基于HPM視角的等比數列前n項和教學設計探討

劉學民

發現等差數列求和的規律不難，學生也較容易理解，但是等比數列求和公式的推導有一定難度。目前，我國絕大多數高中和中職教材的推導方法都是技巧性很強的“錯位相減法”，這個方法需要在求和等式的兩邊同時乘以公比q，那么為什么要乘以公比q？乘以其他數可不可以？這些問題的答案往往是教材和教師直接“告知”的，學生沒有按照層層遞進、知識建構的方式得到求和公式及推導方法，這樣就產生了思維斷層。學生既難以深透掌握公式，又難以提高探索能力。HPM（History and Pedagogy of Mathematics）視角是在數學教育中，通過數學歷史的運用提高教育水平。研究發現，在本章教學中，如能基于HPM 視角，對教學內容再整合、教學方式再設計，教學效果就會明顯不同。

一、前期準備

首先，分析學情、教材，確定教學目標。本節課程的主要難點在于學生很容易把等比數列前n 項和與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，其中有積極因素，可因勢導利，但二者求和公式的推導有本質不同，這就要求學生突破原有思維的束縛。另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其在使用過程中容易出錯。

其次，查找相關史料。信息技術的發展為師生快速準確查找相關圖片、視頻、史料提供了極大方便，節約了大量時間和資源，使HPM理念的實踐具有可行性。經仔細篩選，所使用的史料如下：

1.公元前3000年成書的蘇美爾計數泥版（編號MS3047）背面刻錄的5個簡單數序列，構成了一個等比數列，這可能是迄今為止發現最早的等比數列。

2.約公元前1700年，巴比倫泥版上的問題：以20%的年息貸錢給人，何時連本帶利翻一番?

3.公元前1650年，埃及紙草上僧侶文記錄的問題：有房七間，每間有貓七只，每只貓每日食鼠七只，每鼠每日食麥穗七株，每株麥穗含麥七粒。問房屋、貓、老鼠、麥穗、麥子總和多少?

4.13 世紀初，意大利數學家斐波那契(1170～1250)在《計算之書》中的問題：“七婦去羅馬，每婦牽七騾，每騾負七袋，每袋裝七塊面包，每塊面包配有七把小刀，每把小刀配有七個刀鞘，問婦女、騾子、面包、刀、鞘各多少？”

5.公元4世紀左右的《孫子算經》（卷下）有一名題：“今有出門，望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何?”[1]

二、教學方式選擇

1.以重構式為主。HPM 視角下數學教學方式有多種，如重構、點綴、附加等，等比數列求和方式的探索在數學史有濃墨重彩的一筆，從古代貫穿至近代，在教學中，需要結合其發展歷史重構教學內容，故此項教學以重構為主要方式，其他方法如點綴式、附加式、復制式、順應式等在教學中也有所體現。

2.采用支架式教學方式。具體流程是：首先，教師搭“腳手架”，遵循最近發展區理論建立概念框架，可以運用累加法、因式分解公式、錯位相減法等。其次，創設情境，復習回顧等比數列，列舉古文明中的等比數列最終都會歸結于求和，并提出問題，利用古印度中的國際象棋問題啟發學生思考，激發興趣，讓他們了解等比數列問題歷史悠久。通過與等差數列的比較、復述概念等方法讓學生進一步掌握等比數列的內涵與外延，接著進入等比數列求和公式的推導階段。再次，通過新增更多的求和方法，如拼湊法、因式分解法、比例法、解方程法、錯位相減法等，啟發學生逐步深入推導，把等比數列求和公式學深學透。并在教學中引入相關史料，如埃及《萊茵德紙草書》上記錄埃及人用遞推法推演等比數列求和公式的過程，[2]歐幾里得《幾何原本》第九卷命題35的證明方法，[3]讓學生嘗試運用前人的方法推導等比數列求和公式，特別是多種方法的比較，提升其數學思維能力。最后，讓學生思考：公式中存在的是q ≠1，如果q=1，那這個等比數列求和公式又會出現什么樣的情形？結合獨立探究與合作學習的方法，在共享集體思維成果的基礎上達到對所學概念比較全面、正確的理解，最終完成對所學知識的意義建構。[4]

三、HPM視角下的教學策略

數學是邏輯嚴密、抽象、簡潔的一門學科，但有很多學生并不喜歡數學，他們認為數學只是定理和計算，抽象、深奧、枯燥、刻板，是數學家玩的智力游戲。教師在教學中有責任和義務激發學生學習數學的興趣，使他們變被動學習為主動、快樂的學習。HPM 理念提供了一個新視角，注重數學知識的歷史文化向度，借鑒數學發展的歷史順序，消除學生邏輯證明的枯燥感，讓他們體驗知識的形成過程，享受數學發現的樂趣。

（一）復習等比數列，陳述古文明相關記載

教師運用信息技術展示古代文明記載的等比數列相關圖片、視頻及資料說明，從兩河流域神秘的楔形文字到恒河流域深奧的吠陀梵文，從埃及《萊茵德紙草書》記載的財產之和到齊魯大地惠子與墨子的尺棰取半之爭，等比數列的悠久歷史從古代四大文明中可見一斑。隨著數學的發展，等比數列的概念不斷完善，知識不斷豐富，成為刻畫現實世界的一類函數模型。[5]教學中，教師可以先讓學生寫出以上古代記載的等比數列的首項、公比及通項公式，再引導他們發現這些歷史記載，最后歸結于求它們的總和。

（二）聯系歷史和生活創設情境，引入新課

片段1：播放一段拉面師傅做拉面的視頻，吸引學生注意力的同時，介紹中國獨特的飲食文化。教師就此視頻提問：拉面師傅將一根很粗的面條拉伸、捏合，如此反復幾次，就拉成了很多根細面條，多數師傅拉伸8次，手藝高超的能拉伸10次，此時的面條細如發絲，經過8次和10次分別可以拉伸出多少根面條？

片段2：視頻展示國際象棋相關資料，通過國際象棋具有數學文化背境的故事調動學習的積極性。在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，印度國王大為贊賞，并許諾可以滿足他的任何要求。西薩說：請在棋盤的64 個方格上，第一格放1 粒小麥，第二格放2 粒，第三格放4 粒，后面每一格都是前一格的兩倍，直至第64 格。國王令人按西薩的要求去做，結果讓他大吃一驚。教師提問：為什么國王如此吃驚？你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？并引導學生寫出麥?？倲?，即求等比數列的前n 項和。這個故事流傳廣泛、頗具吸引力，很多國家的教材都通過它引入等比數列求和。

（三）逐步深化問題，引導學生推導公式

為了能讓學生自主推導出等比數列求和公式，教師設計了幾個層層遞進的問題。

問題1：等比數列求和能不能借鑒等差數列的求和方式？S64=1+2+22+23+……+263，我們應采用什么方法計算？

問題2：借鑒等差數列求和的方法推理等比數列求和公式，屬于什么推理模式？是否科學準確？

問題3：教師啟發提示，因等比數列每一項都是前一項的兩倍，如果把S64=1+2+4+8+……+263變形為1+1+2+4+8+……+263-1，逐項相加會有什么發現？

學生得到：1+1=2，2+2=22，22+22=23，發現首項加上1后，每前兩項相加都會等于后一項，這樣中間的計算過程都可以忽略。

解決問題3后，讓學生總結公比為2的等比數列求和方法。通過在求和式子最前面加上一個首項，并在末尾減去它，其和不變，這樣拼湊出前兩項和等于后一項，教師步步深入，趁熱打鐵，并拋出以下問題。

問題4：如果公比不是2，那該怎么計算？如我國古代著名思想家莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！?0天一共能截取多少？50、100天又能截取多少？

問題5：公比是3的等比數列能不能用拼湊法求和？比如S10=1+3+32+33+……+39，應怎樣計算？

教師可以提示：我們的目標是把數列各項拼湊成能按一定規律連續相加，試試在前面加上，最后減去。單獨的一個例題學生很難發現規律，為了讓學生找到拼湊數與公比的關系，教師繼續舉例并提問。

問題6：公比為4 的等比數列，S10=1+4+42+43+……+49，應該拼湊哪個數？若公比推廣到q，應怎樣拼湊？

通過一系列的引導、啟發，教師很自然地提出本節學習的終極問題。

問題7：如果把這個等比數列換成一般等比數列，前n項求和公式應該是什么？

學生導出：如果{an}的公比為q（q≠1）則

蘇聯心理學家維果斯基提出，教師要把握學生的兩種水平，一是學生現有的發展水平，二是通過他人的啟發、引導、指導和幫助可以達到更高層次解決問題的水平，這兩種水平的差距就是“最近發展區”。教師應對學生的認知水平有清晰的認識，著眼于他們的最近發展區，引導學生達到潛在的發展水平，同時創造新的最近發展區。教師應為學習者建構對知識的理解的概念框架，框架中的概念能幫助學習者進一步理解問題，為此，應先把復雜的學習任務加以分解，便于把學習者的理解逐步引向深入。因此，在教學中，首先設計首項為1、公比為2的等比數列相加，引導學生解決后，再提出首項為1、公比為1/2的等比數列如何求和，進而在首項不變的情況下，把公比變為3、4等，啟發學生思維，引導其發現規律，得到公比為q、首項為1 的等比數列求和方法，最后將首項修改為一般常數，進而推導出等比數列求和公式。此教學設計從簡單到復雜、特殊到一般，層層遞進、步步深入、水到渠成，促進學生數學思維能力的發展，提高其解決問題的能力，達到了較好的教學效果。

（四）沿著歷史足跡，探求等比數列求和方式的發展

復習初中所學因式分解公式：a3-1=（a-1）（a2+a+1），a4-1=（a-1）（a3+a2+a+1）

問題1：以這兩個公式為基礎類推，a5-1 如何分解？推至一般情況，an-1（n∈N+）如何分解？從中能得到什么啟示？

學生得到a5-1=（a-1）（a4+a3+a2+a+1），an-1=（a-1）（an-1+……+a2+a+1），發現上面的式子可變形為，這是公比為a，首項為1的等比數列前n項和。

問題2：如何將上述發現變換成首項為a1，公比為q的前n項和？

展示《幾何原本》圖片，介紹歐幾里得生平事跡及《幾何原本》文獻價值與傳播意義。歐幾里得是古希臘最負盛名、最有影響的數學家之一，他的《幾何原本》是最偉大的著作之一，是古希臘數學發展的頂峰?！稁缀卧尽凡粌H是歐洲數學的基礎，還對幾何學、數學和科學的未來發展、對西方人的思維方法產生了很大影響?！稁缀卧尽分饕獌热菔菐缀螌W，還涉及數論、無理數理論等其他課題，對知識體系的創建率先使用了公理化的方法，這一方法后來成為建立知識體系的典范。

問題3：在《幾何原本》第九卷《數論》的命題35中，歐幾里得從比例的角度給出了等比數列的前n項和公式：“如果眾數成連比，那么第二個數減去第一個數的差比上第一個數，會等于最后一個數減去第一個數的差比上各項之和?！鼻易寣W生用數學符號表述此語句并證明。到此階段，等比數列求和就不那么困難了，有多種方法解決，但為了引導學生推出教材中的“錯位相減法”，可以結合數學發展史設計如下幾個環環相扣的問題。

問題4：等式Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1，從第二項起提出一個公比q，會有什么結果？

學生馬上可以得到：Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1=a1+q（a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2）。

問題5：如果括號內的加數中加上一個a1qn-1，再減去a1qn-1，則此等式可變成什么形式？

學生得到：Sn=a1+q（a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1），此時，多數學生沒有發現變化后的等式有什么奧秘，還在困惑為什么這樣做；有少數同學會想到把等式右邊括號中的前n項相加，用Sn代入，若學生還不能想到，教師可以把括號中的前n 項和圈起來，提示等式既可以右邊代左邊，也可以左邊代右邊。學生恍然大悟，得到教師指出此方法為方程法，學生發現這些方法中，此方法最簡單。但有學生指出，此方法雖然簡單巧妙，但不夠直觀。教師指出，以此法為基礎，稍加變化，會得到一種更加直觀、簡潔的方法。

問題6：把求和等式分別減去首項和尾項，會得到如下兩個式子：

（1）式和（2）式有什么關系？你能從中推出求和公式嗎？

有了前面知識的鋪墊，學生得出：Sn-a1=q（Sn-a1qn-1），將等式稍作整理，得到等比數列求和公式。教師指出，此方法是法國數學家拉克洛瓦在《代數學基礎》中首次提出，被稱之為“掐頭去尾法”，其實質是方程法的一種簡潔變化。時間來到近代，在此基礎上，又有數學家發現更簡單的求和方法。

問題7：請同學們觀察如下兩個等式：

學生發現（1）式右邊去掉首項，（2）式右邊去掉末項，其他項都相同。多數學生能馬上想到把這兩式相減，得到等比數列求和公式。這時，教師指出這就是教材中的“錯位相減法”。

教材中求和公式的唯一推導方法是“錯位相減法”，由于學生自己推導這個方法有一定難度，若沒有相關知識的鋪墊，平鋪直入，學生思維會產生斷層，只能死記硬背，不利于他們數學思維的發展，也違背了教學規律，因此，前期要先學習其他方法。眾多教學理論、教學方法都非常重視學生在啟發下自己找到問題答案，蘇格拉底的“助產術”教育法提出，教師要像產婆一樣，用提問的方式啟發學生，引導其自己思考問題，找出問題的答案。本次教學中，教師運用拼湊法、比例法、方程法和“掐頭去尾法”作為“腳手架”，層層深入，完美剖析了錯位相減法中“減”的妙用，在探求其他方式時，可以培養學生的發散思維和創造思維。本次的學習過程如同攀登高山，在教師的指引下，學生跨越層層阻礙登上頂峰，一種“會當凌絕頂，一覽眾山小”的感覺油然而生，體驗成就感，激發學習興趣。數學教學應堅持“少而精”的原則，“少”是教師用語要精煉，宣講的內容要“少”，側重引導學生理解基本的科學概念、規則、理論和模式；“精”則是要求學生學得深入、細致，能理解科學的本質，終身受益。教學中通過問題設計，完善學生的知識結構，使其由簡單的模仿和接受轉變為對知識的主動認知，進一步提高分析、類比及綜合能力。

最后，教師要特別提醒，等比數列求和公式中，q不能等于1，如果q=1，怎么求和？學生通過探究找到答案：如果q=1，等比數列求和公式分母為零；如果q=1，此數列不是全為零的情況下，就同時為等比數列、等差數列和常數列，可用等差數列或者常數列的求和方式。

融入歷史文化的數學教學很有吸引力，能夠促進學生對數學的理解，提升其對數學價值的認識，構筑數學與人文之間的橋梁，滿足學生的求知欲和好奇心，印證了數學思維的廣闊性和數學文化的多元性，讓數學課告別枯燥、沉悶，成為精彩紛呈、靈動飛揚的藝術呈現。