例談高中數學教學中類比思維能力的培養

劉倩

摘 要：在新課改的背景下，高中數學的教學模式需要更注重對學生思維能力的培養，進一步激發學生的自主學習興趣，并時刻關注學生的數學知識體系構建情況。類比思維能力與演繹歸納推理分析能力有所不同的是，能夠將特殊情況下的分析過程進行全面總結，協助學生理解知識點。本文將主要分析與探討高中數學教學中對類比思維能力的培養。

關鍵詞：高中數學；類比思維能力；培養

在培養學生類比思維能力的過程中，需要將類比思想與其他教學手段緊密結合，引導和鼓勵學生發現不同事物之間的相似特征，并從特殊的問題情境中發現相似的線索。在運用類比思維能力的過程中，師生都需要對并不適用于演繹和歸納推理分析方法的問題情境進行全面總結和分析，進一步拓展和延伸到特殊的事物特征提取層次。

一、高中數學教學中類比思維能力的培養價值

（一）梳理知識結構形成知識網絡

在高中數學教學活動中培養學生的類比思維能力，有助于學生初步梳理知識結構，形成可靠的知識網絡[1]，還能夠在類比推理分析過程中形成獨特的解題思路。不論是在高中數學課堂中的概念學習過程中，還是解題訓練過程中，都需要廣泛運用類比思維，構建更加全面和完善的知識體系網絡結構。尤其對于學生而言，梳理知識結構形成數學知識網絡，能夠直接影響到后續知識概念的補充與完善進度。在培養類比思維能力的過程中，也能夠逐步滲透其他數學思想，并對問題情境、變式教學，以及知識體系的形成過程產生深遠的影響[2]。尤其在初步建立數學知識體系的過程中，部分學生對分散化的知識點掌握能力和理解能力較弱，此時需要充分引導和鼓勵學生理解類比思維的具體應用策略以及思路，才能夠輔助其構建完整的數學知識網絡體系。

在高中數學學科的課堂教學活動中，類比思維能夠體現在不同教學環節之中，因此需要著重培養學生的合情推理、類比推理以及案例推理能力，將類比思維靈活運用在知識體系建構層面上。在高中數學課堂中，類比思維可以體現在前后知識點的類比、數學概念公式的類比，以及課外數學教學活動之中，高中數學教師需要以點帶面，將類比思維的培養目標進行細化，協助不同層次學生能夠循序漸進地提升類比思維能力，將舉一反三等具體學科思維靈活運用在知識體系結構的建構和完善層面上。由圓的性質類比出球的有關性質，是非常經典的類比推理方法，從某一類概念推衍到另一類概念，其中相似之處是學生非常容易混淆的知識點，但是需要對二維平面上的圓形、三維空間中的球體特征進行類比分析，協助學生鞏固類比思維。部分高中數學教師在協助學生梳理類比推理思路的過程中，將類比過程進行了適度簡化，引導和鼓勵學生進行多角度論述，將類比思維培養映射到具體知識點和公式概念等教學層面上，才能夠將類比思維與其他數學思想方法進行有效分離，有助于學生在解決數學問題過程中明確類比思維的應用步驟，但是不會局限于某一種解題方法。

（二）提升舉一反三的能力

在高中數學課堂中培養學生的類比思維，也能夠有效提升其舉一反三的能力，還能夠快速適應多種問題情境和變式解析過程，并對類似數學知識點之間的聯系和區別進行有效總結和分析[3]。類比思維能力的有效培養過程，也需要深度挖掘觸類旁通的思維模式建構規律，才能夠進一步深層次挖掘不同類型事物之間的相似特征或者屬性，并引導學生從全新的視角領會數學知識和概念之間的相似性和共通性。在高中數學課堂中培養學生的類比思維能力，還需要將舉一反三的思維建構過程進行詳細歸類和總結，才能夠引領學生對多樣化和靈活性比較明顯的數學知識點進行有效串聯，并對特定的數學應用問題進行一題多解。為充分提升學生舉一反三的數學解題能力，還需要將類比思維與多種數學問題應用場景進行有效融合，并對學生的類比思維應用過程進行全程記錄和跟蹤分析。

在高中數學課堂中，學生的類比思維可以體現在多個教學環節之中，但是需要著重強調舉一反三解題過程中的靈活性特征，并將類比思維與推理方法有效銜接，協助學生快速分類類比推理結論與方法，逐步強化學生對目的、意義、過程，以及結論等關鍵解題思路的認知理解與運用技能。由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則，其中“=”類比得到“=”，符合類比推理的基本規則，“=+”類比得到“=+”也符合類比推理的基本規則，能夠將代數與向量之間的共同點進行通用，體現出學生對類比推理方法以及結論正確性的基本判斷和分析能力。學生的類比思維，可以將個例與一般規律相分離，從個別到個別案例之間的通用性質，推理到一般到一般的問題解決層次之中。歸納和類比是高中數學學科非常關鍵的特征，因此，學生的類比思維能力可以間接體現出數學學科學習進程中邏輯思維的躍遷變化趨勢，在著重培養學生類比思維的過程中，需要鼓勵其舉一反三，但是需要對容易混淆的概念公式、知識點進行系統化建構，協助提升類比推理分析效率。

（三）明確類比解題步驟

在高中數學課堂中培養類比思維能力，需要重點明確類比方法的解題步驟和基本思路，并充分引導和鼓勵學生進行一題多解，合理運用舉一反三的思維方法，構造更加多樣化的類比解題思路體系。尤其對于數學概念、公式定理而言，利用類比思維方法能夠快速找到對應的相似特征和共同屬性，并對數學概念的記憶和掌握理解過程進行全面跟蹤和分析[4]。在詳細解析數理關系運算類題目以及平面空間位置關系類題目的過程中，需要合理運用類比思維方法，才能夠將基本解題思路與特殊的問題創設情境有機融合。在明確類比解題步驟的過程中，數學教師也需要重點關注學生是否能夠快速找到題目中的各項隱含條件與信息，并對類比解題過程進行全程記錄和分析，引導和鼓勵學生對不同解題思路進行分類匯總。

對于高中階段內的數學學科教學內容，學生需要逐步明確類比解題步驟，對位置關系類型、概念知識類型，以及幾何圖形特征類型的類比解題思路進行總結反思以及靈活運用。尤其對于位置關系類型的類比題目，學生需要尋找相似知識點之間的不同之處，靈活運用類比推理以及歸納推理等數學方法，還需要對具體案例具體分析，將類比解題思路的具體步驟進行辯證性分析，靈活運用高中數學知識點以及概念公式。學生普遍容易混淆平面與空間中的類比解題思路，不容易將抽象思維轉換成類比思維，因此難以提升解題效率。高中數學教師需要協助學生尋找適合自己的類比解題步驟，合理分類不同類比推理步驟的具體適用條件，將圓錐曲線、平面空間、運算法則、等差等比數列等具體應用類問題中的類比思維進行直觀展示和對比。明確類比思維在具體問題中的應用步驟，能夠有效協助學生養成良好的數學問題解決習慣，但是需要靈活運用類比推理方法和思維模式，避免學生陷入單一的類比推理誤區。平面幾何以及立體幾何中比較抽象的概念和公式，都需要通過類比思維和推理步驟體現在具體數學問題之中。

（四）養成自主學習習慣

在高中數學課堂中培養類比思維能力，還能夠輔助學生養成良好的自主學習習慣，并在自主學習和探究實踐過程中發現特殊類型事物之間的內在關聯性質和共通屬性。尤其在解題訓練過程中，學生需要充分運用類比思維能力，將高中數學概念知識體系結構中的不完善內容進行針對性的補充，并對觸類旁通的數學知識點進行關聯分析和有效串聯[5]。對于學生而言，科學運用類比思維能力，也能夠在自主學習過程中發現原有知識體系存在的不足之處，還能夠從不同的視角進行完善和補充。但是在培養類比思維能力的同時，高中數學教師還需要正確引導和鼓勵學生運用多種新型學習工具，并在自主學習環節中發現比較特殊的問題，充分發揮想象和創造能力，將類比推理分析方法與問題背景相互融合，實現更具有針對性的類比推理分析解題目標。

學生的類比思維，不僅可以體現在數學實際應用問題的求解過程中，還可以拓展到其他學科領域，有助于提升學生的邏輯思維嚴謹性，但是需要協助學生養成良好的自主學習習慣，在分組探討數學問題和其他生活類問題的過程中，引導和鼓勵學生對類比推理方法、過程結果的正確性進行深入探討，通過自主學習過程進行深度思考，逐步強化數學學科思維的靈活運用能力。除此之外，類比思維是高中數學學科重要的教學內容，也是體現多種數學思想的重要載體，還需要對數學概念公式中的共同屬性部分進行具象化表現，在學生建立類比項的過程中，師生需要進一步突出數學計算過程與結論推理的準確性進行全面綜合判斷，協助學生養成良好的數學思想方法運用習慣，將其在具體數學問題中的思維策略進行內在關聯?！笆谌艘贼~，不如授人以漁”，養成良好的自主學習習慣和意識非常關鍵，學生需要在數學教師的有效引導和實際問題指導下，對不同類別數學問題適用的類比方法和解題步驟進行反思總結，逐步形成系統化的數學解題結構體系。

二、高中數學教學中類比思維能力的培養路徑

（一）類比位置關系，深化抽象概念的理解

通過類比位置關系，能夠協助和引導學生進一步深化對抽象數學概念的理解能力。以新人教版高一必修第一冊教材為例，在《指數函數與對數函數》知識章節的課堂教學活動中，教師和學生需要將指數函數和對數函數在平面直角坐標系中的位置關系進行類比，并從函數圖像中的位置關系分布規律中發現不同函數的基本性質。在課后習題中，需要利用信息技術用二分法求函數的零點，需要精確到0.1級別，部分學生能夠充分運用輔助線或者其他工具，將該復合函數中的兩個簡單函數位置分布情況進行詳細的歸類和匯總分析，并從中發現一些比較特殊的性質。不同類型的對稱軸之間存在一定的位置關系，并且函數圖像中能夠充分體現出單調性和增減性相似的特點，還可以無限接近于兩個垂直坐標軸等。在類比兩類函數的位置關系過程中，部分學生也能夠進一步深化對函數概念的理解，還能夠將類比推理分析過程中的相關屬性和特征進行全面總結。

位置關系的類比，在高中數學課堂中的應用形式更趨向于多元化，尤其在對直線和圓的三種位置關系進行問題解析過程中，點和圓形之間的三種位置關系，可以類比到直線與圓形之間的位置關系，但是在對點以及直線位置關系進行類比推理之前，需要將點、直線以及圓形在平面幾何基本概念層面上的差異進行對比分析。在進行類比推理的過程中，還需要滲透運動觀點，將點作為直線在一個視角下的微觀表現形式，并將連貫的點延伸到一條直線上，客觀分析直線與圓形之間的位置關系，圓外、相交一個點、相交兩個點是學生能夠聯想到的位置關系。學生可以根據圖形的運動變化趨勢，類比出直線與圓形在某一個二維平面上的位置關系，并在計算機多媒體軟件上進行分類對比分析。學生還可以將相對運動等類比推理方法靈活運用在平面位置關系的判定步驟之中，可以將距離遙遠的直線與圓形，相對運動之后呈現相切以及相交兩種位置關系，并從靜止、運動狀態之中發現平面位置關系的變化規律。類比位置關系，需要借助多種數學教學工具，學生與數學教師在深入探討類比推理方法的過程中，需要對不同臨界點進行分類討論，逐步明確位置關系判定過程和結果的準確性。

（二）類比數學概念，厘清學習思路

通過類比數學概念的形式，能夠輔助學生進一步厘清數學學習思路，還能夠對特殊的數學概念知識結構進行全面梳理。以新人教版高一必修第二冊教材為例，在《平面向量及其應用》知識章節中，教師需要逐步引導學生類比平面向量和數軸的基本概念，并對平面向量的方向矢量性特征進行全方位解讀和理解分析。在已知點O的坐標為（0，0），點坐標為（1，2），點坐標為（4，5）的基礎之上，建立了的關系式，并且的取值為1，，-2以及2時，需要分別求出點的坐標。部分學生能夠充分借助平面直角坐標系認知和理解平面向量的基本表示方式，還能夠將其應用在立體幾何模型之中。數學教師需要協助學生對一些特定數學概念的基本表示方式和定理公式進行變式解析，并充分運用類比推理分析方法以及其他數學思想，將平面向量的運算規則與平面直角坐標系中的運算規則進行多層次類比。

對高中數學概念的類比，可以間接體現類比推理與數學思想的關聯性，但是需要對學生容易混淆的數學概念公式以及知識點進行分類總結，協助學生養成良好的類比推理分析以及歸納總結學習習慣。高中數學教師可以將平行四邊形、長方形、內角作為示范案例，其中平行四邊形、長方形以及內角三類數學概念屬于種屬關系，內角都相等的平行四邊形是長方形，長方形是平行四邊形的一種。因此，學生在排除錯誤選項的過程中，會將邊長都相等的三角形是等邊三角形，并非等腰三角形，排除錯誤答案。邊心距都相等的正六邊形并非多邊形，多邊形并非正六邊形的一種，排除錯誤答案?；￠L都相等的扇形并非圓形，圓形并非扇形的一種，排除錯誤答案。只有對角線都相等的菱形是正方形，是與題干邏輯一致的正確答案。高中數學的基本概念非常容易被混淆，因此，在類比數學概念的過程中，學生需要夯實基礎知識，合理運用類比推理方法中比較靈活的解題思路和步驟，夯實數學概念和公式等知識點。

（三）類比圖形特征，掌握重難點

通過類比圖形特征的形式，能夠輔助和引導學生快速掌握重難知識點，還能夠快速構建對應的知識結構體系。以新人教版高二選擇性必修第一冊教材為例，在《直線和圓的方程》知識章節的課堂教學活動中，直線和圓兩種圖形化表征形式都能夠充分激發學生的直觀想象能力，并從具體問題情境中抽象出對應的函數方程概念。通過類比直線和圓的圖形化特征，學生能夠快速找到直線與圓之間的位置關系和數量關系，并對兩者之間的距離計算方式進行有效梳理和總結分析。尤其是對于相離關系、相切關系以及相交關系三種重難知識點的課堂教學活動形式而言，在類比圖形特征的過程中，可以引導學生從直觀的圖形化平臺中發現兩者之間是否存在交叉點，并對兩者之間的位置關系進行詳細運算和比對分析，還能夠將其運算規律推導到圓和圓之間的位置關系判斷思路之中。

類比圖形特征，是高中數學課堂拓寬學生學習視野的主要創新教學方向，尤其通過直觀形象的圖形特征信息，例如，不同的簡單幾何圖形的位置變換，類比推理出下一個圖案的圖形轉化結果?；趫D形特征的類比推理應用題目，需要從具體圖像中合理分類代數和幾何特征，并將圖形特征的變化趨勢進行類比推理分析。以給出的函數方程式和平面圖像為例，則需要對函數解析式中的未知數進行類比，其中函數圖像涵蓋三個取值區間，不同的取值區間對應的函數圖像代表了反比例函數、冪函數等不同形式，因此需要對不同取值區間進行類比，并將不同區間內的函數圖像特征與解析式取值范圍進行類比。根據函數圖像中的有限圖形特征，可以快速計算得出各個極值點的坐標值，可以對不同解析式的未知數列出三個方程，并通過數形結合等數學思想分類討論函數解析式的多組解?；趫D形特征的類比推理數學應用題，能夠從多個角度考查學生對函數性質的理解和掌握能力，但是需要對取值區間對應的分類討論結果進行推理分析，及時排除無效選項。

（四）類比知識聯系，掌握知識結構

通過類比知識聯系的方式，能夠讓學生快速掌握對應的知識結構，還能夠將其拓展和延伸到其他層面之上。以新人教版高一必修第二冊教材為例，在《立體幾何初步》知識章節的課堂教學活動中，不僅需要重點培養學生的類比推理分析能力，還需要逐步滲透直觀想象思維能力。尤其對于空間幾何模型中的點線面位置關系判斷類問題而言，數學教師需要與學生共同探討和總結分析平面幾何模型與空間幾何模型之間存在的差異和聯系，并充分運用多種教學工具和手段，引導學生類比平面和空間兩大類知識體系之間的內在聯系，并對比較容易混淆的空間直線與平面的平行垂直關系判定規則進行辯證性的分析和解讀。通過類比知識聯系的方式，也能夠進一步提升和鞏固學生的數學思維層次。

學生在數學課堂中的思維訓練廣度、深度同樣重要，因此，需要合理類比知識點之間的聯系，協助學生掌握高中階段的數學知識結構體系。在平面幾何中，的兩邊和互相垂直，則有，將其拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積之間的關系，可以得出的正確結論是：設三棱錐-的三個側面、、兩兩互相垂直，則 ? ? ? 。在對平面問題與空間問題進行類比推理分析的過程中，大部分學生會第一時間篩選出平面與空間幾何特征信息，例如，多面體對應多邊形、面對應邊、體積對應面積、二面角對應平面角、面積對應線段長等。因此，在對三棱錐進行類比推理的過程中，學生需要類比勾股定理，將邊長類比成側面面積，即可得出。通過類比不同知識點之間的聯系，可以在拓展推理空間的基礎之上，有效關聯不同知識體系，著重體現學生在類比推理分析過程中數學概念公式以及知識點的靈活運用思路，并在高中數學課堂中客觀展示學生的類比推理步驟和經驗。

結束語

對于高中學生而言，在數學課堂中培養類比思維能力，需要充分借助多種教學情境的創設方式，并對特殊的數學概念和實際應用類問題進行有效歸類，才能夠通過類比的方式深層次挖掘相關事物之間存在的共通屬性以及相似特征。

參考文獻

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本文系福建省中青年教師教育科研項目（基礎教育研究專項）“新課程背景下培育學生深度學習新教材的有效途徑研究”（項目編號：JSZJ21067；福建教育學院資助）階段性研究

成果。