怎樣由函數零點的個數求參數的取值范圍

周理國

由函數零點的個數求參數的取值范圍問題通常具有較強的綜合性.這類問題往往側重于考查函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性、圖象，方程的根的分布，以及零點存在性定理.下面結合例題，談一談怎樣由函數零點的個數求參數的取值范圍.

一、利用零點存在性定理

零點存在性定理：如果函數[y=f（x）]在[[a，b]]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有[f（a）f（b）<0]，則函數[y=f（x）]在[（a，b）]內至少有一個零點.由函數零點的個數求參數的取值范圍，往往要先判斷出函數在各個區間上的單調性；然后根據零點存在性定理建立不等關系式，從而求得參數的取值范圍.

因為[g（x）>0]，所以函數[y=g（x）]在[（-∞，0]]和[（0，+∞）]上均是單調遞增函數.

而在區間[（0，+∞）]上，當[x→0]時，[g（x）→-∞]；當[x→+∞]，[g（x）→+∞].

因此函數[y=g（x）]在區間[（0，+∞）]上存在1個零點，那么另1個零點必定在區間[（-∞，0]]上.

而在區間[（-∞，0]]上，當[x→-∞]時，[g（x）→-∞]，

由零點存在性定理可知[g（0）=1+a≥0]，

解得[a≥-1]，

綜上所述，要使[g（x）]存在2個零點，需使[a≥-1].

對函數[g（x）]求導，即可根據導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數在[（-∞，0]]和[（0，+∞）]上的單調性.而當[x→-∞]時，[g（x）→-∞]，即在[（0，+∞）]上的函數值均小于0，由零點存在性定理可知，要使[gx]在區間[（-∞，0]]上存在1個零點，需使[g（0）≥0].

例2.已知函數[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2]有2個零點，求[a]的取值范圍.

解：函數[f（x）]的定義域為[R]，求導得[f（x）=（x-1）?] [（ex+2a）]，

（1）當[a=0]時， [f（x）=（x-2）ex]有唯一的零點[2]，不符合題意；

（2）當[a<0]時，由[f（x）=0]，得[x=1]或[x=ln（-2a）].

因此[f（x）]在[（1，+∞）]上單調遞增.

當[x≤1]時， [f（x）<0]，

所以[f（x）]不可能有2個零點，不符合題意；

當[x∈（ln（-2a），+∞）]時， [f（x）>0]；

因此[f（x）]在[1，ln（-2a）]上單調遞減，在[ln（-2a），+∞]上單調遞增.

又當[x≤1]時， [f（x）<0]，

所以[f（x）]不可能有2個零點，不符合題意；

（3）當[a>0]時，[f（x）]在[（-∞，1）]上單調遞減，在[（1，+∞）]上單調遞增.

又因為[f（1）=-e<0]， [f（2）=a>0]，

所以[f（1）?f（b）<0]， [f（1）?f（2）<0]，

由零點存在性定理可知函數在[（-∞，1）]和[（1，+∞）]上均有1個零點，故[f（x）]存在2個零點.

綜上可知，[a]的取值范圍為[（0，+∞）].

解答本題，需利用導數與函數單調性之間的關系來判斷出函數的單調性，進而根據函數的單調性討論函數在區間上的取值，以便根據零點存在性定理判斷零點的存在性.運用零點存在性定理解題，需確保函數在區間上的值有大于0的，同時也有小于0的，才能使零點左右兩側的函數值的積小于0.

二、數形結合

我們知道，函數的零點是函數與x軸交點的橫坐標.因此在解題時，可根據題意畫出函數的圖象，討論函數與x軸的交點的個數、位置，即可建立關系式，從而順利求得問題的答案.有時函數可以拆分成[h（x）=g（x）-f（x）]的形式，那么[h（x）=g（x）-f（x）]的零點即為[g（x）]與[f（x）]的圖象的交點，此時只需討論兩個函數圖象的交點，就可以求出參數的范圍.

例3.已知[fx]為偶函數，對[?x∈R]，有[fx+2=fx-f1]，當[x∈2，3]時，[fx=-2x2+12x-18].若函數[y=fx-logax+1]在[0，+∞]上至少有3個零點，則[a]的取值范圍是（? ? ?）.

解：令[x=-1]，由[fx+2=fx-f1]可得[f1=f-1-f1]，

而[fx]為偶函數，則[f1=f-1]，所以[f1=0]，

所以[fx+2=fx]，故[fx]是周期為2的函數.

令[fx-logax+1=0]，即[fx=logax+1]，

要使函數[y=fx-logax+1]在[0，+∞]上至少有3個零點，需使[fx]與[y=logax+1]至少有3個交點.

畫出[fx]在[x∈2，3]的圖象，并根據函數的周期性和對稱性作出如圖所示的圖象，

由圖象可知：當[a>1]時，[fx]與[y=logax+1]不可能有3個交點，

當[0f2=-2]，

總之，由函數零點的個數求參數的取值范圍，不僅需要靈活運用導數、方程、不等式知識，還需運用分類討論思想、數形結合思想、轉化思想來輔助解題.