帶有Hardy-Sobolev臨界指數的 橢圓型方程解的存在性

楊 帆,王琳琳

(魯東大學數學與統計科學學院,山東 煙臺 264039)

本文將研究帶有Hardy項和Hardy-Sobolev臨界指數項的奇異型橢圓型方程

(1)

(A)a(x)在N{0}上非負局部有界,在以原點為中心的有界鄰域G中a(x)=O(|x|-m),當|x|→∞時,a(x)=O(|x|-t),0≤m

方程(1)對應的能量泛函為

(2)

橢圓型方程在流體力學、彈性力學和幾何學中都有重要作用。大多數學者研究在有界域且帶有Hardy項和Hardy-Sobolev臨界指數項的橢圓型方程[3-6]:

(3)

其中Ω是N(N≥3)中一個有界的開子集,0≤s<2,2*(s):=2(N-s)/(N-2)是Hardy-Sobolev臨界指數,當λ1在一定范圍內,f1(x,u)滿足一些條件時,研究方程(3)解的存在性。文獻[7]證明了帶有Hardy項和Sobolev臨界指數項的奇異型橢圓型方程:

(4)

其中Ω是N(N≥3)中一個有界的開子集,λ2在一定范圍內,滿足一些條件時,方程(4)有多個非平凡解。在全空間上帶有Hardy項,Sobolev臨界指數項或Hardy-Sobolev臨界指數項的橢圓型方程的研究也取得一些成果[8-12]。在全空間上帶有Hardy項和Sobolev臨界指數項的奇異型橢圓型方程有解的結論[2],那么在全空間上帶有Hardy項和Hardy-Sobolev臨界指數項的奇異型橢圓型是否有解?通過運用Hardy不等式,Hardy-Sobolev不等式以及山路引理證明了方程(1)有非平凡解。主要結果如下:

定理1假設a(x)滿足條件(A)且

則方程(1)至少有一個解。

本文出現的Ci(i=1,2,3,…)表示不同的大于零的常數。

1 準備工作

引理1(Hardy不等式)[1]設1

特別地,當p=2時,該不等式為

引理3 (山路引理)[13]設E是Banach空間,能量泛函J∈C1(E,),J(0)=0,滿足條件:

(i)存在γ,ρ>0,使得當u∈Sγ={u∈E:‖u‖=γ}時,J(u)≥ρ。

(ii)存在e∈E,使得當‖e‖>γ時,J(e)≤0。

的解,且滿足

其中As為最佳常數,

當R<|x|<2R時,0≤φ(x)≤1。

‖vε‖2=As+O(ε(N-2)/(2-s))。

(5)

引理5 若a(x)滿足條件(A)且

則ε→0+時,

證明設ωN表示N維單位球體的表面積,當1≤q<2*(m)時,

分類討論:

即

(6)

(7)

由式(7)得,

(8)

(9)

由條件(A),式(8)和式(9)得,

(10)

當ε→0+時,由式(5),式(6)和式(10)得,

(11)

由式(5)和式(11)得,

因此,結論得證。

證明由J(un)→c,J′(un)→0,得J(un)=c+o(1),〈J′(un),un〉=o(1)‖un‖,

o(1)+o(1)‖un‖+2c=

2J(un)-〈J′(un),un〉=

由

o(1)+o(1)‖un‖+C8,

令vn=un-u,由文獻[15]的Brezis-Lieb引理得

‖un‖2=‖vn‖2+‖u‖2+o(1)。

(12)

由

〈J′(u),u〉+‖vn‖2+o(1)=‖vn‖2+o(1),

因此,結論得證。

2 定理1證明

3 結 論

本文是文獻[2]的推廣,文獻[2]通過運用Hardy不等式和分析技巧得到所需要的條件,運用Brezis-Lieb引理和反證法證明(PS)c序列強收斂,最后運用山路引理證明非平凡解的存在性。本文中s的限制條件為0≤s<2,當s=0時,方程(1)非平凡解的存在性即為文獻[2]所研究的內容,本文還運用Hardy-Sobolev不等式,證明(PS)c序列強收斂并沒有運用反證法。下一步工作是研究方程(1)非負解以及多解的存在性。