例談證明數列不等式的三種方法

張麗潔

證明數列不等式問題經常出現在各類試題中，時常以壓軸題的形式出現.這類題目往往具有較強的綜合性，對同學們的分析、推理、運算能力有較高的要求.下面主要介紹三種證明數列不等式的方法，供大家參考.

一、構造函數法

數列實際上是自變量為正整數的一種特殊函數.在證明復雜的數列不等式時，可以根據不等式的結構特征，構造出合適的函數，并利用函數、導數知識判斷出函數的單調性，求得函數的最值，即可證明不等式成立.

例1.已知數列[bn]的通項公式為[bn=3n-1]，數列[an]的前[n]項和為[Sn]，若[bn（2an-1）=1]，證明：[3Sn+1>log2（bn+3）].

證明：因為[bn（2an-1）=1]，[bn=3n-1]，

因為[（3n+3）3-（3n+5）（3n+2）2=9n+7>0]，

所以[f（n+1）>f（n）]，可得[f（n）]是單調遞增的函數，

即[3Sn+1-log2（bn+3）=log2f（n）>0]，

所以[3Sn+1>log2（bn+3）].

構造出合適的函數后，便將復雜的數列不等式問題轉化為簡單的函數單調性問題、最值問題，通過研究函數的單調性和最值，即可快速解題.

二、放縮法

放縮法是證明不等式的重要工具.運用放縮法證明不等式，通?？上葘⑼椆竭M行適當的放縮，以便運用錯位相減法、裂項相消法、分組求和法快速求得數列的和；也可以先求出數列的和，再通過添項、去項、擴大分子等方式放縮和式，從而證明不等式.

三、數學歸納法

數學歸納法適用于證明與自然數有關的不等式問題.運用數學歸納法證明數列不等式一般有兩個步驟：第一步，證明當[n=1]時不等式成立；第二步，假設當[n=k]時不等式成立，并由此推出當[n=k+1]時不等式也成立.綜合上述情況，即可證明數列不等式成立.

數列[cn]的通項公式中含有根式，采用常規方法求證較為困難，于是運用數學歸納法，分兩步證明當[n=1]和[n=k+1]時不等式成立，即可證明結論成立.

上述三種方法都是證明數列不等式的重要手段，其中構造函數法和放縮法比較常用.而運用數學歸納法解題的運算量較大，一般在采用其他方法求解較困難時才運用該方法.