指向學生思維進階的小學數學習題設計策略

楊宏偉　趙國防

【摘 要】習題是訓練學生思維的重要載體。在數學教學中，教師可以在尊重習題原創并融合個人思考的基礎上，靈活巧妙地設計習題，從而促進學生在問題解決過程中更好地培養思維的靈活性、系統性、深刻性，實現思維進階。

【關鍵詞】小學數學；思維進階；習題設計；靈活性；系統性；深刻性

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）14-0045-05

【作者簡介】1.楊宏偉，江蘇省無錫連元街小學（江蘇無錫，214000）教導處副主任，一級教師，無錫市教學新秀；2.趙國防，江蘇省無錫通德橋實驗小學（江蘇無錫，214000）校長，正高級教師，江蘇省數學特級教師。

蘇聯教育家斯托利亞爾說：“數學教學說到底是數學思維的教學?！蹦暇┐髮W鄭毓信教授指出：數學教學必須超越具體知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與學生思維品質的提升，幫助學生通過數學學會思維，提升思維的綜合性與靈活性、自覺性與創造性、嚴謹性與深刻性等。作為訓練學生思維的重要載體，習題的價值不言而喻。在數學教學中，教師應注意巧妙設計習題，使其更好地體現知識的本質，促進學生在問題解決過程中更好地培養思維的靈活性、系統性、深刻性，實現思維進階。

一、從“一題”到“多題”：在巧妙變化中培養學生思維的靈活性

靈活多變不僅僅是對習題的基本要求，也是訓練學生思維的一種重要方式。教材中呈現的例題與習題由于側重知識的應用與實踐，常常比較簡約。在教學中，教師可以在尊重教材原創的基礎上，融入個人的思考與理解，創造性地將“一題”轉化為“多題”，引導學生站在聯系的角度感受知識的整體性與連貫性，挖掘其隱性的知識結構，培養學生的觀察、比較、分析等數學學習能力，提升他們思維的聚力點，培養他們思維的靈活性，促進其思維向縱深發展。

如教學蘇教版六上“長方體和正方體的表面積”時，有這樣一道習題：一個棱長6厘米的正方體，它的表面積是多少平方厘米？教師引導學生解答并評析后，依據知識特點和學情依次呈現下面兩個問題：（1）把一個棱長6厘米的正方體平均分成兩個一樣的長方體，（如圖1）這兩個長方體的表面積之和比原來增加了多少平方厘米？借助圖例，讓學生初步感知：這兩個長方體的表面積之和比原來增加了正方體2個面的面積，初步建立知識表象，理清基本概念。（2）把一個正方體平均分成兩個一樣的長方體，其中一個長方體的表面積是144平方厘米，原來正方體的表面積是多少平方厘米？基于概念，用已有知識進行解答，引導學生從不同角度加以分析、思考，再次聚焦“分成的兩個長方體的表面積之和比原來的正方體多出其2個面的面積”這一基本概念，促進他們感受數學學習的整體性。教師收到作業1（如圖2）和作業2（如圖3）。毫無疑問，兩種解題方法都合情合理。蘇聯教育家烏申斯基強調：比較是一切思維和理解的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。學生比較后會發現：作業1注重知識的生長點，依托原有經驗進行常規性的解答，其中一個長方體的表面積其實就是原來正方體4個面的面積之和；作業2注重知識的延伸點，另辟思維路徑，充分、巧妙地轉化關鍵點。

教師巧妙地一題多用，不斷挑戰與刷新學生的原有認知。一方面，通過“這兩個長方體的表面積之和比原來增加了多少平方厘米？”縱向比較，促進學生整體理解這兩個長方體的表面積之和比原來增加的其實就是原來正方體2個面的面積，積累初步的活動經驗，感知概念的表象；另一方面，通過“其中一個長方體的表面積是144平方厘米，求原來正方體的表面積”橫向比較，促進學生全方位運用概念，體會到兩個長方體的表面積之和其實就是原來正方體的表面積加上新增的2個面的面積，即正方體8個面的面積之和。促進學生在辨析、思考、對話、交流的過程中，不斷碰撞出思維的火花，產生新思路、新方法，逐步形成對數學概念的全方位理解。圍繞“一題”設計“多題”，充分打開了學生的思維，在一定程度上培養他們思維的靈活性。

二、從“新題”到“舊題”：在新舊關聯中培養學生思維的系統性

深度學習的一個重要特征就是系統化思維，訓練系統化思維也是促進兒童思維發展的一條重要路徑。在習題設計中，教師要巧妙而及時地鏈接之前的學習，從知識系統化的角度出發，實現從“新題”到“舊題”的理性回歸，引導學生更加精確、綜合、深入地認識和理解數學，為培養其思維的系統性提供來自知識本身的結構化支撐。

例如，蘇教版五下“圓”單元的“整理與練習”中有如圖4所示的一道思考題，要求學生綜合運用本單元所學的知識解決問題?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）強調：在小學階段要加強字母式運算，加強代數推理。因此，在解決問題的過程中，教師引導學生借助字母r來表示圓的半徑，先求出r2，再計算圓的面積，（如圖5）整個分析過程看似平淡無奇，卻動態呈現了知識的本質，促使學生初步嘗試用字母表示來解決問題，滲透了轉化等數學思想方法，有效推動學生從知識的表層走向知識的內涵，促進了他們的思維進階。然而，對于“用字母表示”這一解決問題的方法，學生很多都只是瞬時記憶，后續難以真正“用起來”?；谡鎸崒W情，教師需要找到更有效、更直接的方法，既能推動學生串聯知識，促進數學方法的遷移，又能使得數學知識與學生思維訓練之間有效聯結?！皥A”單元就有如圖6所示的這樣一道例題。

在實際教學中，教師要注意引導學生通過操作及問題間的比較，初步感知圓的面積是它半徑平方的3倍多一些，即圓面積是正方形面積的π倍。這一題設是基于學生循序漸進的思考過程而形成的，但這僅僅局限于題設表面，我們需要掌握知識的本質，由“表”及“里”，有結構地呈現此類問題的基本數學模型，引導學生深刻理解分析與解決此類問題的方法。

鄭毓信教授強調，數學教學不應“求全”，而要“求聯”。在上述例題中，當小正方形的邊長等于圓的半徑，圓面積是正方形面積的π倍，由這一表象關聯到一類問題，就能換一種思路來解答了。新課標強調：要讓學生積累數學活動經驗，形成模型意識，構建普適的數學模型，分析和解決問題。這樣學生很快就能發現，可以先求小正方形的面積，再根據數學模型求出圓的面積是5π。（如圖7）

借助習題，巧妙鏈接之前的例題，這時新舊知識完全打通，學生的思維得到了有效遷移，培養了他們思維的系統性?；谝陨纤伎?，筆者設計了兩道新題，以例題為基礎引導學生進行深度研究，探究知識的本源，建立適配的數學模型，旨在推動學生深刻體會和感悟數學，提高其分析與解決問題的能力。

（1）三角形的面積是5，圓的面積是多少？（如圖8）

（2）圓的面積是62.8，陰影部分的面積是多少？（如下頁圖9）

上述教學中，借助一道例題巧妙連接舊題，并精心設計新題，徹底實現了由“新”到“舊”、由“舊”到“新”的思維體系。同時，以習題的呈現為明線，以思維的進階為暗線，明暗交織，共同指引學生的思維路徑走向“連續”，從而促進學生從多個角度建構清晰、完整的數學模型，形成有序的思考路徑，為其系統性思維的發展提供了拓展支撐?？傊?，通過“新”“舊”系統化的鏈接，在關聯與創新中切實培養了學生思維的系統性。

三、從“單題”到“題組”：在對比理解中培養學生思維的深刻性

學生學習數學的過程其實是一種深刻理解的過程。為了促進學生形成清晰的認知，教師教學時要注意借助必要、及時的對比，切實培養其思維的深刻性。我們要以課堂為載體，借“題”變“題”，延展習題外延，促進學生理解習題內涵，凸顯其思維能力的培養。同時，要通過巧妙的習題訓練，引導學生從“理解”走向“深思”，從“對比”走向“深刻”，明晰探究思路，優化思維進階路徑，推動其思維輕松進階。蘇教版六上“分數除法”單元呈現了如圖10所示的一道例題，注重基礎知識的生成，反映關鍵推導能力層面的設計?；诹曨}外延以及指向不同核心素養要素的目標的有機整合，筆者進行了借“題”變“題”。

4米長的彩帶，每2/3米剪一段，可以剪成多少段？

（1）在下圖中分一分，表示出結果。

（2）結合圖意，說說計算過程4÷2/3=4×3/2=4×3/2=6（段）中，4×3/2中的4×3表示（? ?），4×3/2中的3/2表示（? ?）。（把正確答案前的字母填在括號內）

A.4米里面包含12個2/3米；

B.4米里面包含12個1/3米；

C.4米里面包含12個1/2米；

D.每段長3/2米；

E.每米可以剪成3/2段；

F.一共可以剪成3/2段

（3）你能利用商不變的規律來說明4÷2/3=4×3/2嗎？請寫出推導過程。

這樣做，主要體現了以下三點思考：

一是夯實基礎，激活思維。上題中的題（1）讓學生在新的學習場域中理解數學知識，實則是理解數學。在課堂教學中，不少教師會采用數形結合的方式引導學生初步理解整數除以分數的方法，但學生往往只是機械記憶整數除以分數的計算方法，而忽略計算方法的形成過程?；诖?，上述題（1）從指向知識表面走向深度解析，精準把握“切入點”，助力學生順利實現深度理解。解題時，首先要請學生理解2/3米的含義，根據圖意，選擇1米的2/3作為切入點，細化單位，畫出示意圖（如圖11）；然后引導學生理解“圖”與“算”相結合，用“圖”驗證“算”，注重知識的形成過程，促進他們理解知識本質。

二是引發探究，延展思維。題（2）需厘清探究思路，深入知識本質，聚焦每一個環節所指向的問題。題（2）中的第一問要求學生結合圖意進一步理解算理，構建新的學習主體環節。圖中的4米可以分成4個1米，其中的每一小段表示1米的1/3，即1/3米，1米里有3小段，4米里就有4×3=12（段），所以4×3表示4米里面包含12個1/3米。第二問凸顯“會想”，要求學生明晰思維路徑，多角度探究其本質。4×3/2中的3/2表示什么呢？不妨換一個角度來思考，每段表示2/3米，即每米可以剪成3/2段，這樣4米就可以剪成4×3/2=6（段）?；趯W科本質，通過相互關聯的兩道題，聚焦知識外延，關注問題驅動下的深度理解，指導學生開展真實有效的問題探究，搭建學習“支架”——數形結合，促進其順利實現“會算”和“明理”的雙重發展。

三是問題解決，思維進階。題（3）深入挖掘教材，注重追溯知識的本質內核，把學生的視域從“知識點”拓展到“系統網”。在此過程中，新舊知識不斷碰撞、驗證、運用與重構，引發學生的思維在對比理解中不斷走向深刻。利用商不變的規律來說明4÷2/3=4×3/2，此題的重點在于驗證，并追溯商不變的規律。一方面實現“會用”，聚焦一個知識點或核心概念來解決說明新問題，使學生經歷知識發生、發展的完整過程，通過關聯新舊知識，使他們初步體會知識的一致性，實現知識進階；另一方面強調“活用”，在理清知識脈絡的同時，內化學生的認知與探究，多角度引發他們深度思考，使其形成清晰、穩定、可遷移的學科知識框架，促進其素養提升。

綜上所述，教師在進行習題設計時，要注意指向學生的思維進階，要在尊重教材完整體系的基礎上融入個人思考，實現創造性改編、創新性設計，從而引發學生深度思維，促進其核心素養全面提升。