巧用構造法，妙解導數不等式題

吳仕明

導數不等式問題通常較為復雜，常見的形式有：（1）比較兩個函數式或導數式的大??；（2）證明導數不等式；（3）根據恒成立的導數不等式求參數的取值范圍.而解答導數不等式問題常用的方法是構造法，即構造合適的函數模型，利用導數中的求導公式、函數的單調性、極值求得問題的答案.

而運用構造法求解導數不等式問題，關鍵是根據不等式或等式構造出合適的函數模型，通?？筛鶕髮Ч?、求導法則、函數的特征來構造函數模型.下面舉例加以分析.

例1.已知函數的定義域為[R]， [f（-1）=1]，對于任意的[x∈R]， [f（x）>3]，則[f（x）>3x+4]的解集為（? ? ?）.

A. [（-1，1）] B.[（-1，+∞）]

C.[（-∞，-1）] D.[（-∞，+∞）]

解法1.由題意可知[f（x）>3x+4]等價于[f（x）-（3x+4）>0]，

設[g（x）=3x+4]，則[F（x）=f（x）-g（x）=f（x）-3x-4]，

則[F（x）=f（x）-3>3-3=0]，

所以[F（x）]在[R]上單調遞增，

又因為[F（-1）=f（-1）-3（-1）-4=0]，

要使[F（x）>0]，需使[x>-1]，所以本題選擇B選項.

先將不等式移項，并將不等式左邊的式子設為[F（x）]，即可構造出函數[g（x）=3x+4]，[F（x）=f（x）-g（x）=f（x）-3x-4]；然后對函數求導，根據導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性，即可根據函數的單調性確定[F（x）>0]時x的取值范圍.

解法2.設[f（x）=4x+5]，

由[f（x）>3x+4]可得[x>-1]，所以選擇B選項.

由于對于任意的[x∈R]， [f（x）>3]，以及[f（-1）=1]，所以可設[f（x）=4x+5]，將其代入不等式中，即可將導數不等式轉化為常規不等式，通過解不等式求得問題的答案.

例2.已知[f（x）]是[（0，+∞）]上的非負可導函數，[xf′（x）+f（x）≤0]，對于任意正數[a，b]，若[a

A. [af（b）≤bf（a）]? ? ? ?B. [bf（a）≤af（b）]

C. [af（a）≤f（b）]? ? ? ? D.[ bf（b）≤f（a）]

解：由[xf（x）+f（x）≤0]可知[f（x）<0]，

則[f（x）]為單調減函數，

即[af（b）≤bf（a）]，所以選擇A選項.

對于較為復雜的導數不等式問題，通?？山Y合題目中的條件和函數的性質，構造出一個合適的簡單初等函數，便可根據簡單初等函數的性質來快速求得問題的答案.此方法適用于解答填空、選擇題.

D. [f（ln2）>0]

解：設[F（x）=f（x）sinx]，

則[F（x）=f（x）sinx+f（x）cosx<0]，

則本題選A.

對于較為復雜的導數不等式問題，同學們要學會從不同的角度尋找解題的突破口，如將不等式化為與求導公式形式一致的式子，將求導前的函數式與簡單初等函數相關聯，將不等式拆分為幾個簡單初等函數式，等等，從而構造出合適的函數模型，以順利破解難題.