探究數形結合思想在高中數學教學中的應用

洪木山

摘 要：近年來，隨著我國教育事業的不斷發展，高考試題也在朝著越來越開放的方向不斷發展，高考命題的方式也越來越多元化，很多時候一道數學題會包含好幾個知識點，而要解決這些數學問題，需要學生對數學知識點的理解更加深入，運用更加靈活。為了達到這一教學效果，教師需要在高中數學教學中，靈活應用數形結合思想，不斷完善教學方案，以此來拓寬學生的數學解題思路，讓學生的數學解題效率越來越高，進而促使學生整體數學實力得以提升。文中結合筆者的教學經驗，對數形結合思想在高中數學教學中的應用策略進行探究，以供大家參考。

關鍵詞：數形結合；高中數學；數學教學

數形結合思想，其實指一種既涉及數字，又涉及圖形的思維模式，在這種思維模式下，學生可以將數字轉化為圖形，也可以將圖形轉化為數字，同時亦可以將數字和圖形進行互化[1]。數學是高中時期非常重要的一門學科，其主要是為了研究數量關系和空間形態，在教材中存在數字和圖形兩個部分。在高中階段的數學教學中，當學生遇到一些抽象、復雜的數學問題時，如果無法應用數字或圖形中的任意一個去解決它，那么就需要運用數形結合的思維方法，把原本抽象、復雜的數學問題簡單化，并由此來幫助學生明確解題思路，從而更好地解決這些數學問題[2]。高中數學教師必須在課堂中密切關注學生主體作用，同時積極地在課堂中滲透數形結合的思想，以此來幫助學生理解和掌握數學知識，進而有效地提升學生的數學解題能力。

一、數形結合的原則

數形結合思想是一種同時涉及數字和圖形的思維模式，即通過對數的嚴謹、形的直觀兩種特性的綜合應用來分析和解決數學問題的思維方式。簡單來說就是靈活對“數”與“形”進行轉換，將抽象的“數”以形象的“圖形”方式呈現出來[3]。將數形結合應用到高中數學教學中，可以通過對圖形的應用展現原本抽象的數學問題，從而可將數學知識、數學問題變得更容易理解、更容易感知，進而能夠達到降低學生理解難度，促進學生深度學習的效果，對提升高中數學教學效率及質量有積極幫助。

但需要注意的是，在高中數學教學中應用數形思想結合時應嚴格遵循兩個原則，其一，雙向性原則。雙向性原則也就是要對集合圖形進行直觀研究分析，這是由于幾何圖形的多種條件都可以實現對圖像的轉化，從而可以以圖像方式直觀地展現數學問題中所要推斷的位置條件。在此基礎上，再運用代數知識對數學問題展開邏輯分析，以彌補幾何直觀性給問題分析造成的約束，從而通過對代數抽象性以及幾何圖形直觀性等優勢的共同應用，發揮出更好的教學效果[4]。其二，等價性原則。等價性原則即應保證“數”的代數性質和“形”的幾何性質在轉化時應保持等價性。這是因為“圖形”雖然具有直觀性強的特點，但是其準確性難以有效保證，故而也有其自身的局限性，若不能與“數”的代數性質保持一致，則容易對解題情況造成影響。故而，在運用數形結合思想解決數學問題時，也應注意保持數形的等價性原則。

二、數形結合思想在高中數學教學中的價值

數學是一門內容豐富的學科，其學習內容可涉及數量關系、空間結構等多個方面?？梢哉f，數學是一種揭示事物規律的基本工具。數學的這一特性也決定了其內容必然存在有很強的邏輯性、抽象性及嚴謹性，這也就對學習者邏輯思維能力提出了更高的要求，需要學習者具備一定的數學思想。尤其是在高中階段，數學學習難度較大、學習壓力重、時間緊，僅僅依靠傳統的“題海戰術”方式進行機械化的練習鞏固，很容易出現事倍功半的效果，不利于學生學習效率的提升[5]。而數形結合思想則能夠通過數與形的有效結合，幫助學生學會從不同角度分析和解決問題，對降低數學學習難度，提升學生數學效率有積極幫助。具體而言，高中數學教學中數形結合思想的應用價值可以歸納為下述幾個方面：

（一）有利于激發學生的數學學習興趣

在高中階段的數學教學中，由于這一階段的數學知識難度越來越大，且大多數知識點都存在抽象性、象征性以及形式化的特點，很多學生學習起來會非常吃力，同時各種考試帶來巨大的壓力，讓學生對于數學學習的信心和興趣越來越低，甚至還有不少學生產生了厭學心理[6]。但是，通過在高中數學教學中應用數形結合思想，可以將原本抽象的數學理論和概念直觀形象地呈現給學生，以此來達到化難為簡的目的。這樣一來，可以讓學生在數學學習中重新建立信心，體會數學知識的魅力，從而有效地激發學生的數學學習興趣。

（二）有利于提高學生的數學理解速度

在高中階段的數學教學中，因為傳統教學方法上所存在的一些問題，使得學生在學習了新的數學知識之后，很難將其與舊數學知識串聯起來，從而影響了學生數學知識體系的構建。通俗來說，就是學生無法將所學的新知識與舊知識進行關聯，從而難以在解題過程中有效地運用這些數學知識[7]。但是數形結合思想的應用，是數字和圖像的一種轉換，這就在一定程度上推動了學生數學知識體系的建構，讓學生可以在學習新知識的同時完成舊知識的鞏固。另外，通過在高中數學教學中廣泛運用數形結合思想，也可以將原本抽象難懂的數學理論知識通過直觀的形式呈現出來，讓學生在數字和圖形的雙重輔助下，提升自身對數學知識的理解速度。

（三）有利于拓寬學生的數學解題思路

在高中階段的數學教學中，數形結合思想雖然不是唯一的數學解決方法，但是卻在數學解題過程中一種重要方式，它可以讓學生在面對一些問題時，幫助學生從更多角度去尋找問題的突破口，拓寬學生的解題思路，從而使學生可以采用一種更為簡單的新方式去解決數學問題。另外，在解決數學問題時應用數形結合思想，可以讓學生更加充分地提取和運用題干中的相關信息，從而大大地提高了學生的解題效率。教師在高中的數學課程中要注重數形結合思維的應用，在培養學生思想深度的基礎上，進一步拓展他們的數學解題思路。

（四）有利于提升學生的數學思維能力

步入高中之后，學生的思維也在發展，通過在高中時期應用數形結合思想，可以有效地提升學生的解題思維能力，讓學生從多個角度入手去思考和分析數學問題，從而實現學生數學思維能力的培養[8]。與此同時，在高中時期的數學教學中應用數形結合思想，可以讓學生的思想不斷在數字和圖形之間進行轉換，以此來鍛煉學生的思維。最后，數形結合思想的重點在于抽象思維與形象思維的相互轉變，這樣的一個過程，對于提升學生思維能力非常有益。

三、數形結合思想在高中數學教學中的應用策略

（一）運用數形結合思想解決集合問題

在高中階段的數學教學中，學生會遇到與“集合”相關的問題，在這部分內容的教學中，集合的并、補、交等概念相對來說會比較抽象，后續還要進行集合的基本運算，如果學生無法正確地理解和掌握集合的并、交、補的概念，那么在學習這部分內容時會非常吃力[9]。因此，教師在教學中，可運用圖示法等，讓原本抽象的集合概念變得簡潔、直觀起來，以此來幫助學生理解和掌握集合的并、交、補含義。在具體的實施中，教師可以先讓學生從字面上理解并、交、補各自的含義，然后教師再繪制Vemn圖，讓學生直觀地看到并、交、補各自的含義，最后教師再結合教學內容，為學生講解集合的并、交、補，如此一來，學生可以從多個角度去理解并、交、補的含義，從而為后續集合的運算打下基礎。

例如，在人教版高一數學必修一第一章《集合的基本運算》的教學中，當學生遇到集合問題“已知某一個班級有學生41人，其中喜歡吃橘子的有18人，喜歡吃香蕉的有16人，香蕉和橘子都不喜歡吃的有11人，現在我們要計算出既喜歡吃香蕉，也喜歡吃橘子的人有多少？”在解決這一問題時，教師可以先集合題目內容，將文本內容轉換成集合語言，即我們先將全班的總人數集合起來，表示為，喜歡吃橘子的人數集合起來，表示為，喜歡吃香蕉的人集合起來，表示為。然后繪制Vemn圖，將題干中的文字轉換為直觀的圖形，其中紅色與黃色相交后呈現的橘色部分，就是既喜歡吃香蕉，也喜歡吃橘子的人數。這樣一來，教師在進行集合相關知識教學時，通過數形結合思想的運用，不僅可以讓集合問題變得通俗易懂，方便學生理解學習，同時還豐富了課堂內容。

（二）應用數形結合思想解決方程和不等式問題

在高中階段的數學教學中，方程和不等式也是數學教學中不可忽視的內容，而在解決方程和不等式問題時，應用數形結合思想，可以有效地優化方程和不等式問題的解題方法，從而提升學生的解題效率[10]。因此，在“方程與不等式問題”相關知識的課堂教學中，教師往往能夠借助二次函數圖形，將一元二次不等式問題更直接地表現在圖形上，并由此來開拓學生的解題思維，從而提升學生的解題效率。

例如，在人教版高一數學必修一第二章《二次函數與一元二次方程、不等式》的教學中，當學生面對一元二次不等式問題“＞0”時，教師可以先將其轉換為二次函數，即，然后根據二次函數繪制圖像，確認二次函數圖像的開口向上，其在軸上的兩個交點是-2、3，也就是指題目中所給的二次函數，其圖像與軸有交點坐標存在，即（-2，3），從圖像可知，如果＞0，需要取交點兩側的值，即＜-2或＞3時才能滿足＞0，因此，一元二次不等式＞0的解集為{|＜-2或＞3}。除此之外，借助函數圖象求解方程的近似值也可以有效地簡化問題，如在求解不規則的方程時，教師可以將等式的兩邊分別設置成函數的方式，然后繪制函數圖象，函數圖象的交點就是方程的根。如一元二次不等式問題“已知方程|-1|=+1，求在不同取值范圍中，該方程的解?！痹诮鉀Q

這一問題時，教師可以先設置函數方式，即1=|-1|，2=+1，然后繪制圖像，觀察圖像的交點個數。因為1=|-1|是兩條拋物線，一條開口向上，一條開口向下，且與軸的交點為-1、0和1，而2=+1是一條平行于軸的直線，求解后可得，當＜-1的時候，1和2之間是沒有交點的，故而此方程無解；

當=-1的時候，1和2之間存在兩個交點，故而此方程有兩個解；當-1＜＜0的時候，1和2之間存在四個交點，故而此方程有四個解；當=0的時候，1和2存在三個交點，故而此方程有三個解；當k＞0的時候，1和2存在兩個交點，故而此方程有兩個解。通過這種以形化數的方式，可以有效地降低一元二次不等式問題的難度，教師應該多給予學生一些獨立思考的時間，讓學生充分考慮到其中的可能性，從而準確地解決此類問題。

（三）應用數形結合思想解決幾何問題

在高中階段的數學教學中，立體幾何是其中非常重要的內容之一，為了幫助學生掌握更多解決立體幾何問題的方法，教師在教學中應該重視數形結合思想的應用，以此來幫助學生突破思維的限制，形成較為完整的立體幾何解題思路。在具體的實施中，教師可以先對立體幾何的結構特點等進行分析，發現其中所存在的數量關系，然后利用數量關系來解決問題。

例如，在人教版高一數學必修二第八章《空間點、直線、平面之間的位置關系》的教學中，學生經常會遇到類似這樣的問題“已知有一個四棱錐，其底面是平行四邊形，且平行四邊形的為60°，=2，同時四棱錐的棱和平行四邊垂直?，F在要求和垂直”。在解決這一幾何問題時，不僅需要學生發揮自身的空間想象力，同時還需要學生運用數形結合思想，如題干中所提到的為60°，=2，通過這兩個信息以及余弦定理，學生就可以證明和之間是垂直關系，而由題目中得知和也垂直，和同屬于一個平面，這樣學生很容易就能解決這個幾何問題。另外，在解決幾何問題的過程中，教師還可以利用直角坐標系，讓數字和圖像結合得更加充分，從而有效地發揮代數等知識的優勢，幫助學生運用這些知識去解決幾何問題，進而提升學生解決幾何問題的能力。

（四）應用數形結合思想解決函數問題

在高中階段的數學教學中，函數問題既是重點也是難點，為了更好地幫助學生學習這部分知識，教師在教學中可以應用數形結合思想，對函數相關知識進行研究分析。在解決一些函數問題時，常常會借助直角坐標系來輔助問題的解決，通過直角坐標系的繪制，能夠清晰明了地表達函數關系，再利用函數解析式的精準計算，從而使得函數問題得到有效解決。在具體的實施過程中，教師需要積極地向學生灌輸數形結合思想，使學生能夠達到靈活運用的程度。這樣，學生在面對函數問題時，才能夠準確抓住函數問題的特征，促使學生解題思路得到拓展，更好地掌握函數相關的知識內容。

例如，在人教版高一數學必修一第三章《函數的基本性質》的教學中，學生經常會遇到如下類型的函數問題“已知有一個二次函數=（＞0），當＜0時，的值應該是什么？A.0；B.正數；C.負數；D.取決于符合”。在解決這一函數問題時，教師需要先繪制二次函數圖像，并計算=

與軸之間的交點坐標，即=0或者=-1，且由于的圖像開口向上，當＜0時，其的區間應該是（-1，0），區間長度是1，而由題干可知，＞0，將函數的圖像整體向上進行平移后，＜0的區間長度只會比1更小。因此，當＜0時，的值一定會大于0，由此可得，此題的答案為B。通過以上解題過程可以看出，數形結合思想的應用可以將原本較為抽象的函數關系更加直觀地表現出來，讓函數問題變得簡單，有助于學生掌握函數知識，學會運用函數知識解決問題。

結束語

總而言之，數學這門學科具備著非常強的邏輯性，其既研究空間圖像，也研究數量關系，數形結合思想的應用是非常有必要的。因此，在高中階段的數學教學中，教師應該從實際教學情況出發，靈活地運用數形結合思想去解決高中數學教學中所遇到的函數問題、集合問題、幾何問題、方程和不等式問題等，以此來降低題目的難度，幫助學生理解和掌握數學相關知識，拓寬學生解題思路，從而促進學生數學整體實力的提升。另外，除了文章中所提到的這些數學問題之外，數形結合思想的應用還可以幫助學生解決概率問題、數列問題等，為了確保數形結合思想的應用優勢得以充分發揮，還需要教師不斷創新和優化數形結合思想的應用策略。

參考文獻

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本文系泉州市教育科學“十四五”規劃（第一批）立項課題“新高考背景下“歷史傾向”學生的數學培優實踐研究”（項目編號：QG1451-177）研究成果。