靈動思維 創新突破

黃紅

【摘要】初中數學課程以創新、靈活為突出特征，要求教師打破教學慣性思維，開拓創新空間，培養學生的綜合能力.與之相對應的，逆向思維在理論與實踐中的靈活運用便更具重要意義.文章聚焦初中數學教學中的逆向思維核心問題，從概念解析入手，分析培養學生逆向思維能力的可行性與必行性，進而就教學實例多維度探討其具體培養策略，層層深入，以期為廣大教學工作者提供經驗借鑒.

【關鍵詞】逆向思維；初中數學；創新思維；策略分析

【基金項目】本文系2020年度廣東省教育研究院教育教研課題《通過專業閱讀提升初中數學教師專業素養的實踐研究》（課題批準號：GDJY-2020-A-s079）的階段性研究成果.

隨著新課改的不斷深入以及“雙減”政策的持續貫徹落實，初中數學教學面貌已煥然一新.作為一項創新性教學策略，“逆向思維”的引入與實施是落實新教育觀念與教學方法的重要途徑.因此，數學教師應明確逆向思維的重要性，并將其融入具體的題目分析之中，于潛移默化間培養學生的逆向思維能力，從而靈活應對各類題目.

一、逆向思維概述

逆向思維，又名求異思維.顧名思義，是與正向思維相對立的概念，指的是針對某一具體問題，選擇從反方向尋找思維的突破口，進而找到解決問題的方法或者發現事物本質的思維方式.從表面上看，逆向思維打破了慣性思維，以一種非常規的方式分析問題，似乎比正向思維更難以掌握和理解.但事實上，逆向思維恰恰可以簡化問題、激發學生創新創造能力，并幫助他們突破解題瓶頸，為學生攻克難題提供了另一條路徑.

二、逆向思維能力培養之可行與必行

（一）學情分析

初中生無論在生理上還是心理上都已經具備了接受更高難度知識的能力.初中生的各項生理機能已基本發育成熟，且腦部“邊緣系統”在此階段也最為活躍，具有極高的可塑性.在實際的教學過程中，教師會發現單純教授學生基礎知識是遠遠不夠的，更重要的在于利用科學的方法將理論與實踐、知識與題目融合起來，如此才能應對日趨靈活的數學知識運用.因此，逆向思維能力的培養便尤為重要.于學生而言，形成逆向思維不僅意味著以往的學習方法得到了更新和優化，而且有助于開發腦部智力，拓寬創新思路，從而進一步鞏固強化所學知識.一方面，學生遇到高難度問題時不再局限于一種解題思路，能夠發現解決問題的突破口，進行反向推理，找到全新且有效的解題模式，大大提升學習效率.另一方面，學生在初步掌握數學公式及定理時，也可以從反向推導的角度尋找定理與定理、公式與公式之間的某種邏輯聯系，強化自身記憶，為接下來的題目解答奠定扎實穩固的理論基礎.

（二）教情分析

事實上，學生的逆向思維能力培養并非在初中階段才備受關注.自義務教育伊始，大部分學生就已經掌握了“答案檢驗”這一能力，即在初步得到答案后從所得答案入手，逆向推導驗證題目，若雙向證明都成立，便可以驗證為正確答案，這是較為初級的逆向思維的運用.而隨著學齡段的提升，逆向思維的表現形式也發生了變化，初中數學教材中定理、公式內容占比較大，且大部分知識都帶有雙向性的特征，例如勾股定理及其逆定理，幾何分析題目中的“反證法”“反比例函數”等，都鮮明地體現出正向思維與逆向思維之間的相關性.由此可見，逆向思維運用在數學教學中有著悠久的根源，潛移默化地影響著不同階段學生的思維能力，為激發學生的創新能力創造條件.

從長遠來看，逆向思維在數學教學中的滲透只會日趨增多，顯示出培養學生逆向思維能力的必行性.初高中數學知識之間的顯著差別之一便是由抽象變得更加抽象，例如初中數學在函數知識方面主要介紹一些基本概念和運算，如簡單的一次函數、二次函數等.而高中數學教材中則包含了更多的函數內容，如冪函數、指數函數、對數函數等.這些函數在定義域、值域、單調性等方面有很大差異.顯而易見，高中知識深度和廣度都進一步提升，為應對這一變化，學生在初中階段就應及時打好思維基礎，熟練掌握運用逆向思維解決問題的方法，為迎接未來挑戰夯實基礎.

（三）課標分析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（簡稱“新課標”）中對于培養學生數學核心素養的要求有三點，即用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界.這三點緊緊圍繞著“現實世界”從眼光、思維、語言的角度闡明了新時代數學核心素養要求，而“思維”作為三者之一，建立起了不同數學對象之間、數學與現實世界之間的緊密聯系，起著上聯下達、溝通前后的重要作用.逆向思維雖然僅是眾多思維方式中的一類，但在推理和運算方面的應用與新課標對學生運算能力、推理能力所提出的要求相呼應，涵蓋范圍廣、應用頻率高，有助于教師在教學過程中的靈活運用，使其貫穿課堂始終，顯示出逆向思維能力培養的現實可行性.

三、培養學生逆向思維能力的策略

（一）反向推導理論，夯實知識基礎

初中數學涉及的計算與推理需要以豐富的理論知識作為基礎，正如幾何證明題的推導不僅要求學生具備邏輯、判斷、推理等各種能力，還需要熟練掌握有關幾何證明的理論知識.只有搭建起穩固的理論框架，學生才能夠靈活運用各類定理、公式解決實際問題.然而在實際學習過程中，學生又往往難以找到扎實記憶理論知識的方法，記錯、記混、遺忘等各類問題層出不窮.究其根本便在于學生常常死記硬背數學定理與公式，很難維持長久記憶，且學生對理論的理解也僅僅停留于表層，未能摸清理論的推導過程，因此出現了基礎不扎實問題.對此，教師可以采用反向推理的方式向學生展示相關定理與公式的推導過程，引導學生摸清理論背后的邏輯和規律，并將其融入具體的題目當中，多做多練，不斷加深記憶.

以“圓的切線性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑”的證明為例.教師可以用反證法對這一定理進行證明，啟迪學生學習方法，夯實記憶.具體來說，一條直線l是圓O的切線且切點為A，假設直線l不垂直于OA.若過點O作OM垂直l于點M，則OM等于半徑.因為垂線段最短，所以OA的長度大于OM，即半徑大于半徑，矛盾，由此可得這一假設并不成立，故直線l與OA垂直，“圓的切線垂直于過切點的半徑”得證.

（二）突破常規思維，創新題解思路

又如下題：

在△ABC中，∠B=45°，D為BC上一點，DC=2BD，且∠ADC=60°，求∠C的度數.

首先教師應先根據已知條件畫出較為精確的草圖（如右圖），將文字轉化為直觀的幾何圖形，并把能夠直接推導出來的角度、邊長等信息添加到圖形中，比如根據“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”可得出∠BAD=15°.但在準備工作完成后便會發現以現有的已知條件很難直接推導出∠C的度數.在正向思維受阻的情況下，教師可以啟發學生轉換思路自己創造條件，利用已知推未知，即過C點作輔助線CE⊥AD于點E，如此便得到了∠DCE=30°.由于新構建出來的△CDE是一個直角三角形，且三個內角的度數分別為90°，60°，30°，所以這一直角三角形的三邊比例為1∶3∶2，即DC=2DE，又因為已知DC=2BD，所以BD=DE，此時連接BE，就構建出了一個等腰三角形BDE，由此得出∠EBD=∠BED=30°，所以∠ABE=15°，再加上之前推算出的∠BAD=15°就可以發現△ABE同樣是一個等腰三角形，所以BE=AE.又因為∠EBC=∠ECB=30°，所以△BEC也是等腰三角形，且BE=EC，綜合起來便可得知BE=EC=AE，△AEC是等腰三角形，所以∠EAC=∠ACE=45°，則∠ACB=30°+45°=75°.

（三）設置開放性問題，打破思維桎梏

數學知識源于現實生活，并以解決實際問題為最終目標，體現在教學之中便產生了開放性較強的數學應用類題目.所謂的“開放性”并非一定沒有準確、唯一的答案，而是解決同一問題的思路可以多種多樣，這就為開拓學生思維提供了良好的機會.因此，為更高效地培養學生的逆向思維能力，教師可以從開放性問題著手，引導學生探索不同的解題思路，打破思維桎梏.

以“解一元一次方程”為例：某公司連續三年一共購買28臺打印機，第二年購買打印機的數量是第一年的2倍，第三年購買的數量又是第二年的2倍，則該公司第一年購買的打印機數量是多少？

結 語

綜上所述，逆向思維能力的培養為學生核心素養的提升提供了更多可能.學生在掌握逆向思考方法后不僅能使思維更加靈動，設想更多解題的可能性，還可以利用它快速檢驗自己所得結論的正確與否，養成檢查的良好做題習慣.于教師而言，合理選擇教學方法，在教學過程中靈活融入逆向思維能力培養，為學生示范解題思路有助于改善學生的思維習慣、提升其創新能力.因此，無論是課堂教學還是家庭作業，教師都應為逆向推理訓練留有一席之地，在潛移默化中培養學生的創新思維能力.

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