基于思維進階的小學數學習題設計與開發策略研究

徐慧琴

【摘要】數學習題具有漸進性、實用性特點，開展習題設計與開發，有利于學生通過解題牢固掌握數學知識、技能.習題設計與開發是小學數學教師的重要教學工作，能培養學生的數學思維能力和應用能力.文章結合實際習題案例，總結了基于思維進階的習題設計與開發策略，旨在為教師的習題研究提供思路，促進學生思維與解題能力的發展.

【關鍵詞】小學數學；思維進階；習題設計；教學策略

習題設計與開發，能滿足學生在不同階段的數學學習需求，對于學生的思維進階大有裨益.高質量的習題能激發興趣、開發智力、拓展思維.當前習題設計中存在機械性、重復性問題，不利于提升學生的思維品質.教師需要改變墨守成規式的習題設計思路，運用科學方法開發習題資源，推動學生思維進階，同時樹立全新的習題觀、學生觀，敢于打破常規，設計指向思維進階的數學習題，培養學生良好的思維能力.

一、“一題”至“多題”———在習題變化中提升學生思維靈活性

靈活多變的思維，是學生創新發展的基礎.在習題設計中，教師應關注學生的創新思維發展，利用“一題”至“多題”的過渡，讓學生在解題中融入個人的思考與理解.教師可以鼓勵學生創造性地解題，探究解決同一問題的多種方法，使其能在解決習題過程中，提升自己思維的靈活性.

以“長方體和正方體”一課為例，教師應挖掘教材習題中的隱性知識結構，立足創新思維的培養，設計多樣性習題.在習題設計中，教師應聚焦對學生的觀察、比較、分析等能力的培養，尋找思維聚力點，利用習題提升學生思維的靈活性，讓學生深刻理解知識，使其思維向縱深發展.

【習題設計】

例1 已知正方體（如圖1）可以被平均分成兩個同樣的長方體，若正方體的棱長為6厘米，那么兩個長方體的表面積之和比正方體增加了多少？

設計分析 參考圖例可知，兩個被分割出來的長方體表面積之和比正方體表面積有所增加，所增加的恰好為正方體兩個面的面積之和.通過解題，學生可以初步建立有關知識的表象，理清相關概念關系.教師可以在例1的基礎上進行創新.

例2 將一個正方體平均分，得到兩個表面積相同的長方體，已知一個長方體的表面積為144平方厘米，請求出正方體的表面積.

設計分析 在“例1”的基礎上，教師將問題條件順序進行置換，改變問法，可以引導學生從不同的角度進行思考、分析.學生聚焦“兩個長方體的表面積之和”，能比較正方體表面積與兩個長方體表面積之和，從多個角度分析問題條件，運用所學公式進行求解，懂得運用不同的方法進行解題.

解題過程 （第一種方法）144÷（1×2+0.5×4）=36（平方厘米），36×6=216（平方厘米）.

（第二種方法）2×144÷（6+2）=36（平方厘米），36×6=216（平方厘米）.

在創新例1的基礎上，學生能從不同的角度思考，對兩道題進行求解.由“一題”至“多題”的演變，使學生能感受到數學學習的整體性，進而在原有數學知識的生長點上，依托長方體和正方體表面積公式進行求解.結合題意可知，長方體表面積是原正方體4個面的面積之和.“例2”在“例1”的基礎上進行了延伸，另辟蹊徑，充分、巧妙地轉化了矛盾點，讓學生能感受同一問題的不同問法.教師巧妙利用多道習題刷新學生對同一題型的認知，使他們能在問題條件的縱向比較中，整體理解“兩個長方體表面積之和”與“正方體表面積”的關系，在積累審題經驗的同時，感知幾何信息的表象，全方位運用所學概念分析解題思路.“多題”習題設計凸顯了教師培養學生創新思維的理念，能讓學生在思考中產生新的解題思路，提升學生的思維靈活性，助力學生思維進階.

二、“新題”至“舊題”———新舊關聯中提升學生思維的系統性

全新的習題能給學生帶來耳目一新之感，激發他們的解題興趣，使其獲得內部學習動機.基于思維進階的習題設計與開發，需要立足學生的系統化思維發展，即對舊的習題進行改編，鏈接學生已經學過的數學知識，從知識系統化的角度入手，編創習題，以實現“新題”至“舊題”的過渡.在解決“新題”時，學生能精確、綜合分析，認識和理解所學數學重難點知識，在原有知識框架中，進一步完善數學知識體系.

以“圓”一課為例，教師可以引導學生運用所學知識解決問題，在習題設計中，將學生學習過的知識與新知識建立起聯系，讓學生在解題過程中強化代數推理、幾何想象能力.

【習題設計】

例3 如圖2，圓的中間有一個正方形，正方形的面積是10平方厘米，請求出圓的面積.

設計分析 此題可以先求圓半徑的平方，再計算圓的面積.在解題過程中，學生通過用字母代替半徑，回憶學習過的正方形面積知識，初步嘗試用字母解決問題，運用學過的知識尋找有助于解題的條件，推動新舊知識的遷移.

部分學生對“用字母表示數字”的理解流于表面，在后續的圓的知識學習中，難以合理運用.針對這種情況，教師可以對習題進行創新，基于真實學情，在原有習題基礎上進行變化，將新舊數學知識聯系起來，啟迪學生的系統思維.

例4 以正方形的邊長為半徑畫一個圓（如圖3），請用數方格的方法，計算出圓的面積（每一小格的面積為1平方厘米）.

設計分析 通過“例4”與“例3”的比較可知，學生能在解題中理解圓的面積為圓半徑平方的3倍多，即正方形面積的π倍就是圓的面積.本題設計遵循學生的新知識學習規律，將舊知識（數方格的方法）融入問題條件中，讓學生能由表及里地分析問題條件，探索此類問題的解決方法.小正方形的邊長就是圓的半徑，圓的面積就是正方形面積的π倍.學生能由這一表象關聯到一類問題中，從而獲得解決問題的思路.

從“舊題”至“新題”的過渡，能讓學生構建數學模型，先求出小正方形的面積，再根據數學模型，求解圓的面積.在此基礎上，教師可以基于學生的思考，設計新題，引導學生進行深入研究，使其能探究數學知識本源，建立適配的數學模型，在解題中加深學習體會和感悟，提升思維的系統性.

三、“單題”至“題組”———在對比理解中提升學生思維的深刻性

學生的數學解題是由單一至具體，由直觀到抽象的過程.教師應認識到學生思維在解題中的變化，利用“單題”至“題組”的過渡，讓學生形成關于數學知識的深刻認知.在設計和開發習題時，教師有必要以課堂為載體，借助習題的延伸，促進學生理解知識內涵，使其思維深刻性得到提升.

以“分數除法”一課為例，教師可以通過習題訓練，推動學生思維進階，利用合理的習題“量變”促成思維進階的“質變”，在“借題變題”中，助力學生思維進階.

“分數除法”一課是在學生學會一個數除以整數的基礎上進行的，相關習題的設計與開發順應學生的認知發展規律，能讓學生從一個數除以整數的計算方法，逐步遷移到一個數除以分數的方法中.教師根據同一例題設計延伸問題，不僅能讓學生參考之前解題的思維結果，還能創設開放度較高的課堂探究環境，讓學生保持積極的思維狀態和寬松的學習探究氣氛，進而在解題中提升思維的深刻性.

四、“方法”至“能力”———變式訓練中提升學生思維綜合性

學習方法的掌握會推動學生的思維進階，從而提升其解決問題的能力.習題設計與開發可以從變式訓練入手，以體現學生對知識的反思，逐步實現解題“方法”至“能力”的過渡目標，豐富課堂教學內容，提升學生思維綜合性.

以“解決問題的策略”一課為例，本課重視引導學生運用轉化思想方法解決問題.教師可以設計與實際生活有關的習題，通過變式訓練，引導學生體驗轉化的方法及應用，豐富課堂教學內容，推動學生思維進階.

【習題設計】

例6 已知一袋大米重75千克，一袋面粉重25千克，現有一輛載重為5噸的輕型卡車，已經裝了40袋大米，還能裝多少袋面粉？

習題分析 從條件入手分析，可知根據已裝的大米袋數和每袋大米的重量，能算出車上大米的總重量，利用車的載重量減去車上大米的總重量，再除以每袋面粉的重量，問題便迎刃而解.

為了提升學生思維的綜合性，教師可以從學生的生活出發，設計與“例6”相關的變式問題，加大對學生思維引領的力度，通過習題幫助學生實現由解題“方法”至“能力”的過渡目標.

例7 已知有兩套不同的運動服，價格分別是130元、148元，有兩頂不同的帽子，價格分別是16元、24元，有兩雙不同的運動鞋，價格分別是85元、108元.現有300元預算，想購買一套運動服、一頂帽子和一雙運動鞋，預算夠嗎？最省錢的方案是什么？能剩下多少元？

習題分析 在變式訓練中，這道題能讓學生參考大量的已知條件，從中分析隱性條件.如果從條件出發向問題推理，不利于高效解題.所求問題是推理切入口，學生應該明確所求問題中蘊含的數量關系“剩下的錢=付出的錢-物品的總價”.確認條件后，根據“最省錢”這個詞展開思考，便能提取已有經驗，正確解題.

為了凸顯變式訓練從問題出發的特點，教師可以引導學生回顧解決問題的過程，緊緊抓住從問題向條件推理的解題思路特點，為學生提供其他的變式訓練習題，從而做到“趁熱打鐵”，鞏固學生對解題方法的理解，使其能掌握解決同類型習題的技巧，提升自己的解題能力.

結 語

綜上所述，教師優化習題設計，開發多樣化習題資源，能鞏固和加深學生對重難點數學知識的理解，提高其思維能力與應用能力.教師以當前學生的思維狀況為參考，聚焦思維進階設計、開發習題，能提高習題資源與教學內容、學生學習需求的適配性，讓學生在運用數學知識解決實際問題時，積累解題經驗，取得學習進步.在今后的習題設計與開發中，教師應運用富有啟發性的習題，激起學生的解題興趣，將他們的思維引向深處，逐步運用習題推動學生的思維進階發展.

【參考文獻】

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