聚集常態課堂 發展數學思維

黃雯

［摘 ?要］ 在新課程標準背景下，小學生數學核心素養的培養已經成為當前數學學科教學的根本方向，而學生思維能力的培養則是發展學生數學核心素養的重中之重。教師多樣化的教學模式、合理的教學設計就是幫助學生在數學課堂中發展數學思維能力的有效方式之一。文章以“三角形面積計算公式的推導”為例，立足課堂設計細節，淺談提升學生課堂思維能力的策略。

［關鍵詞］ 思維能力；教學設計；三角形的面積

一、數學思維的表現及培養現狀

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出：在義務教育階段，數學思維的主要表現為運算能力、推理意識或推理能力。通過數學思維可幫助學生掌握概念本質、構建知識結構、推理相關結論、建立問題模型等，幫助學生在學習數學知識的過程中凝練思考方法、提升個人能力。自全國各地大力實施課程改革以來，大部分一線教師更注重把課堂交還給學生，然而新時代背景下學生的學情是在不斷發展變化的，如何更加高效地從“教師陣地”轉變到“學生陣地”，在一節數學課中令各個思維層次的學生都能有所收獲，充分經歷知識形成的過程，需要教師腳踏實地地在實踐教學中不斷摸索前進，讓每一節數學課都成為為學生的思維發展而量身打造的階梯。

二、培養學生數學思維的重要性

1. 激發學生的學習興趣

教育心理學家皮亞杰說：“所有智力方面的工作都要依賴于興趣?！迸c此同時，筆者認為有效的思維過程恰恰是激發學習興趣的催化劑。研究表明，完成既定目標帶來的成就感會使大腦持續更長時間的興奮，影響力也更大。在研究數學知識時學生不僅需要調動已有的知識學習經驗，還需要在此基礎上進行“再創造”，完成知識和方法的二次延伸，進而解決新的問題。學生在這樣有效的思維過程中厘清知識脈絡，表達方法過程，建立數學模型，獲得解決新問題、掌握新方法的成就感，會反過來激發其對數學的學習熱情。

2. 積累學生的學習經驗

現代課程改革的理念是以學生的發展為本，因此除了強調基礎知識和基本技能，還希望學生能夠感悟數學的基本思想，逐漸積累數學活動，特別是思維活動的經驗［１］。特定的數學知識在各個學段中并不是獨立存在的一個點，而是存在于完整的知識結構體中，學生在一節數學課堂上參與的思維活動，能夠幫助其積累學習活動的經驗，提煉獲取知識的方法，在接下來的知識學習中舉一反三。學生積累的學習經驗，對其數學學習有著深遠影響。除此之外，學生在思維發展過程中所積累的運算、推理等數學能力，養成的合乎邏輯的數學思維品質，也將在其他學科中發揮重要作用，推動其全面發展。

3. 發展學生的核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中將數學核心素養由10個增加為11個，各大素養分別對應數學眼光、數學思維、數學語言。其中的“運算能力”和“推理意識”兩大素養正是學生會用數學的思維思考現實世界的發展重點。理解算理、掌握算法，選擇合理、準確的運算策略解決問題，從已有的事例出發尋找事物間的內在規律，運用類比、歸納的方法進行合情推理以使學生能分析、解決現實中的數學問題，都是在幫助學生形成有理有據、依理而行的理性精神。王憲昌教授曾在書中提到數學思維可以使人在處理問題時迅速抓住事物的本質，從而找到解決問題的辦法，還可以使人們形成良好的思維習慣，增加人們在處理問題時的能力［２］。數學思維的培養幫助學生獲得適應未來生活和進一步發展所必須的關鍵能力，體現數學課程的育人價值，是發展學生核心素養的最終目標。

三、課堂中培養學生數學思維的策略

以上，無論是從國家在數學教育導向的大格局出發，還是從學生終身學習的角度考慮，對學生數學思維的培養都應該是教書育人的重中之重。

培養學生的數學思維，不僅需要教師在課堂實踐中有豐富的教學經驗，面對學生的課堂生成隨機應變，還需要教師在掌握學情、精讀教材后進行更加貼合學生思維基礎、更加順應學生思維發展的教學設計。唯有雙管齊下，教師才能做好課堂中的“掌舵人”。本文以人教版五年級上冊“三角形的面積”的教學設計為例談談如何培養學生的推理意識和運算能力，發展學生的數學思維。具體策略如下：

1. 精析關鍵問題，指明思維方向

奧蘇貝爾的有意義學習理論中提到，發生有意義的學習的三大主觀條件之一是學習者的認知結構中必須具有能夠同化新知識的適當的認知結構。而在正式學習三角形面積之前，學生已經充分掌握了平行四邊形面積的推導過程，明晰平行四邊形面積與底邊和此底邊對應的高有關，這是所有學生學習這節課的知識方法基礎。除此之外，根據學情將學生大致分為三類：

（1）掌握三角形的面積計算公式但不清楚推導過程的學生；

（2）了解到三角形面積與其底和高有關但不清楚具體關系的學生；

（3）對三角形面積完全沒有前期思考的學生。

根據所呈現的三種不同的認知結構基礎的學情，為保證學生在實踐之前有充分的思考，用思維成果指引實踐操作，筆者設計了如下問題：

（1）三角形面積的大小和什么有關？

（2）三角形面積大小是否與底和高有關？（幾何畫板實時拖動演示，學生直觀感受并驗證）

（3）三角形面積與底和高究竟有怎樣的關系？

（4）如何開展對三角形面積計算公式的探索？

四個問題環環相扣，教師完全尊重各類學情的學生在舊知和生活中對三角形面積計算的已有基礎，先詢問學生影響三角形面積大小的關鍵因素，由此引發三類學生的思考；再借助先進信息技術手段直觀演示三角形的高不斷拉長或底不斷縮短對三角形面積造成的影響（如圖1），驗證第2類和第3類學生猜想的同時，引導所有學生將思維聚焦在三角形的底和高上；最后激發所有學生思考探索三角形面積的方法，與已掌握的平行四邊形面積的研究方法接軌，從簡單的知識關聯學習中重點提煉數學思想方法——“轉化”。分層設計的問題為不同學情的學生保留了可貴的思考空間，讓不同思維水平的學生在對三角形面積的觀察、比較、思考中都能得到發展。

2. 精準學材設計，把握思維梯度

多樣化學具的設計供擁有不同原始經驗的學生選擇，為不同層次的學生搭建思維階梯。人教版教材中，三角形面積的推導主要是通過將兩個完全一樣的三角形倍拼成平行四邊形來完成的。課堂上教師直接提供兩個完全一樣的三角形學具暗示過于明顯，也過于簡單，大大局限了學生的思維。但如果直接棄而不用，難度較高的割補法也會使一部分學生無法“消化”。于是，為各個思維層次學生考慮，為推導三角形面積方法多樣化搭橋鋪路，筆者分別給不同小組準備了以下幾類學具：

（2個全等直角三角形和1個普通銳角三角形）

（2個全等銳角三角形和1個直角三角形）

（2個全等鈍角三角形和1個銳角三角形）

（1個大等腰三角形和1個小等腰三角形）

每組學生均配備了一把安全剪刀。

每個小組的學具各有不同，如何選擇學具進而確定研究方法需要小組成員共同開動腦筋，旨在啟發學生對手中的學具進行觀察、比較、嘗試。在這個過程中思維難度較小的倍拼法和思維難度較大的割補法均有可能出現。而為了打破學生或許存在的“倍拼法”的固化思維，筆者特意設計第4組大小不一的兩個等腰三角形。在研究過程中學生既可以把大三角形剪成小三角形用倍拼法完成，又可以利用其中一個等腰三角形進行較簡單的沿底邊的高剪開的割補法。

這樣的學材設計既貼近學生的學情，又給予學生充分的自主探索機會。教師徹底放手，通過學生自己生成的思維成果主導課堂、推動課堂。

3. 精設匯報過程，引領思維碰撞

學生展開互動交流，并相互點撥與相互幫助，進而建構系統的知識網絡，逐步發展思維的系統性。本節課中，筆者精心設計匯報過程，層層推進，將思維碰撞出的火花聚焦成關鍵問題，引領學生進行一場“燒腦”大作戰。

在匯報方式上，由學生主動匯報本小組研究的三角形類型及研究方法和結果，包括對三角形的具體操作（剪或拼）和對三角形面積計算公式的推導。在匯報過程中，有疑問的學生可以提出問題，由匯報小組成員解答。

在匯報順序上，由于倍拼法較為簡單，貼合大部分學生的思維水平，筆者有意將不同類型三角形倍拼法的推導過程安排在匯報前期。這樣一方面能調動大部分學生思考不同類型三角形在進行倍拼法時的相同之處，加深理解倍拼法必須滿足“兩個完全一樣的三角形”的基礎條件，另一方面通過三種類型三角形面積的研究，能引導學生總結一般三角形的面積計算公式。讓思維難度更大的割補法匯報緊隨其后，在原有倍拼法的基礎上給學生呈現完全不同的推導方法，這樣的思維碰撞極大地激發了學生的數學興趣，進一步打開了學生的數學視野，很好地體現了數學的魅力。

在匯報結果上，筆者聚焦兩種不同推導方法所得出的相同公式的含義，引發學生展開討論，根據推導過程判斷相同公式中的“÷2”的含義是否一樣，說明理由。筆者讓學生在回顧牢記公式中的“÷2”的同時，通過比較思維明白知其然并知其所以然的重要性。

筆者合理設計匯報過程，關注匯報細節，讓學生進行思維交流，細細聆聽每一個聲音，抓住最有價值的思考內容，能促進全班學生高效思考，使課堂教學達到高潮。

4. 精選分層練習，完成思維拔節

練習是鞏固應用的主要形式，精心設計能拓展學生思維的廣度，讓學生從多角度、全方位對這個問題進行思考，在練習過程中發現數學的獨特魅力，具備更強的邏輯思維能力［３］。不同層次練習題的訓練目的有所不同，基礎類練習題幫助所有學生夯實本節課的基礎知識，在實際應用中將三角形面積的求解公式內化于心。拓展類練習題既可以幫助思維水平一般的學生開闊視野，又可以幫助學有余力的學生進一步研究?；A類練習題必不可少，拓展類練習題也是重中之重，是一節課的思維之光。筆者在“三角形的面積”一課中設計了如下拓展類練習題（如圖2）供學生研究思考：

問題1：觀察圖形，你發現了什么？

問題2：在方格紙最右邊畫出和三角形①面積相等的三角形，你能畫出多少個？

問題1旨在引導學生先獨立思考后與同桌討論，從三角形①②③中得出“等底等高三角形的面積相等”的結論；再結合三角形④⑤進而得出面積相等的三角形的底和高不一定相等，但是底和高的乘積一定相等，進而讓學生感受數學中的“變與不變”，感受千變萬化的數學。

問題2旨在引導學生運用等底等高的三角形面積相等這一結論動手操作，與四年級上冊內容“平行與垂直”知識相結合，進而發現這樣的三角形可以畫無數個。

這樣的拓展類練習題使得學生的思維水平邁上一個新的臺階，教會學生從基礎簡單的知識中找到新舊知識之間的聯系，讓不同思維層次的學生都獲得訓練，完成思維拔節。

思維能力的發展是終身的，在任何階段教育工作者都應該善于發掘學生的思維潛力，善于評估學生的思維水平，也應該竭力為學生的思維能力的發展做出努力。課堂教學是一線教師在日常教學中接觸最多的內容，恰恰由于日常，反而容易被忽視其重要的價值。然而，平凡的堅守往往能取得豐碩的成果。如果一線教師能夠在日常教學中加入對學生數學思維能力培養的思考，在每節課的教學設計和教學實踐中有所體現，那么每節數學課內含的思維的廣度和深度會潛移默化地使學生的數學眼光、數學思維和數學語言更上一個層次。

參考文獻：

［１］ 史寧中.基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題［Ｍ］. 北京：高等教育出版社，２０１３.

［２］ 王憲昌. 數學思維方法［Ｍ］. 北京：人民教育出版社，２０１０.

［３］ 張敏. 如何培養小學生的數學思維能力［Ｊ］. 數學學習與研究，２０１６（０４）：８０.