宋希婷
一、單選題
1.設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為(? ? ?)
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 不確定
二、多選題
9.下列選項中正確的是(? ? ?)
A. [a=30,b=25, A=150°],有一解
B. [a=7,b=14, A=30°],有兩解
C. [a=6,b=9, A=45°],有兩解
11.對于△ABC,其中正確的判斷是(? ? ?)
A. 若cosA=cosB,則△ABC為等腰三角形
C. 若a=8,c=10,B=60°,則符合條件的△ABC有兩個
D. 若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC是鈍角三角形
12.下列結論正確的是(? ? ?)
A.在[△ABC]中,若[A>B],則[sinA>sinB]
B.在銳角三角形[ABC]中,不等式[b2+c2-a2>0]恒成立
三、填空題
13.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=4,c=6,C=2A,則cosA=________,b=________.
15.在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a2+b2-c2=ab,且acsin B=2sin C,則△ABC的面積為________.
四、解答題
(2)若AM為[∠BAC]的平分線,且[AC=1],求[△ACM]的面積.
(1)求角[B]的大??;
(2)若[△ABC]為銳角三角形,且[c=2a],[b=1],求[△ABC]的面積.
參考答案與解析
一、單選題
1.【答案】B
【解析】由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
∴sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A.
∴△ABC為直角三角形.
2.【答案】B
3.【答案】B
所以[b2=c2+ac],由余弦定理[b2=a2+c2-2accosB],
可得[a-2ccosB=c],
再由正弦定理得[sinA-2sinCcosB=sinC],
因為[sinA-2sinCcosB=sin(B+C)-2sinCcosB=sin(B-C)],
所以[sin(B-C)=sinC],所以[B-C=C]或[B-C+C=π],
得[B=2C]或[B=π](舍去).
因為[ΔABC]是銳角三角形,
二、多選題
9.【答案】AD
故選AD.
10.【答案】AD
故選AD.
11.【答案】ABD
12.【答案】ABC
【解析】對于[A],在[△ABC]中,若[A>B],根據大邊對大角,所以[a>b],
由正弦定理得[2RsinA>2RsinB],
則[sinA>sinB],故選項[A]正確.
故不等式[b2+c2-a2>0]恒成立,故選項[B]正確.
對于[C],在[△ABC]中,[a2-c2=bc],
由余弦定理可知:[a2=b2+c2-2bc?cosA],
因此[c=b-2c?cosA,得sinC=sinB-2sinC?cosA?sinC=sin(π-A-C)-2sinC?cosA],
即[sinC=sin(A-C)],因為[C∈(0,π)],
所以[sinC=sin(A-C)>0],
因此[A-C∈(0,π)],所以[C=A-C]或[C+A-C=π],
即[2C=A],或[A=π](舍去),
故選[ABC].
三、填空題
13.【答案】4或5
四、解答題
17.【解析】(1)[∵c=2bcosB],由正弦定理可得[sinC=2sinBcosB],
(2)由題意知[AB=2AC=2],設[BC=x],
因為[2AC≤BC],所以[BC=2],
因為AM為[∠BAC]的平分線,則[∠BAM=∠CAM],
(h為底邊BC的高)
20.【解析】(1)由已知條件得:[sin2B+sinAsin2B=cosA+cosAcos2Bsin2B]
[=cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B]]
[=-2cosBcosC],
所以[(sinB+cosC)cosB=0],