模隨B 層網絡平均度的變化情況

5 結語

本文我們考察了在雙層網絡中，其它層網絡的存在（B 層）對難傳層網絡（A 層）傳播范圍的影響，研究結果表明B 層網絡的存在會有效的促進A 層網絡提高傳播范圍，并且B 層網絡的平均度越大效果越明顯。此外，我們還發現，感染率的增加并不會一直促使A 層網絡的傳播范圍單調增加，過大的感染率會降低B 層網絡的作用，即使B 層網絡回傳給A 層網絡的信息次數明顯增多，這是因為感染率的增加會促進A 層網絡自身的傳播范圍，使得從B 層網絡回傳的信息沒有更大的傳播空間。此外，我們還利用B 層網絡的作用設計了提高A 層網絡傳播范圍的方法，即令傳播源為A 層網絡的橋梁節點，數值模擬結果表明該方法能有效地增加A層網絡的傳播范圍。

我們的工作表明網絡中多層結構的存在會促進信息在網絡中的傳播，并且對信息相對難傳網絡的傳播范圍的促進作用更為明顯。本文我們考察的是平均度大的網絡層對信息的促進作用，實際上一些其他的網絡結構特征或個體特性也會促進信息的傳播，比如想在一個人群中推廣某類信息或某種行為，但該人群并不感興趣，那么就可以利用多層網絡結構的特點首先在另一個對此信息或行為感興趣的人群中先行推廣，然后利用社會加強作用使得信息或行為推廣到不感興趣的人群中。我們的工作考察了雙層結構對信息傳播的促進作用的根本原因，并提出了有效的提高難傳網絡傳播范圍的方法，相信我們的工作對于人們更好的理解多層網絡的結構對信息傳播的影響并利用這一影響提供了有價值的理論基礎。