開展大單元教學 促進大概念發展

王靈勇 姜瀅

［摘 ?要］ 文章以2020年筆者和江山市教研室共同主持的省級教研課題“單元整體視角下小學數學研訓的實踐思考”為背景，分析了整體教學視域下小學數學“大單元”教學的意義，從深度教材、依托學情、改進過程、優化評價四個方面闡述了小學數學大單元教學的路徑，以整體促進學生“大概念”認知結構的生長。

［關鍵詞］ 整體教學；大單元教學；大概念

“大單元教學”是將數學知識結構類似的內容分模塊組合解讀，相對于自然單元更加體現整體性、系統化的大教學結構，促進知識序列化的遷移和生長；根據學生的認知特點，改進學習方式，適當調整、增減、拓展延伸相應的內容，體現合理性和實效性；課堂教學以多元表征整體推進，課堂生成更具有序列性、系統性；精準評價，確保單元整體教學教評一致，達成預期成效［１］。大概念既能體現數學單元領域中最關鍵、最核心的教學內容、數學思想，又能表現出較強的單元知識整體關聯性。建立大單元教學的思想，踐行“大概念”教學理念，有利于幫助學生編織起結構狀的思維方式，培養學生的結構思維；有利于教師用系統的思維整體規劃教學內容、把握教學目標，使課堂實現“1+X”精彩生成。

一、深研教材，尋找大單元教學的源頭

解讀教材時，梳理出核心數學概念，圍繞核心概念一級指標建構認知結構框架。根據知識的內在關聯性，將新知識細分為二級指標、三級指標等，融合到知識結構框架中，不斷細化、完善知識結構，形成網狀生長性知識域。在教學中可以有以下三種關聯。

1. 形式上的類比性關聯

小學數學平面圖形“面積計算”系列課在教學結構上很相似，需要根據知識形式化關聯建立大單元教學結構，從面積的意義出發，按長正方形的面積、平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積、圓面積順序安排教材。圖形面積計算教學，都基于“面積”意義的理解上升到數量的表征，都滲透了“轉化”“類比推理”的核心數學思想，都以猜想→推導→驗證→概括為教學主線，提升學生數學思維。放眼其他教學內容，用大單元教學的形式推而廣之，小學階段很多規律型的課都可以進行遷移運用，如體積的計算、積的變化規律、商不變的性質、分數的基本性質、比的性質等。教師要引導學生經歷歸納的全過程，獲得關于歸納推理的基本經驗，促進學生對規律性知識探究的結構化遷移。

像這樣，形式上結構化類比關聯，以“類”聚合的內容在小學數學教材中還有很多。低年級學習的“長度計量單位”，中高年級學習的“面積計量單位”“體積計量單位”，都體現了“度量”大概念核心教學思想，教學形式上都是基于“長度計量單位”教學模式作類比遷移。每一個內容都體現了以下結構模式：立標準，定單位→造單位，記個數→簡便數，構模型。教學時，教師要在長度計量單位的探究上精耕細作，繼而推廣到面積計量單位、體積計量單位教學。類似的教學模式結構是明線，以大概念統整，基于學生思維邏輯為依據架構共性教學路徑是核心主線。

2. 內容上的本質性關聯

以小學階段數的概念教學為例，學生掌握數的概念的本質，包含了三個層面：不僅指向教學內容，明確“是什么”，單純教學定義，停留在模仿、記憶層次；還要指向知識之間的內在聯系，突出本質關聯，思考“為什么”，理解關系；還有后續生長的過程“怎么樣”，建構概念域。

小學階段數的概念的教學主要包括整數、小數和分數。在體會數（shù）源起于數（shǔ）的共性中凸顯以計數單位數數的思想，理解數的產生是因需要不斷擴展而來，從而類比遷移序列化內容教學的共同之處。例如小數意義的教學，以分數和整數為核心建立廣泛的聯結，利用數軸充分溝通分數與整數、小數之間的聯系。數軸上猜數5，將“10”平均分成10份，每份是1，5個1就是5；數軸上猜數0.5，將“1”平均分成10份，每份是0.1，5個0.1就是0.5。為什么都是平均分成10份，得到的5份卻是不同的數呢？因為計數單位不同。在這個過程中教師要引導學生逐步感悟，小數計數單位是按照十進制不斷均分得到的。用0.1為計數單位進行數數時，出現0.5和0.6之間無法用一位小數精確表示的小數，能激發學生探究比0.1更小的計數單位，從而產生用兩位小數進行精確度量的需求，理解并結構遷移到三位、四位、五位小數等?；仡櫿麛涤嫈档摹耙欢?，十而百，百而千，千而萬”，對比小數相鄰計數單位之間的關系，可利用十進制遷移小數數系與自然數數系的關系。在建構小數數系的同時，將其自然納入以十進制為核心概念的數系知識結構體系中，與自然數系共同形成更大的具有內在邏輯聯系的知識整體結構（圖1）。

3. 認知上的遞進性關聯

無論是整數、分數還是小數教學，用計數單位進行疊加計數，都是數概念教學的重點。整數概念教學分四個階段呈遞進性關聯，如圖2。

20以內數的認識，重在一一數數、計數，用小棒、動物、植物、圖形等具體、形象的物品作為重要的學習材料；認識百以內的數時，借用具體、半形象的材料數數，如帶文字敘述結構化的立體圖形、小棒、蘋果、小動物，但不再只是可視化的直觀具體材料，抽象水平有所提升；教學萬以內更大數的認識時，已經使用了數軸、計數器、數位順序表、文字表示等模型、半抽象的結構化材料來讀數、數數；在教學億以內的大數時，已完全抽象為用文字描述、數位順序表、抽象符號（數字）進行數的讀寫。

二、依托學情，把握大單元教學的契機

數學具有高度的抽象性、嚴謹的邏輯性。早期的運算需要強化成直覺記憶，如20以內進位加和退位減、表內乘除法、乘加口算等。從理解算理、算法選擇入手，最終達到熟練化和自動化，從文本記憶走向工具運用。教師基于大單元教學理念，遵循學生的認知水平，精練學習內容，彌補認知不足，讓教學更高效。

1. 以少勝多，對應難點作精簡剔除

如20以內退位減法，共36題，是后續學習其他加減法的基本技能之一。根據學生學習的重難點進行精心剔除，可以實現教學事半功倍。利用減數和差位置交換的先剔除16題，精簡到20題；再剔除有特點的熟悉的1□-9，精簡到12題；減數等于差（如16-8=8）比較特殊，對于學生來說也相對簡單，如果進一步進行精簡剔除，最后重點剩9題（圖3）。通過精練提高口算效率，提升運算技能，可以減輕師生負擔。

作為高水平的教師，應針對學生學習中的困難節點做好提前防護，防患于未然。在學習了多位數筆算乘（除）法后，教師就會發現學生雖然掌握了算理算法，但錯誤率卻居高不下。其實，任何筆算的計算過程都可以分解成乘加口算。例如計算359×37，其中就有5×7+6的進位心算過程，口算“□×□+□”是筆算乘除法的基礎。但不能等到教了筆算乘除法了再練口算，要提前在二年級教完乘加后，再開始針對難點和易錯點訓練乘加口算。以“5×7+□”為例，共有9個算式，但因為乘數是7，后一位最大乘9也只有進6，所以多位數乘法涉及的乘加算式就只有6種可能。在這6種可能中，可以分成兩類：第一類不進位（5×7+1，5×7+2，5×7+3，5×7+4）；第二類進位（5×7+5，5×7+6）。顯而易見，“5×7+□”的乘加口算根據后續學習的是否常用，以及是否進位的難易度從9題精簡到2題。推而廣之，“□×7+□”包含的81題可以精簡到需要重點練習的21題，所有的“□×□+□”乘加口算都可以按此方法進行精簡剔除，然后進行對應的強化訓練。

基于數學教學的序列性，學生數學素養提升的需求，教師適時補充相應的練習，幫助學生精簡剔除，可以讓教學更精準發力、更高效生成。

2. 由高往低，對應缺陷作漸進式彌補

學生學習越到高年級，數學知識技能缺陷越難以彌補。這些基礎知識的困難在低年級就已漸露弊端：有些缺陷是因為教材編排結構造成的認知困難；有些是因為技能的訓練沒有針對性。教學中，教師及時進行漸進式的彌補非常重要。

如學生在學習“用7～9乘法口訣求商”前，已經能用2～6的乘法口訣求商，但在分析“用7～9乘法口訣求商”的45道前測題時，發現了三類錯誤：①用同一句口訣求商的過程中，除數比商小的除法算式錯誤率較高，如16÷2=8比16÷8=2更容易出錯；②關于8的乘法口訣求商，錯誤率比7和9的要高等。這些錯誤會讓教師反思學生的學習路徑。首先，乘法口訣按“小九九”的方式編排，積比較大的口訣都跟7、8、9這些乘數比較大的正相關，如“二八十六”這句口訣是在8的乘法口訣中學習的，積16跟8的關聯自然要比跟2的關聯更大一些。其次，7的口訣是單元教學修正一段時間后再學的，9的口訣是乘法口訣學習的最后一個內容，對于學生的認知而言，8的口訣相對不熟練。因此，出現對8的口訣求商最薄弱，是符合學生的認知心理的。對應這些缺陷，要提前到乘法口訣教學時就做出相應的調整，比如學習完了所有的“小九九”編排的乘法口訣后，按大九九乘法表復習整理，強化積與兩個因數之間的關聯；或放緩對8的乘法口訣學習進程，加強8的乘法口訣練習等。

學生數學學習過程中結構知識上的缺陷需要及時進行彌補，或拓展強化。如學生學習了“面積”以后，在計算圖形的周長與面積時總是出現混淆，這種缺陷在不同層次的學生中都普遍存在，縱觀各版本教材，周長和面積一課的教學，時間跨度大，學生認知上容易出現斷層，因此常常出現“周長”與“面積”相混淆，而教材并沒有安排“周長”與“面積”整合的辨析課?！爸荛L”與“面積”辨析問題要不要教，什么時候教，怎么教？對此，在三下認識了面積之后教師設計了“周長與面積關系”一課。

課始，教師出示一個長方形與一個正方形，讓學生用藍筆涂一涂面積，用紅筆描一描周長，然后分別算一算周長和面積。這樣，能讓學生明確“面積”和“周長”的不同。接著，教師把一個長方形框架逐漸“擠壓”成平行四邊形，讓學生進一步發現“周長相等的圖形面積不相等”，強化對周長和面積意義的理解。隨后，教師設計了“在邊長為10厘米的正方形中減去一個長5厘米、寬4厘米的長方形”，讓學生自主提問并解答。例如，（1）這個正方形中有多少個小長方形？（2）剪去的長方形面積和周長各是多少？（3）剩下的圖形周長和面積各是多少？教師通過開放性問題，讓學生基于不同的認知水平積極投入思考，參與交流，激發創新思維。接著，教師讓學生解決第4題（圖4）：（1）下圖中哪個圖形面積最大？為什么？（2）第一個和第三個圖形有什么發現？問題（1），讓學生進一步理解面積含義；問題（2），讓學生發現“周長不相等面積相等”，與課始的“周長相等面積不相等”形成完整的認知，強化對比辨析理解。緊接著，教師趁熱打鐵引入蘇教版教材“解決問題策略”（圖5），引導學生用列舉法解決問題。

三、跟進課堂，探索大單元教學的方式

學生的數學思維能力、解決生活實際問題的能力在很大程度上需要依賴自身心理表征的抽象性和結構性，而多元表征能幫助學生更好地記錄、理解數學知識，主動建構數學認知結構［２］。

1. 以一至多形象理解

同樣的一個數學內容，學生可以用具體實物、圖形表征、抽象的語言、文字符號等表述，在多元表征中理解相關的內容（表1、圖6）。如“小數的意義”教學中，教師讓學生利用多元表征進行學習，在循序漸進中促進學生認知由淺入深地轉化，對“1.76”進行的不同理解（如圖7）。

實物情境： 1元和7個1角和6個1分組成1.76元，共176個1分。

教具模型： 用皮尺直觀演示其中的1.76米。

圖形圖表：

語言：我爸爸的身高是1.76米，1表示1米，再把1米平均分成10份，先涂出7份，再把第8份平均分成10份，涂出其中的6份，就表示0.76，合在一起就是1.76。1.76在1.75和1.77之間。

書寫符號：1+0.7+0.06=1.76（米）

通過多元表征對數學概念的意義進行深化理解，鞏固提升，類比遷移，并通過多元化學習、多樣化交流互動，學生原有的經驗得以完善和提煉，形成從低層次到高層次的深度理解。

2. 以多至一抽象表征

學生認知表征分動作表征、圖像表征、符號表征三個不同階段遞進上升。前兩個階段是為了最后的符號表征，抽象理解。

計算教學中不僅要關注順向思維，還要關注逆向思維，算理與算法之間要進行多向聯系，促進圖式與口算的聯系、圖式與筆算的聯系、口算與筆算的聯系等，使學生真正理解算理。如教學“兩位數乘兩位數”，可以很好地借助直觀手段幫助學生理解筆算豎式的算理，掌握算法。學生已經會兩位數乘一位數和兩位數乘整十數的口算和筆算，他們都有拆一個兩位數分開乘這樣的經驗。當學生面對14×12時，一般會出現以下兩種作品（圖8）。

教師可以結合學生作品進行算理解釋和算法溝通，引導學生在點子圖中圈出自己算式的每一步，一邊圈一邊說（圖9、圖10）。學生在圈畫中明白拆兩個因數，兩兩相乘只是其中的兩個部分積，還少了兩個部分積，補齊后發現應該是：先算10×10=100，4×2=8，10×4=40，10×2=20，再相加。而圖8中的作品1只需要拆一個因數，只有兩個部分積，計算方便。通過正確與錯誤作品的對比，使學生不斷溝通點子圖與口算的聯系，明晰正確的拆分方法，再逐步形成正確的算法，最后延伸到筆算?！巴庠诒碚鳌獌仍诒碚鳌J知結構——數學對象”構成的是一個學習循環的過程，運算技能的形成離不開這樣的學習循環抽象過程。

3. 以小悟大拓展思維

以小悟大，即通過題組引導學生的解題思路，使學生能夠將已經學過的知識運用到解題過程中，并掌握一定的思維技巧，找到題組與知識體系間的最佳聯合點。

例如在復習“小數的整理與復習”一課時，教師在黑板上寫下“103.2560”，以此引導學生的拓展思維，并讓學生自主設計問題如下。

生1：這個小數的整數和小數部分分別是？以什么為界劃分？

生2：怎樣讀出這個小數？

生3：這個小數能夠表示生活中的哪些量？

生4：1在（ ?）位，表示1個（ ?）；2在（ ?）位，表示（ ?）個（ ?）；6在（ ?）位，表示（ ?）個（ ?）。

生5：103.2560是由（ ?）個1和（ ?）個0.0001組成的。

生6：103.2560中去掉哪些零，能夠保持數量不變？為什么？

生7：如果在小數后增加單位“米”，則103.2560米表示103（ ?）256（ ?）；其中2表示2（ ?），5表示5（ ?），6表示6（ ?）。

由學生提出問題，然后解決問題，提高了學生的學習興趣，同時也讓學生理清了知識的來龍去脈，同樣能達到復習單元知識的教學目的。這種開放問題引發學生運用已有的知識、方法去思考，從而形成題組以小悟大，使學生的學習和探究能力進一步增強，并為后續知識建構及拓展奠定堅實基礎。

4. 以點結塊建構體系

教學中教師應立足單元視角將知識結構中以“點狀”形式存在的知識連成“線”，結成“塊”，使學生對知識的理解掌握形成結構化、系統化，完善學生的認知結構。

例如，對于面積單位的整理，不僅要讓學生明白所學面積單位適用于什么地方，更重要的是厘清面積單位之間的關系及換算。計量單位的呈現順序是從小到大逐步累加而來的，相應的面積單位對應著所學的長度單位。

師：對于學過的面積單位，你有什么疑問嗎？

生：我發現已經學過的相鄰面積單位之間的進率是100，只有平方米與公頃之間的進率是10000——很特殊。在換算的時候容易弄錯。

生：平方米與公頃之間是否還存在著另一個面積單位呢？如果有，把它加進來就好記了。

師：有一個怎樣的面積單位呢？我們可以研究一下。

生：對照面積單位與長度單位的關系，我發現：邊長1分米的正方形面積是1平方分米，邊長1米的正方形面積是1平方米，邊長100米的正方形面積是1公頃。以此類推，在平方米與公頃間應該有邊長10米的正方形面積的面積單位。

師：有道理，那應該叫什么呢？（呈現圖片）邊長10米的正方形面積是100平方米，我們把它叫作公畝。1公頃等于多少公畝呢？

生：100公畝。因為1公頃等于10000平方米，1公畝等于100平方米，10000里面有100個100，所以1公頃等于100公畝。

師：公畝是介于平方米與公頃之間的一個面積單位。只是公畝現在不常用了，如果把公畝放進來，我們就發現：每相鄰的兩個面積單位之間的進率都是100。

教師針對學生提出的疑問，結合教材“做一做”適時引入對“公畝”的研究并介紹有關“公畝”的知識，讓學生徹底明白相鄰的面積單位之間的進率是100，只是公畝現在不常用而造成公頃與平方米之間的進率是10000。

在認識“公畝”的同時，結合整節課對“公頃和平方千米”的認識，對面積單位作如下的整理（圖11）。

四、優化評價，提升大單元教學的成效

基于大單元教學的視角通盤制定規劃，確定單元模塊內容，分課時確定目標，給出詳細的單元教學安排與評價機制，努力做到教評一致、教有所依、學有所評，確保單元教學達成預期的成效。

1. 分層制定評價標準

數學家弗賴登塔爾曾指出，學生數學學習是分層遞進的，數學教學的任務是幫助學生拾級而上提高層次，實現“再創造”。數學教學活動應遵循學生的學習規律，以范希爾幾何思維水平層次為依據，精準分析教材和學情，制定目標、指定路徑、實施評價、分析目標達成（簡圖如圖12）。

根據學生幾何思維層次水平，筆者以六上“什么是圓”大單元教學為例，對教學內容進行系統梳理，制定了分層思維水平分析表（表2）。

基于大單元教學視角，學生幾何思維水平由水平0循序漸進向水平3——形式化演繹邁進，教學內容、課時教學活動的設計、課堂推進也由易到難逐步推進，幫助學生整體、系統經歷“數學化”。

2. 整體制定評價目標

為了精準分析學情，筆者團隊對城區、城郊、鄉鎮、山區等不同學校學生進行了抽樣調研，從中發現：約86%的學生對圓有初步感知，能正確辨認出圓心、直徑、半徑等概念，只有9%的學生對相關概念能基本準確地進行描述，55%的學生能舉出生活中圓的具體例子。約55%的學生在三年級認識了圖形的周長，對圓周長的學習形成了方法的正遷移，能通過繩子等工具測量圓的周長。約34%的學生知道圓周長和面積公式，能初步套用公式進行正確計算，思維水平已經達到了水平1，但學生不理解公式形成的過程，不知其所以然，“轉化”“化曲為直”的數學思想方法存在斷層。約90%的學生能用分割法、數格子法算出圓的面積。根據學情，筆者基于大單元教學視角，制定了以下評價目標。

整體層面：

本單元重點是圖形的轉化思想和度量思想，讓學生基于長度的測量將圓的周長和面積解決問題轉化成已知圖形來解決。

具體目標：

（1）通過觀察、操作，認識圓，會用圓規畫圓。

（2）通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式；探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題。

（3）經歷嘗試、探究、分析、反思等過程，積累數學活動經驗，在解決圓相關的數學問題的過程中，提高解決實際問題的能力。

（4）經歷圓周長、面積計算公式推導過程，體會和掌握轉化、極限等數學思想。通過數學再創造活動，思維水平達到非形式化演繹，并向水平3形式化演繹過渡。

（5）通過生活實例、數學史料，感受數學之美，了解數學文化，提高學習興趣。

3. 系統規劃提升成效

縱觀不同版本教材關于“圓”的單元教學內容，大致分為三個板塊內容，即“什么是圓”“圓的周長”“圓的面積”。每塊內容由新授及練習組成，圓的面積之后還增加了“圓與正方形”拓展課?；趯滩?、學生學情的分析，對教學內容進行了系統規劃整合，分“立”“改”“整”“拓”四個模塊展開?！傲ⅰ保ㄊ裁词菆A）——單元開啟課，重點解決“圓一周同長”核心問題，領悟圓的本質特征；“改”（圓的周長、圓的面積）——單元生長課，重點解決“周長與直徑之間的關系”“推導圓的面積公式”核心問題，感受極限思想，發展幾何推理能力；“整”（整合課）——重點解決“變式應用面積公式推導，靈活解決生活問題”核心問題；“拓”（圓與正方形）——重點解決“建立數學模型，溝通圓與方的關系”核心問題，將面積差比拓展到倍比。具體安排如圖13。

4. 內外融合檢測評價

評價是檢驗大單元教學成效的依據，應充分挖掘知識間的內在聯系，形成思維品質，還需要結合課內知識結構和課外拓展材料設計出多角度、多層次、全方位思考的練習，進而整合評價學生的學習效果。

完善知識結構，檢測知識運用能力。教師應該在學生初步建立知識結構時，適時地進行知識方法的檢測，提升綜合運用能力。

以圓的面積靈活運用（課內）片段為例，教師在教學中著重引導學生借助正方形的方格估計圓的面積，體會圓的面積與圓的半徑有關，是圓的半徑平方的3倍多一些。讓學生從不同的視角探究圓的面積，更能激發學生的探究欲望，也為面積計算教學打開了一扇窗。

因此，筆者覺得在練習檢測中可以把以下這類題組內容融進課堂教學中，后續的練習中出現這類相關的問題就迎刃而解了。學生會從中感悟前面的“三倍多一些”其實就是π倍，在無法得到圓的半徑是多少的情況下，可以用a2來代替r2，巧算圓的面積。

例題：圖形面積巧計算

1. 如圖14，以點O為圓心，正方形OABC的面積是20cm2，求圓的面積。

2. 如圖15，以點O為圓心，三角形OAC的面積是20cm2，求圓的面積。

3. 如圖16，以點O為圓心，等腰直角三角形OAB的面積是30cm2，求圓的面積。

嘗試課外拓展，測試自主學習能力。知識方法的運用能力體現在生活中的問題解決中，而思維方式更體現在對全新知識的自主學習中，教師應該給予學生這樣的機會，讓他們去嘗試觸碰一些相關聯的新知識，體會思維方式的價值。

例如：破鏡重圓數學小研究（課外）片段。圖17是從一個圓形紙片中撕下來的一部分，你能還原整個圓嗎？你想到了哪些方法？

學生靈活運用圓的特征從不同角度展開思考：折一折、畫一畫、估一估、拼一拼等，把一個殘缺的圓變得圓滿了。

參考文獻：

［１］ 侯學萍，陳琳. 小學數學單元教學的整體設計［Ｊ］. 教學與管理，２０１８（２９）：４３－４５.

［２］ 熊梅，李洪修. 發展學科核心素養：單元學習的價值、特征和策略［Ｊ］. 課程·教材·教法，２０１８，３８（１２）：８８－９４.