整體把握的華麗轉身

王繼卿

［摘? 要］ 在初中數學教學中，教師應以情境為媒介、以自主自悟為過程、以梯度與層次為習題編制重點把握整體. 文章通過教師前后一年的教學變化，指出教學中創新不可或缺，知識上的前后勾連與整體把握不可或缺. 通過同課異構，發現新的教學方向、新的教學經驗和新的教學路線圖，意義重大.

［關鍵詞］ 整體把握；情境創設；自主自悟；螺旋遞進

引言

在初中數學教學中，如何讓知識體系由單薄斷層到豐厚連續，由無序的點到有聯系的線，由瑣碎掌握到整體把握，關系到學生“知識樹”的構建，以及學生素養的提升，不僅必要而且重要. 盡管部分知識之間、單元之間具有相對的獨立性，但也具有緊密聯系性. 葉瀾教授曾經提出要在“聯系中教學”，既包括知識的內在聯系，也包括生命活動諸方面的內在聯系，這里的“聯系”其實就是整體把握. 數學教師，應引領學生通過起承轉合，完成由“三維目標”到“核心素養”的轉變；應通過前后統整，完成由知識到能力的跨越；應通過單元梳理，完成知識內在機理上的結構性把握；應通過整體漸進的方式，實現教學效益的最大化. 教師一定要基于學生的負荷力與效能感，架構整體把握的課堂，既助力于難點突破，也助力于能力提高，更助力于素養提升，引領學生完成整體把握的華麗轉身.

從分數到分式，其中的“變”與“不變”意蘊十足，其承上啟下的意義，值得初中生深刻領會. 作為整式的一種補充，與此相關的諸多問題必須通過整體把握的方式涵泳：從數到整數，從簡單明了的固定范圍到具有多種可能的不確定范圍，分式在什么情況下有意義，如何將分式變形，作為分母的值為什么不能為零，約分與通分的依據是什么，深刻理解“分式及其基本性質”，對于學生后續學習分式方程和反比例函數究竟有什么幫助……弄懂諸如此類的問題，厘清其中的內在機理，對內生性提升學生的思維水平意義重大.

職業使然，一年前，筆者聽過市級骨干教師李慶智執教的“分式及其基本性質”（華師大版）一課，其中的一些講授細節到今天仍然記憶猶新. 時隔一年，近日筆者再次聽他執教的這一課. 同樣的內容，同樣的執教者，但課堂架構、教學走向、學生反應、教學源頭和教學理念等，都有所改變，其中的一些創新值得深思與借鑒. 如何大膽地“增”、如何勇敢地“刪”、如何巧妙地“補”、如何進行結構性把握、如何進行整體性架構，這一次，李慶智老師為大家提供了新的教學方向、新的教學經驗和新的教學路線圖.

以情境為媒介把握整體

整體把握的方法很多，最常見的莫過于理論歸納與情境滲透. 初中生的形象思維發達，具象記憶牢固，通過情境滲透更能達到事半功倍的效果. “入境始于親”，適宜的情境直指學生的情緒層，能引發學生積極的學習反應，促使學生高效把握整體. 當學生沉浸在情境中時，植入感顯得自然而然，學習效能感更加明顯.

毋庸置疑，對于“數與式”之間、“分數與分式”之間的區別，對于兩者的指向范圍，對于兩者的基本性質，相當一部分學生還是比較清楚的. 當然，兩者的獨立性與關聯性，“同”與“不同”的細微差別，分母不等零在分數與分式中的不同重視情況，等等，還有待進一步理解與鞏固. 如何較為細微地進入到一種由此及彼的知識勾連的情境中，如何在具體的情境中把握整體，這些考驗著教師的教學水平. 畢竟，由舊知到新知，內在關聯上的明晰是大有必要的.

且看李慶智老師前后一年課的不同設計及環節：

【一年前】回想一下，小學階段我們學過的分數以及分數的基本性質. 回顧一下，初一時我們學過的相關知識，其中有整式這個概念，它能夠表示一定的數量關系. 但是，僅僅用整式表示數量關系，有時在現實中是不夠的. 大家都知道分母中出現字母的就不是整式，既然不能稱作是整式，那么應該稱作什么呢？應該稱作分式. 今天，我們就來學習有關分式的基本知識.

【一年后】設計游戲，有六張卡片分別寫有“3，5，a，b， t+c，w-6”，請你任選兩張卡片，運用“+，－，×，÷”四種運算符號，組合成幾個新的式子，然后用你的火眼金睛分辨：哪些是我們曾經熟悉的“老面孔”，哪些是我們未曾見過的“新面孔”. 這些“新面孔”究竟有什么新的特點？

不難看出，一年前的新課以理論開路，從舊知復習到新知引入，采取的是開門見山的方式，而且主要發揮的是教師的主導作用. 這種方式比較常見，而且也比較傳統、比較平淡. 由此，學生的興趣缺乏、注意力渙散以及課堂效果低下，也就不足為怪.

一年后的新課則有意識地打破了平淡、傳統、常見的植入方式. 筆者驚喜地發現，李慶智老師以情境為媒介把握整體，一方面較快地激活了學生學習的興趣，另一方面以新的架構方式改變了新知的引入過程，使之變得自然而然，變得生動有趣. 僅僅從理論灌輸到游戲互動的過渡，新式子的紛紛“出籠”變得自然而然.

長期以來，數學教師有意無意忽略了情境的力量，包括李慶智老師一年前的教學，總是以理論的直接灌輸為特征，而缺乏鮮活情境的支撐. 而這一次，李慶智老師超越自我，打破了原有秩序，通過情境促使學生思維開闊與伸展. 可見，從鮮活的情境中把握整體，給學生新奇感和代入感，使學習效果事半功倍.

以自主自悟為過程把握整體

整體把握的能力是靠教師一次次強調去提升，還是靠學生一點一滴自主自悟提升呢？顯然，后者才是更值得稱道的. 無疑，當學生主動進行思維上的爬坡，自覺進行相關知識點的本質勾連，自愿進行學習內容的機構性把握，那么數學學習中“只見樹木不見森林”的現象將不復存在. 相反，知識之間的系統組合、學習上的舉一反三、效果上的事半功倍必將成為常態.

關于分式的基本性質，給學生直接出示公式是一種方式，給學生順溜的口訣也是一種方式. 比如，一年前的李慶智老師引出分式概念后，直接在大屏幕上出示口訣：“分式形式像分數，分母為零無意義……”口訣前后押韻，朗朗上口，學生很容易記住. 但是，對于“為什么分母為零無意義”等問題，學生缺乏一個必要的、合理的、由此及彼的推理過程，缺乏對其內在規律質疑、交流而達成共識豐富的過程. 事實上，這個過程或這個順序不可或缺——做精做活思維爬坡的過程，對于學生思維能力的提升、質疑精神的萌芽、數學經驗的積累是有好處的.

對此，一年后的李慶智老師不再急于給學生呈現公式及口訣，而是不疾不徐，先從學生的自主探索開始，慢慢引出相關概念，再把字母引入到分母的游戲中，李慶智老師并沒有直接歸納分式的定義，而是拋出一些針對性較強的問題讓學生自主探究：“這些陌生的‘新面孔與我們曾經學過的分數有相同點嗎？有不同點嗎？其異同在哪里？你能試著用自己的語言，抓住其不同點總結其本質嗎？”“如果讓你給分式或其基本性質下一個定義，你認為要注意的核心是什么？”

李慶智老師的這一探究環節，讓聽課的老師不免擔憂：這樣行嗎？學生能用自己的語言總結分式的本質嗎？如果學生對“分式”的基本定義模棱兩可，其總結的分式的本質會不會偏離核心概念的范圍？相較于個別老師的擔心，事實上，了解李慶智老師的部分聽課老師一直很篤定，因為他們知道李慶智老師的教學追求與風格：沒有一定的把握，李慶智老師不會在公開課中直接“實驗”，不論什么樣的教學設計或細微環節，都彰顯著李慶智老師對學生的信任，彰顯著李慶智老師對教學課堂的正確架構，彰顯著李慶智老師建立在自信基礎上的教學創新.

事實證明，李慶智老師放權并非沒有道理，學生的歸納盡管不精練、不全面，但已經很不錯了，尤其當李慶智老師引導學生比較分數與分式時，學生隨后的回答已經無限接近正確答案了：“因為分母與除數一樣，不能為零. ”“對，分母不等于零這一點太重要了. ”“從整體上看，分式與分數的形式是一樣的，只不過，字母意味著多種可能，取值范圍更廣，因而分式更具一般性與廣泛性.”“既然分式與分數有雷同點，那么分數的基本性質可以運用到分式上.”……諸如此類的回答中，聽課老師發現學生都能用已有的數學經驗解決新問題，初步具備了舉一反三的意識與能力. 而這，既得益于教師放權，又源于教師恰到好處的引領. 通過類比思想將相關知識統領在一起的方法一直滲透其中，師生共同實現了整體把握的華麗轉身.

以梯度與層次為習題編制重點

把握整體

概念明晰后，通過一定分量的練習鞏固是數學教學中的常態. 一年前，李慶智老師出示了相當分量的習題，以便鞏固學生所學. 其中的一些習題綜合囊括了本課的學習重點及基本目標，包括不改變分式的值，使分式的最高次項系數都為正數、都不含“-”號、都為整數等. 事后證明，預料中的順暢與精彩并沒有如期而來，學生解答上的含糊與思維上的障礙是必然存在的. 通過認真反思，李慶智老師意識到，習題編寫過程中未能注重梯度與層次是主因，未能依據學生的認知特點編制習題是次因.

一年后，李慶智老師避免了上述問題，不再像以前那樣無順序、無梯度、無層次編制習題，而是從學生的認知規律出發，由易到難，螺旋上升，整體訓練.

問題1：如何理解分式的變號法則中的“同時改變”和“只改變其中一個”之含義？

問題2：化簡.

上述題型，既有概念理解，也有方法反思；既有達標訓練，亦有變式訓練. “問題1”強調分式的變號法則的不可動搖性，可以避免變形與運算時出現錯誤. “問題2”的化簡呈現出了如下梯度與層次：從沒有系數到系數的出現再到系數符號的變化，從分子、分母是一個多項式到兩個都是多項式. 這樣的題型具有較強的邏輯性、遞進感與內在聯系性，學生由此充分經歷了循序漸進的過程. “問題3”有一定的難度，既是對分式有意義的綜合印證，亦是對分式的值為零這個條件的綜合運用，更為后期檢驗分式方程是否有增根奠定了基礎. 這樣的題型銜接舊知與新知，不失為一次整體性回籠，也是有意義的結構性把握. 如此的“由根生干，由干生枝，由枝生葉”，既是數學有序學習的需要，亦是學生嚴謹性思維提升的需要.

在初中數學教學中，知識的銜接點、內容的生成點、方法的拓展點需要教師把握整體. 關鍵在于，這樣的整體把握是否基于學生學習的效能感與可塑性，是否幫助學生經歷了完整的螺旋上升過程，是否真正提升了學生思維的廣度、寬度與深度. 教師應該綜合運用“連線串珠”的方法，變“零散割裂”為“起承轉合”，為高效課堂賦能，為學生思維提升助力.

結束語

實踐證明，整體把握能夠實現零散知識之間的本質勾連，有利于學生整體觀、大局觀、長遠觀的形成，有利于學生思維的開闊與素養的提升. 一年前和一年后，不僅是教學資源、教學框架和教學路線圖的變化，更是教學哲學的重建，是“以生為本”理念的適中落地和整體把握的華麗轉身.