帶線性記憶的Kirchhoff型耦合吊橋方程的指數吸引子

王 雪, 姜金平, 王思博, 魏 佳

(延安大學 數學與計算機科學學院, 延安 716000)

0 引 言

考慮帶線性記憶的Kirchhoff型耦合吊橋方程

(1)

指數吸引子的存在性。其中α,β>0,k2(u-v)+是恢復力,k表示彈性系數,μ表示記憶核,函數(u-v)+=max{(u-v),0},外力項g1(x),g2(x)∈L2(Ω),Ω是2內光滑邊界?Ω的有界開區域。對于吊橋方程和指數吸引子的一些問題已被很多學者研究[1-18];1990年,Lazer等首次提出耦合吊橋方程[1]

2018年,賈瀾等利用算子分解的方法研究了帶強阻尼的Kirchhoff型吊橋方程

指數吸引子的存在性[3]; 2019年,王美霞等通過緊性平移定理及構造三元解相空間研究獲得了帶記憶項的Boussinesq方程

指數吸引子的存在性[4]; 2022年,王彩霞等利用能量估計和算子分解的方法研究了帶記憶項和線性阻尼的Kirchhoff梁方程

指數吸引子的存在性[5]。Kirchhoff型耦合吊橋方程比單個吊橋方程更加全面的考慮了其橋面的可拉伸性和主鏈的運動情況,但是對于Kirchhoff型耦合吊橋方程指數吸引子的研究很少,故基于以上文獻的啟發,本文構造三元解相空間將算子分解的方法應用于耦合類的方程中,對恢復力k2(u-v)+進行新的處理,研究得到了帶線性記憶的Kirchhoff型耦合吊橋方程指數吸引子的存在性。

1 預備知識

首先需將問題(1)轉化成確定的自治系統,根據文獻[7-8]的啟發引入歷史位移變量

η=ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s),γ=γt(x,s)=v(x,t)-v(x,t-s), (x,s)∈Ω×+,t≥0

則

(2)

邊值條件為

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),ηt(x,0)=0,η0(x,s)=η0(x,s)

v(0)=v(L)=0, (x,t)∈Ω×+,γ=γ(L)=0, (x,t,s)∈Ω×+×+

v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),γt(x,0)=0,γ0(x,s)=γ0(x,s)

其中

不失一般性,定義Hilbert空間族Vs=D(As/4),定義其范數和內積為

用||Au||表示D(A)的范數,其中

顯然,

式中:

分別是H、V1的對偶空間。特別地,有緊嵌入Vs+1?Vs和Poincare不等式

式中λ1是Δ2在D(A)中的第一特征值。

設方程(1)中的非線性函數f∈C(,)滿足條件

(H2)|fi(s)|≤C(1+|s|p),?s∈,p≥1,i=1,2

由條件(H1)和條件(H2)可知,存在正常數K1、K2、K3和K4,η=η(λ1)>0,γ=γ(λ1)>0,使得

f1(s)s+ηs2+K1≥0,F1(s)+ηs2+K2≥0,?s∈

(3)

f2(s)s+γs2+K3≥0,F2(s)+γs2+K4≥0,?s∈

(4)

設方程(1)中的記憶核函數μ(·)滿足條件

(H3)μ∈C1(+)∩L1(+),μ′(s)≤0≤μ(s),?s∈+

由條件(H3)、(H4)定義如下Hilbert空間

并在M上定義線性算子T,定義域為

D(T)={η,γ∈M|?sη,?sγ∈M,η(0)=0,γ(0)=0}

式中:Tη=-?sη,Tγ=-?sγ,?η,γ∈D(T),?sη表示η關于內部變量s的分布導數,?sγ表示γ關于內部變量s的分布導數,則D(T)空間上的內積可定義為

(η1,η2)D(T)=(η1,η2)M+(?sη1,?sη2)M, (γ1,γ2)D(T)=(γ1,γ2)M+(?sγ1,?sγ2)M

定義1[6]給定η∈L,η在L中的尾部函數是Tη:[1,∞)→[0,∞),定義為

同樣可定義

引理1[6]若C?L滿足下列條件:

則C在L中相對緊。

記

且范數分別為:

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V=(u1,u2)V2+(v1,v2)H+(η1,η2)L

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))VT=((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V+(?sη1,?sη2)M

定義2(指數吸引子)[3]如果集合M?X,X為完備度量空間,滿足下列條件:

(1) 集合M在X中具有有限維的分形維數且是緊的;

(2) 集合M是正不變的,即S(T)M?M;

(3) 集合M為半群的指數吸引集,即對每一個有界集B?X,存在常數k=k(B),l>0,使得dist(S(T)B,M)≤W(||B||X)e-lt,其中{S(T)}t≥0為完備度量空間中X的半群,則集合M為半群{S(T)}t≥0的指數吸引子。

引理2[3]設Χ?H是一不變緊子集,且W到H是緊嵌入,存在時間t*>0,使得如下條件成立:

(1) 映射{(t,z0)S(T)}: [0,t*]×Χ×Χ是Lipschitz連續的;

(2) 映射S(t*):Χ→Χ有如下分解:

S(t*)=S0+S1,S0:Χ→H,S1:X→W

式中S0滿足

S1滿足

||S1(z1)-S2(z2)||W≤C*||z1-z2||H

則半群S(t*):X→X存在指數吸引子。

(1) 若初值(u0,v0,u1,v1,η0,γ0)∈H,那么問題(2)有一個弱解

(u,v,ut,vt,ηt,γt)∈C([0,T],H),?T>0

并且滿足

|z1(T)-z2(T)|H≤ect|z1(0)-z2(0)|H,t∈[0,T]

因此,問題(2)存在唯一的弱解(u(T),v(T),ut(T),vt(T),ηt,γt),定義算子S(T):H→H為

S(T)(u0,v0,u1,v1,η0,γ0)=(u(T),v(T),ut(T),vt(T),ηt,γt),t≥0

算子S(T)滿足半群的性質且可定義一個在H上局部Lipschitz連續的非線性C0半群。

2 有界吸收集

2.1 H中的有界吸收集

證明取0<ε<1,在空間中用φ=ut+εu和ψ=vt+εv與問題(2)中的兩個方程分別作內積,整理得到

-ε(1-ε)(u,φ)+ε||Δu||2+(ηt,ut)M+ε(ηt,u)M+ε||?u||2+ε||?u||4

+(1-ε)||ψ||2-ε(1-ε)(v,ψ)+ε||?v||2+(γt,vt)M+ε(γt,v)M

+(k2(u-v)+,φ-ψ)+(f1(u),φ)+(f2(v),ψ)

=(g1(x),φ)+(g2(x),ψ)

(5)

式中

(6)

(7)

(8)

由式(2)、Holder不等式和條件(H4)得

(9)

(10)

利用Holder不等式、Young不等式和Poincare不等式得

(11)

將式(6)～式(11)代入式(5),整理后得到

≤0

(12)

令

(13)

≤0

(14)

根據式(3)、式(4)及Sobolev緊嵌入定理,有

(15)

式中:

同理可得

(16)

將式(15)和式(16)分別代入式(13)和式(14),得

(17)

(18)

取ε,η,γ充分小,令

則

E(T)≥C1(||φ||2+||Δu||2+||?u||2+||?u||4+||ψ||2+||?v||2

(19)

(20)

+k2||(u-v)+||2)-M3-M4]dτ+E(0)

(21)

B1={(u0,v0,u1,v1,η0,γ0)∈H:||u1+εu0||2+||Δu0||2+||?u0||2+||?u0||4

(22)

則B0是半群{S(T)}t≥0的一個有界吸收集。

2.2 VT中的有界吸收集

||z0||VT=||u0,v0,u1,v1,η0,γ0||VT≤ρ1

證明在空間中用-Δφ=-Δut-εΔu和-Δψ=-Δvt-εΔv與問題(2)中的兩個方程分別作內積,整理得到

-ε(1-ε)(?u,?φ)+ε||Δ?u||2+(ηt,ut)L+ε(ηt,u)L+ε||Δu||2+ε||?u||2||Δu||2-||Δu||2(?u,?ut)

+(1-ε)||?ψ||2-ε(1-ε)(?v,?ψ)+ε||Δv||2+(γt,vt)L+ε(γt,v)L+(k2(u-v)+,-Δφ)

-(k2(u-v)+,-Δψ)+(f1(u),-Δφ)+(f2(v),-Δψ)

=(g1(x),-Δφ)+(g2(x),-Δψ)

(23)

由Poincare不等式、Holder不等式、Young不等式、推論1中的有界性和式(22)可得

(1-ε)||?φ||2-ε(1-ε)(?u,?φ)+ε||Δ?u||2-||Δu||2(?u,?ut)+(1-ε)||?ψ||2-ε(1-ε)(?v,?ψ)+ε||Δv||2

(24)

事實上,有||((u-v)+)t||≤||(u-v)t||,即可得

(25)

同理

(26)

利用Sobolev嵌入定理可得,存在K>0,使得

||f(i)||L∞

有

(27)

(28)

將式(24)～式(28)代入式(23)整理,得到

(29)

取ε>0,令

則式(29)可進一步改寫為

(30)

令

則有

其中

由Gronwall引理可得

P(T)≤C2P(0)e-C2t+c1

(31)

由范數的等價性可得

(32)

所以由式(31)和式(32)得

(33)

根據文獻[4-5]可知,||?sγ||、||?sη||一定有界,其中γt(0)=0,ηt(0)=0且

(34)

故由式(33)和式(34)可知結論成立。

3 指數吸引子的存在性

引用文獻 [6]中不變緊集的概念,設x*=x*(μ)≥1,當滿足x≥x*時,下式成立:

(35)

根據定理2及推論2,可令

則?tΝ>0,使得當t≥tΝ時,S(T)Β?Ν。

定理3對任意初值z1=(u10,u11,v10,v11,η10,γ10),z2=(u20,u21,v20,v21,η20,γ20)∈H,對?R>0當||zi||H≤R(i=1,2)時,存在一個與ε,λ1,ρ1,K,c4有關的常數P,有

||S(T)z1-S(T)z2||H≤P||z1-z2||H,?t∈+

(36)

(37)

(38)

其中

(39)

由Sobolev嵌入定理、Holder不等式、Young不等式、Poincare不等式及Minkowski不等式可得

(40)

同理可得

(41)

(42)

同理

(43)

且

(44)

將式(39)～式(44)代入式(38),整理得

(45)

進一步估計,可得

(46)

式中P是與ε、λ1、ρ1、K、c4有關的常數,最后利用Gronwall引理即可證明此結論。

定理4存在正常數M,且z0=(u0,u1,v0,v1,η0,γ0),z(T)=(u(T),v(T),ut(T),vt(T),ηt(s),γt(s))使得

(47)

(48)

由Sobolev嵌入定理、Holder不等式、Young不等式、Poincare不等式及Minkowski不等式可得

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

將式(49)～式(53)代入式(48)整理得

(54)

取ε充分小,使得

令

(55)

利用Gronwall及定理1得

(56)

從而證得定理4,即

式中M>0。

定理5映射{(t,z0)S(T)}: [0,T]×X×X是Lipschitz連續的,其中?T>0。

證明對任意的t1,t2∈[0,T],z1,z2∈Χ,有

||S(t1)z1-S(t2)z2||H≤||S(t1)z2-S(t2)z2||H+||S(t1)z1-S(t1)z2||H

(57)

對于||S(t1)z1-S(t2)z2||H這項,由定理4可得

(58)

對于||S(t1)z1-S(t2)z2||H這項,由定理3可得,存在L=L(T)≥0,使得

||S(t1)z1-S(t2)z2||H≤L(|t1-t2|+||z1-z2||H)

(59)

綜上證得定理5成立。

定義線性空間

定理6設Z到H是緊嵌入的,且Χ?H是一不變緊子集,則存在C*>0和時間t*>0,使得映射S(t*):Χ→Χ有如下分解:

S(t*)=S0+S1,S0:X→H,S1:X→Z

式中S0滿足

S1滿足

||S1(z1)-S2(z2)||W≤C*||z1-z2||H

(60)

(61)

=0

(62)

由Holder不等式、Young不等式以及Poincare不等式作類似估計得

≤0

(63)

定義泛函

(64)

取ε充分小得

(65)

式中a為正常數。取

可得

根據式(65),上式變為

由式(65)和Gronwall引理得

=0

(66)

式中

(67)

由Sobolev嵌入定理、Holder不等式、Young不等式、Poincare不等式及Minkowski不等式可得

(68)

同理可得

(69)

作與式(42)類似估計得

(70)

同理

(71)

且與式(43)估計方法相同得

(72)

將式(67)～式(72)代入式(66),整理得

(73)

取ε充分小,則

(74)

(75)

接下來還需證明記憶項滿足

(76)

(77)

結合定理1～定理6即可得到問題(2)指數吸引子的存在。

4 結 論

對于帶線性記憶的Kirchhoff型耦合吊橋方程,為了得到其指數吸引子的存在性,普通的證明方法,例如加強的平坦性條件大弱,不能夠證明含有記憶項方程的解半群的緊性,所以需要構造三元解相空間,利用算子分解的方法來證明其指數吸引子的存在性。通過對定理1到定理6的證明即可得到問題(1)指數吸引子存在。