5G時代數學實驗混合式教學的設計與思考

張科

［摘? 要］ 隨著5G時代的到來，學生的學習時空發生了巨大變化，網絡與面授混合式教學將成為未來教育的“新常態”． 例談初中數學實驗混合式教學的設計與思考，將信息化互動實驗課堂與傳統實驗素材相結合，討論教學中線下動手操作與線上分享交流、學科特點與白板之間的問題，給出優化策略，改進幾何教學，培養學生的幾何直觀．

［關鍵詞］ 混合式教學；初中數學實驗；希沃白板；動態幾何軟件

前言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確了促進信息技術與數學課程融合的理念，即合理利用現代信息技術，設計生動的教學活動，促進數學教學方式方法的變革，教師可利用數學軟件等教學工具開展數學實驗，將抽象的數學知識直觀化，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構? ［1］. 在新課標背景下，隨著5G時代的到來，線上線下混合式教學將成為未來教育的“新常態”，2020年加快了這一進程. 混合式教學是面對面教學和網絡教學兩種教學模式按照一定的比例合理混合以達到最佳的教學效果，并完成學習目標的新模式.

數學實驗是學生動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式? ［2］，傳統實驗教學的實物素材在給學生看得見摸得著的直觀體驗的同時，卻常受限于數量有限以及尺寸固定等原因，在數學實驗試錯、成果展示等方面影響學生線上線下課堂探索. 交互式課件制作軟件“希沃白板5”（簡稱白板）已逐漸成為課堂教學的常態化教學工具，“幾何畫板（Sketchpad）”“網絡畫板（Netpad）”“GeoGebra（簡稱GGB）”是適合學科特點的動態幾何軟件，本文以蘇科版《義務教育教科書·數學實驗手冊》? ［3］“拼圖與乘法公式”一課為例，在傳統實物素材的基礎上增加學生易于上手的計算機模擬實驗過程，實施初中數學實驗混合式教學，體現信息技術對于數學實驗教學的助力，實現當代教育對信息技術與學科深度融合的要求．

教學過程

1. 知識回顧，提出問題

教師按圖1的方式將6張長、寬分別是a，b的小長方形桌面拼接起來，利用整體與部分的等積表示，得到3a·2b＝6ab，并拼圖驗證“單項式×單項式”的運算法則；教師按圖2所示的方式計算推拉窗的等積關系，得到a （b-c） ＝ab-ac，并拼圖驗證“單項式×多項式”的運算法則，讓學生體會等積既可以部分拼接整體，也可以整體裁切部分；通過計算圖3①所示的菜園面積，得到（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd，并拼圖驗證“多項式×多項式”的運算法則，同時在白板中內嵌動態幾何軟件制作的GIF動圖——圖3②，讓學生從中體會等式的一般性．

技術解密?①本環節不僅大量利用了白板強大的動畫效果，而且使用了精美的圖片，快速吸引住了學生的眼球. 但需要教師備課時花費精力利用白板的“去背景”功能摳圖，使圖片與教學主題相契合，提高教師的教學效率．

②在拼圖驗證整式乘法法則的過程中，可使用“蒙層”工具，模擬數學課堂的推演過程．

③當長度a，b，c，d發生變化時，將動態幾何軟件制作的GIF格式的圖片嵌入白板中，這樣做的優點是避免了教學過程中動態幾何軟件與白板軟件的相互切換，打破了軟件壁壘，保證學生有連續的視覺過程以及連貫的思維過程．

2. 引出課題，開展實驗

在剛才的研究過程中，學生發現通過拼圖可以驗證一些等式，于是教師明確課題為“拼圖與乘法公式”，研究方法為等積法，從而確立研究方向和方法，引發學生思考．

（1）探索和的完全平方公式.

引導學生剪下《數學實驗手冊》附錄5中的1張A型紙片、1張B型紙片、2張C型紙片，拼成大正方形，并請學生展示自己的拼圖，用不同的方法表示該正方形的面積. 在初中數學實驗混合式教學中，并沒有摒棄傳統的實驗素材，學生不僅能在手中體驗各型紙片的拼接，也能在白板中無縫展示實驗成果，解決線下動手操作與線上分享交流脫鉤的痛點．

如圖4所示，從圖形來看，拼好的大正方形的邊長為（a＋b），面積為（a＋b）2，若看成四部分面積和，則為a2＋2ab＋b2，于是得到和的完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.從符號來看，左側（a＋b）2即（a＋b）（a＋b），使用整式乘法法則也能驗證其正確性. 這說明等積變換和多項式乘法法則是相通的，完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2就是“多項式×多項式”，即（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd中c＝a，d＝b的特殊情況，它們其實是同一對象的圖形表征與代數表征！

追問：你能用這張拼圖來解釋a2＋b2這個代數式的幾何奧秘嗎？還有其他求面積的方法嗎？你能根據等積法寫出一個等式嗎？（a2＋b2表示邊長分別為a，b的兩個正方形的面積和，而且這兩個正方形的面積和也可以看成邊長為（a+b）的大正方形的面積減去兩個相同的長、寬分別為a，b的長方形的面積，所以有等式a2＋b2＝（a＋b）2－2ab. 觀察得到的等式，與完全平方公式相比，只是將2ab移項而已，原來同一圖形轉換等積計算對象，能使乘法公式變形?。?/p>

技術解密?①在線教學時教師可將白板互動課件分享給學生，課件支持電腦、一體機、網頁和手機兼容顯示，多種設備可以無縫操作，便于學生隨時隨地開展實驗探究及成果分享.

②拼圖時使用白板的“克隆”與“拖動”功能，能將 A型、B型、C型紙片拖動出無限個副本，保障學生與幾何對象的自由互動，依照自己的目標與想法去操作幾何對象，觀察其中的性質或關系，為學生提供一個探索實驗的環境，培養學生的幾何直觀素養．

③在拼圖驗證的過程中，當學生完成拼圖得到等式后，使用白板的“縮放”功能，將圖形縮小并設置“克隆”，分別選中對象后拖出1張A型、2張C型、1張B型紙片，利用“＝”“＋”連接起來，并適時顯示完全平方公式，使學生理解數與形的對應關系，簡潔明了．

（2）探索差的完全平方公式，以及和與差的完全平方公式的關系.

抓住知識的生長點，提出為何研究乘法公式. 用圖形表征“正方形”，用代數表征“和的平方”，明確接下來研究的對象為“差的平方”．

提出問題：你覺得（a－b）2的幾何表征是一個什么樣的圖形呢？學生經過激烈討論認為，這是一個邊長為（a－b）的正方形. 教師提示：利用剛才的4張紙片拼出邊長是（a－b）的正方形，可能需要裁剪.拼出圖5后可獲得差的完全平方公式（a－b）2＝a2－2ab＋b2.

取4張C型紙片，動手拼成如圖6所示的圖形，讓學生利用等積法嘗試寫出一個等式.有了前面的探究經驗，通過研究對象的兩種等積表示，得到等式（a＋b）2－（a－b）2＝4ab. 這樣學生就找到了和、差的完全平方之間的關系，同樣可以使用符號語言進行驗證，體現數與形的高度統一．

技術解密?可以使用白板授課模式下的“筆”工具代替傳統課堂的板演評析，其優勢是更易獲得圖形和移動圖形，對同一圖形進行講解時可隨意切換粗細與顏色，指向清晰明確，更方便網絡與面授混合式實驗教學．

（3）探索平方差公式.

探索和的平方（“和×和”）與差的平方（“差×差”）后，猜測下一步的研究方向為“和×差”.取出圖7所示的紙片，標注邊長，將它裁剪成兩部分后拼成一個長方形，利用等積法嘗試寫出一個等式.

學生沿圖8的方式裁剪紙片后拼成一個長方形，這個長方形的長為（a＋b），寬為（a－b），于是得到平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2，說明研究方向是正確的．

（4）平方差公式的應用.

實驗教學進行到這一環節，已明確“知識是什么”，從“知識去往何處”這一生長點出發，研究其應用．

乘法公式因其特殊性不僅對學生以后學習一元二次方程、二次函數等知識有很重要的作用，也會為一些運算帶來簡便方法，比如：

①圖9①由2個邊長分別為100和99的正方形重疊而成，求圖中陰影部分的面積.

②圖9②由100個邊長分別為100，99，98，…，2，1的正方形重疊而成，按這種方式重疊而成的圖形中的陰影部分的面積是多少？

師生活動：使用平方差公式的逆運算解決問題（針對第②問）.

1002-992=100+99；

982-972=98+97；

962-952=96+95；

…

22-12=2+1.

所有等式相加，即得陰影部分的面積為5050.改變內外正方形的邊長之差，仍可使用平方差公式的逆運算解決問題．

技術解密 ①圖9、圖10這種絢麗的動圖由動態幾何軟件中的“深度迭代”功能制作而成，可見動態幾何軟件對于復雜圖形的生成性能十分強悍．

②此處不僅可以將高幀率的GIF動圖嵌入白板，還可以將網絡畫板嵌入白板，學生依照自己的目標與想法操作幾何對象，觀察其中的性質與關系．

3. 小結與思考

（1）完全平方公式的對立與統一.

通過拼圖探究，學習了兩個完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2和（a－b）2＝a2－2ab＋b2，其實，它們可以合二為一，即將－b看成整體，則（a－b）2為 ［a＋（－b）］2，如圖10所示，它們在圖形表征上也可以互相轉化！

技術解密?圖10將網絡畫板嵌入白板，學生通過使用“拖動”功能，輕松從圖形上理解兩個完全平方公式的對立與統一．

（2）互動游戲.

為檢驗學生的掌握情況，可讓學生組隊參加如圖11所示的“數學實驗運動會”PK賽，組長成立“智囊團”幫助小組獲勝，勝負后使用“班級優化大師”及時進行評價和反饋．

技術解密 白板“課堂活動”有幾種不同的形式，分別為“趣味分類”“超級分類”“選詞填空”“知識配對”“分組競爭”“判斷對錯”等，本環節使用的是“判斷對錯”這一形式.活動中有緊張刺激的背景音樂與立即反饋正誤的動畫效果，把傳統課堂中反復乏味的練習變成緊張刺激的互動游戲，學生都沉浸在游戲氛圍中，使課堂活動不再是教師一個人的活動. 游戲結束后可以選擇再玩一次或查看答案，加強練習的多樣性、趣味性和利用性，可以大大加強學生的參與意識，提高學生的學習效果. 比賽結束后，使用“班級優化大師”及時對每一個小組進行點評，反饋學習效果，方便課后查漏補缺．

（3）猜想三項完全平方公式、完全立方公式與立方差公式的圖形表征.

①對于（a＋b＋c）2，你能設計一個拼圖游戲嗎？是什么圖形？大概形式是什么？是四項還是五項？②完全立方公式（a＋b）3對應什么圖形？（棱長為（a＋b）的立方體，研究其體積，利用等體積法驗證）③立方差a3－b3呢？（棱長為a的立方體挖去一個棱長為b的立方體）. 為學生搭建增強現實（AR）環境繼續數學實驗探索，撰寫實驗報告記錄發現．

技術解密 隨著5G網絡速度和芯片算力的增強，便攜式增強現實（AR）、虛擬現實（VR）交互設備被普及到民用領域. 基于高速網絡的三維動態圖形的可視化技術被運用于實驗教學環境. 在現實環境下搭建虛擬的立方體圖形，可以幫助學生從二維跨越到三維，跳出等積法僅是等面積的思維慣性. AR可以讓任何一種數學對象隨時與現實世界交互，從而突破傳統實驗器材的時空限制，為學生在網絡空間自主學習提供了可能．

一些思考

5G時代的信息技術對豐富學生的認知過程提供了技術革新，先進的圖形工具可以幫助學生實現思維過程“可視化”，實驗操作“交互化”，提高學生的思維品質和關鍵能力．

1. 混合式實驗教學有助于直觀體現數學核心思想

在傳統的初中數學實驗教學中，教師經常使用實體實驗材料進行探索，無法突破其局限性，而信息技術的發展為數學實驗教學提供了更有利的條件. 數與形是初中數學的兩大支柱，數形結合思想就是通過以數解形或以形助數的方式探索數學問題. 本課例幾乎每一個環節，都滲透著數形結合思想. 例如，在“探索和的完全平方公式”環節中，使用白板的“克隆”功能，繪制一個圖形驗證等式，與符號等式一一對應. 在“完全平方公式的對立與統一”環節中，學生依照自己的目標與想法拖拽圖形，理解兩個完全平方公式的統一. 在“猜想三項完全平方公式、完全立方公式與立方差公式的圖形表征”環節中，為學生搭建增強現實（AR）環境，研究三項完全平方公式、完全立方公式與立方差公式，將數學實驗探索延伸到課后. 這些混合式教學操作環節在傳統的數學實驗教學中很難實施，但依托技術卻能輕松實現. 對于傳統的數學實驗材料，手腦協同仍有易于操作的優勢，故筆者在混合式教學設計中，并未舍棄傳統. 5G時代技術賦能的混合式實驗教學，與傳統的紙片類實驗教學并非對立，在技術與課堂融合的過程中完全可以取長補短，兩手抓兩手都要硬．

2. 混合式實驗教學能夠培養學生的創造力、激發學生的探究興趣

教育的本質在于參與，要求教師充分調動學生的積極性、主動性，培養學生的創造力，讓學生積極、主動地參與課堂活動. 例如利用白板“克隆、拖動”的功能，可以輕松實現拼圖過程，直觀體現部分與整體，完成拼接與裁剪；“筆、擦除、蒙層”等書寫推演工具便于屏幕批注，可以及時將學生的個性思維記錄下來并呈現出來，將傳統的PPT固定預設式線性課堂教學轉變為隨時可以將學生的思維呈現出來的動態非線性課堂教學，整個過程培養著每一個學生的個性與創造力. “判斷對錯”等課堂活動，在規定時間內營造的緊張感，背景音樂營造的氛圍感，當即反饋正誤的動畫效果營造的輕松感，將枯燥的習題變為緊張刺激的游戲，能夠激發學生的興趣，捕捉學生學習的閃光點，使學生在課堂中的表現一目了然，讓學生在每一次及時的評價中不斷進步和發展. 可見，混合式實驗教學能包容學生的個性，培養學生的創造力，激發學生的探究興趣．

3. 混合式實驗教學有益于教師“增效減負”，回歸課堂

實驗教學中的圖形，在互聯網上下載后可使用白板自帶的圖片工具加工處理使用. 因學科特點，部分幾何圖形可以用動態幾何軟件制作成GIF動圖. 如果需要在混合式實驗教學中為學生提供一個自主探索的實驗環境，讓學生依照自己的目標與想法操作幾何對象，可將網絡畫板嵌入白板. 另外，白板的定時自動保存功能可將課件數據及時備份到云端，備課再也不用“返工”，使數據安全問題得到了解決. 在5G時代，技術與教學相互融合，有助于教師高效備課，將更多的精力和時間用于關注學生與課堂本身．

在高速度、強算力的5G時代，以人工智能、區塊鏈、物聯網為代表的新一代信息技術已經滲透到了生活的方方面面，VR、AR等計算機視覺技術突破了時間、空間維度的限制. 和生活中其他領域一樣，學生也迎來了全新的實踐性學習環境和沉浸式學習體驗. 將技術作為學生學習數學和交流溝通的工具，讓其投入到更有價值的數學探索活動中去，混合式實驗教學成了一種嶄新的數學教學方式. 混合式實驗教學可借助技術設計開發低成本、高效率的數字化工具，讓學生在網絡實驗教學和面授實驗教學的操作活動中都能獲得真實的學習體驗. 激發“我想做”“我能做”的認知情懷，驅動“我也想知道”“我也能學會”的內在認知興趣，通過實踐創新，激活思維發展. 在問題解決的過程中，學生逐步體會數學知識之間、數學與生活之間的聯系，開闊視野，激發創造力，提高信息素養? ［4］，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部． 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］． 北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］董林偉． 初中數學實驗的理論與實踐研究［M］． 南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2016．

［3］董林偉． 數學實驗手冊［M］． 南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2015．

［4］義務教育數學課程標準修訂組． 聚焦核心素養指向學生發展——義務教育數學課程標準（2022年版）解讀［J］． 基礎教育課程，2022（10）：12-18．