對象與工具：數線的多維分類及其教學價值

汪楊 陸世奇 徐文彬

【摘? ?要】數線即表征數的意義、性質和運算的線。數線是小學數學教學中常用的一種教學輔助手段。從多維視角對數線進行分類并分析其教學價值，可以為這種教學輔助手段的使用提供啟示：物理數線和心理數線之間存在外顯性和內隱性的差異；有界數線具有有限性，無界數線具有開放性和延伸性；結構化數線、半結構化數線和空數線賦予使用者不同程度的表征和記錄自由；單數線只對應一種數量，雙數線則體現出兩種數量的聯結和變化。無論是何種分類，數線都發揮著作為研究對象和作為教學工具的雙重價值。

【關鍵詞】數線；多維分類；教學價值；研究對象；教學輔助工具

從廣義上來說，數線即表征數的意義、性質和運算的線。它作為數形結合的典型工具，能生動、形象、直觀地反映數和形之間的對應關系，是數學教學中常用的輔助手段。和數線相比，數軸在教學中具有更高的關注度。數軸包含于數線，是一條規定了原點、正方向和單位長度的直線。與這樣具有嚴格性和限制性的數軸相比，數線使用范圍更廣，具有靈活性、開放性和包容性等特點，能為教學提供更多的可能性。因此，厘清數線各種分類的內涵，并分析其所具有的教學價值，是十分有必要的。

一、物理數線和心理數線及其教學價值

從存在形式的角度看，數線可分為物理數線和心理數線。物理數線具有外顯性，而心理數線具有內隱性。物理數線是在客觀世界中真實存在的具象實體，能夠被直接呈現，具有直觀可視的特點，具體包括溫度計、時間尺、直尺、自制實體數線等。心理數線存在于人的大腦中，具有抽象性。如數字在大腦中的表達像一條從左至右依次遞增的數線，小數表征在左邊，大數表征在右邊［1］。

物理數線常作為數學課堂上的教學工具呈現，能展示出學生的思維過程，促進學生感悟數形結合的數學思想。其教學價值體現在三個方面。第一，承載具體數值，使常見的量直觀化。如：人教版教材二年級上冊“長度單位”單元中，直尺可用于度量紙條的長度（如圖1）；人教版教材二年級下冊“克和千克”單元中，秤上的非水平物理數線能測量事物的具體重量（如圖2）；另外，還有溫度計能準確地測量具體溫度；時間尺是一種表示時間的工具，能直觀地展現出普通計時法和24時計時法中時刻的對應和轉化關系；等等。受這些生活中的物理數線的啟發，學生會逐步完成從實物到抽象數線表征的過渡，發展抽象思維。第二，清晰地展現出對應點和數的關系，使數的認識系統化?？蓪稻€上的標記刻度視為參考點，歸類出正數和負數、真分數和假分數等，建立整數、分數、小數等不同數系之間的聯系，實現數系間的跨越。物理數線作為學習數的稠密性、連續性和離散性的幾何模型，可加深學生對數概念的理解和感悟。第三，呈現運算過程，使數的運算形象化。物理數線的形象化能幫助學生理解運算原理，促進學生對四則運算的深入理解，擴展其解決運算問題的思路和途徑，體驗計算方法的多樣性。

心理數線作為個人心理想象空間中的一種抽象空間情境，虛擬且不可視。心理數線的教學價值體現在三個方面。第一，心理數線的表征具有豐富性、差異性。因學生對數線的認識和理解的角度、程度不同，他們抽象的心理數線也會各不相同。在教學中，教師可抓住這種差異性，打破學生常規的心理定式，讓學生自主創作數線，如數的大小序列［2］數線。第二，心理數線與數學知識、數學能力具有相關性［3］。整數知識是圍繞著心理數線組織起來的，如人教版教材一年級上冊“11～20各數的認識”單元例3中做一做的第3題（如圖3），題中11～19和20～12的整數數序認知便得益于相應心理數線的建立。另外，心理數線的發展與數學能力的發展也存在一定關聯，有研究表明，心理數線的發展和測量、分類等數學能力的發展似乎是齊頭并進的。第三，心理數線體現具身認知理論的適用性。心理數線具有響應碼（SNARC）的空間—數值關聯效應（右手對大數、左手對小數會作出更快的反應），這表明心理數線與多感官互相影響。因此，教師在教學中可調動學生的多感官來感知、理解數線，通過與數線相關的活動來擴展和完善學生的心理數線。

二、有界數線和無界數線及其教學價值

從有限和無限的角度看，數線可分為有界數線和無界數線。這兩種數線能夠體現不同情境下數線的工具性本質。有界數線完整地標記出數線的端點，固定的起點和終點使得該數線的長度有限（如圖4）。無界數線的端點標記不完整，通常沒有端點或者只有一個端點，所以數線的長度可無限延伸（如圖5）。有些無界數線上的基本單位長度選擇用數來標記［4］。

有界數線的教學價值體現在三個方面。第一，有界數線是數形結合的典型載體。有界數線的長度是確定的，可對應表示數量的大小和多少。因此，可借助有界數線直觀的長短關系來表示其所代表的實際數量的大小關系，以形示數。如人教版教材五年級上冊“簡易方程”單元“實際問題與方程”中的例10（如圖6），教材借用有界數線來分析其隱含的數量關系，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，這是典型的數形結合思想。第二，有界數線是比例推理的有力手段。數量間的大小關系和對應的有界數線的長度關系應成比例，這要求學生把握數量間的大小關系，并反映在有界數線的長短關系上，以此促進比例推理的發展。第三，有界數線是數線估計的主要工具。如北師大版教材二年級下冊“生活中的大數”單元練習二中的第8題（如圖7），有界數線上的兩個端點2000和3000給定區間長度范圍，讓學生通過判斷2691與兩端點數的相對關系，估計2691的具體位置，完成標準的數線估計任務。數所代表的實際數值和目標數值之間的差異體現出學生對數值大小的理解。有研究發現，估計的精度會隨著年齡的增長而增加，且估計的熟練度與數學能力呈顯著正相關［5］。因此，教師應常利用有界數線設計數線估計任務，并隨學生年齡的增長逐步提高對估計精度的要求，以此來提升學生的數學能力。

無界數線與有界數線在策略使用和感知覺上存在差異。無界數線的教學價值體現在兩個方面。第一，無界數線上用數值標記的基本單位是使用計數策略的基礎，所以無界數線常用于計數。第二，無界數線的長度沒有端點的限制，具有開放性和延伸性。如人教版教材二年級下冊“萬以內數的認識”單元中的例10（如圖8），學生在此無界數線的使用中可體會到兩端無限擴張的延伸性，對整數數系的無限延伸產生直觀感受，培養空間想象力，促進數學抽象思維的發展。Regina Miriam Reinert在相關研究綜述中就曾明確指出，越來越多的證據表明，無界數線是一種純粹和有效的心理數量級表征的測量方法［6］，這也與無界數線的無限性特征有關。

三、結構化數線、半結構化數線和空數線及其教學價值

從標準化程度來看，數線可分為結構化數線、半結構化數線和空數線。結構化數線標準化程度最高，空數線標準化程度最低，半結構化數線介于兩者之間，三者之間能互相轉化。結構化數線等同于數軸，具有原點、正方向和單位長度這3個要素，即有基準點0，用箭頭表示數線的大小、方向和數線的延續，同時包含位于數線上方或下方的刻度線，以表示單位長度［7］，如圖9所示。半結構化數線只具有其中1～2個數軸要素，是結構化數線簡化后的產物，如圖10所示?？諗稻€直接以一條直線的形式呈現，是由結構化數線向半結構化數線逐步簡化發展而成的，如圖11所示。目前，空數線已成為國際公認的一種發展心理策略的成功模式，其概念看似簡單，卻是一種基于先前研究結果的復雜結構［8］。

具體而言，結構化數線是數線中最嚴格化的形式，它通過數線上的標記來表示數，可視為一條被分割標記成數個相等大小部分的線性比例尺。結構化數線具有數線的迭代、均分特征。迭代是指連續地復制和粘貼基本單位，由基本單位的重復形成整條數線；均分是指把一條數線平均分成多個基本單位，整條數線由若干個基本單位組成。兩者構成了理解結構化數線的兩種視角。教師在教學中可根據教學目標和教學內容靈活選擇不同視角下的數線。如學生在初步認識數線時可以選擇“迭代數線”，在學習分數時可以選擇“均分數線”，使結構化數線有效服務于數學教學。結構化數線是數學教學中高頻使用的工具，便于學生理解各種數學概念和數學運算過程，為數的排序搭建了直觀的平臺，有助于有理數連續性的可視化［9］，從而呈現給學生一個嚴密而完備的數系統。如人教版教材運用結構化數線引導學生進行數的認識（如圖12）和數的四則運算（如圖13）。

半結構化數線比結構化數線更簡潔高效，給學生留有足夠的可操作空間，具有一定的靈活性和自主性。在半結構化數線中，學生可以根據使用目的選取對自己解決問題有用的相關要素。這一過程能反映出學生的思維方式，有利于教師了解學生的數學思維，及時提供指導幫助。如間隔排列問題中典型的植樹問題，只需在數線上標記刻度，以示意間距、尋找段數，從而找到解決問題的關鍵之處。

作為自由度最高的空數線，具有多方面教學價值。第一，激發學生的數學創造力?？諗稻€為學生提供了個性化的使用方式，賦予學生表征和記錄的高度自由，使他們有足夠的發揮空間，可根據自己的想法進行調整，與其他數學元素靈活結合。第二，增強數感，提升數學能力。教師要創設情境，讓學生嘗試在空數線上放置正負整數、分數和小數，增強學生對數和數關系的理解，提高學生的排序能力和比例推理能力。另外，有研究表明，空數線也是增強學生心算能力的有力工具［10］。第三，記錄個人思考痕跡。學生解決問題的思考過程可完整地展示在空數線上。教學中，教師要鼓勵學生使用空數線來記錄自己解決問題的過程。當學生思考不順暢或成功解決問題后進行回顧總結時，教師可借助其記錄痕跡提供指導和干預。但國內小學數學教學對空數線的重視度有待提升，目前僅有北師大版教材有使用空數線的傾向（如圖14）。

四、雙數線和單數線及其教學價值

從聯結性和分裂性的角度來看，數線可分為雙數線和單數線。這種分類凸顯出雙數線的特殊價值。雙數線是兩條數線的聯結（如圖15），每一條數線代表一種數量，通過兩種數量恒定的比率關系而將這兩個數量一一對應。在使用中，可以根據實際情況把兩種數量簡化表示在一條數線的同一點上，實現兩條數線的對應統一（如圖16）。相對于雙數線而言，單數線僅能表示出一種數量，讓兩種數量分別呈現，無法展現出兩種數量之間的聯結和變化，也不能體現兩種數量之間的比率關系。

雙數線包含上下兩條數線，這兩條數線通常以不同的基本單位進行構造。除直接呈現出的這兩條數線所表示的數量外，雙數線還暗含第三個量——兩個數量之間的恒定比率。如人教版教材六年級下冊“比例”單元“正比例”中的做一做（如圖17），路程和時間的數據各自形成水平非直觀數線，兩者間隱含的恒定比率即速度，可進一步簡化，形成雙數線，直觀呈現出兩種數量的共同變化過程及其固定的比率。雙數線是學習比及比例知識的教學工具，能幫助學生建立比和比例的關系，理解比、比例與分數、除法之間的聯系，為學生解決按比例分配的相關問題提供思考支架，有利于培養學生的函數思想。

單數線將兩種數量分開呈現，一條數線對應一種量，涵蓋了數線的普遍意義。

綜上所述，不同分類維度下的數線并非完全獨立的，而是存在交叉關系。根據以上不同分類，從直接性和間接性角度進行審視，數線發揮著作為研究對象和作為教學工具的雙重價值。

作為研究對象是指研究者直接研究數線本身固有的性質、特征和功能等，以豐富數線的內涵，開發數線的功能，這體現出數線的直接價值。例如，借助計算機研究心理數線；研究數軸的3個要素，掌握數線內在的邏輯體系；研究數線的均分特征、迭代特征和測量功能等。當研究者對數線內在屬性的研究達到一定的深度和廣度后，再將數線作為工具使用會更得心應手。

作為教學工具是指教師將其視為一種達到教學目的的工具，體現了數線的工具價值。例如：在小數和分數的學習中，數線可展現數概念的形成過程，幫助學生體會數的稠密性、連續性和離散性；也可將數的運算過程形象化，幫助學生比較數的大小。同時，教師要認識到，學生對各數線屬性有準確的認識是正確、高效運用數線解決問題的前提和基礎。

如表1所示，第一種分類是為了凸顯心理數線的獨特性。物理數線能讓學生從外顯的表面直觀中總結、概括出數線的內在一致性，把握數線最基本、最普遍的內涵。心理數線則是以抽象的形式存在于個人的想象空間里，具有個體差異性。教學中，要注意兼顧外顯的一致性和內在的差異性。第二種分類聚焦于無界數線。無界數線的無限性和整數的無限性相對應，具有開放性和延伸性。有界數線的長度固定有限，能表示出數與數的關系。這里的開放性和封閉性不存在孰優孰劣，只是對兩種數線特征的表述。第三種分類有意突出空數線。結構化數線是數線迭代特征和均分特征的重要體現，形式要求嚴格?？諗稻€是學生增強數感、記錄思考路徑和培養創造力的有力工具，具有高度的自主性。半結構化數線為方便學生的使用，保留了數軸的部分要素。三者賦予學生不同程度的表征和記錄自由。第四種分類傾向于表現雙數線的特殊價值。雙數線表現出兩種數量的聯結和協變關系。單數線只表示出一種數量，在數學教學中具有普遍意義。

由此可見，數線形式的多元化趨勢體現了數線的橫向發展，對數線內涵、功能等的深入挖掘體現了數線的縱向發展。

參考文獻：

［1］盧佳艷.心理數線的參照點研究［D］.北京：北京師范大學，2010.

［2］WESSMAN-ENZINGER N M. Grade 5 Childrens Number Line Drawings for Integers［C］// Proceedings of the 39th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Indianapolis，IN： Hoosier Association of Mathematics Teacher Educators，2017：291-294.

［3］ZANG B，ZHANG J，GU R. Chinese preschoolers mental number line and mental number distance：valid characteristics using dirichlet process gaussian mixture model［J］. Early education and development，2019，30（5）：694-707.

［4］ JUNG S，ROESCH S，KLEIN E，et al. The strategy matters：bounded and unbounded number line estimation in secondary school children［J］. Cognitive development，2020，53.

［5］ SCHNEIDER M，MERZ S，STRICKER J，et al. Associations of number line estimation with mathematical competence：a meta-analysis［J］. Child development，2018，89（5）：1467-1484.

［6］ REINERT R M，MOELLER K. The new unbounded number line estimation task：a systematic literature review［J］. Acta psychologica，2021，219.

［7］ WONG M. Identifying fractions on a number line［J］. Australian primary mathematics classroom，2013，18（3）：13-18.

［8］ BRAMALD R. Introducing the empty number line：the Dutch approach to teaching number skills ［J］.Education 3-13：International journal of primary，elementary and early years education，2000，28（3）：5-12.

［9］ DIEZMAN C M，LOWRIE T，SUGARS L A. Primary students success on the structured number line［J］. Australian primary mathematics classroom，2010，15（4）：24-28.

［10］ IANNONE P. Number tracks，number lines，number strips... are they all the same？ ［J］. Mathematics teaching，2006（197）：9-12.

（南京師范大學課程與教學研究所）