Heisenberg群上帶漂移項的次橢圓方程組弱解的正則性*

段國強,廖冬妮,朱 彥

(贛南師范大學 數學與計算機科學學院,江西 贛州 341000)

0 引言和主要結果

本文研究Heisenberg群上帶漂移項的齊次次橢圓方程組,形如

(1)

其中Ω?Hn=2n+1為有界區域,

近年來,次橢圓方程(組)弱解的正則性研究得到廣泛關注, 并取得豐富成果,詳見文獻[1-9].眾所周知,帶漂移項算子具有重要的理論和應用意義,這類算子通常出現在物理學、自然科學和統計模型等傳輸擴散方程中.最近,ZHANG和NIU在文獻[10]中研究了Heisenberg群上一類帶漂移項的擬線性次橢圓方程,并建立弱解的C1,α正則性,進一步地,ZHANG和WANG在文獻[11]中考慮了帶漂移項的具有VMO系數的次橢圓方程組,證明了弱解的C0,α部分連續性.然而,當系數為H?lder連續時,Heisenberg群上帶漂移項的次橢圓方程組,其弱解的C1,α正則性如何建立?

本文將應用Heisenberg群上的A-調和逼近技巧,克服帶漂移項沒有先驗假設和方程組書非線性的困難,得到弱解的最優C1,α連續性.

(2)

其中K(·)∶[0,∞)→[0,∞)是單調遞增的.不失一般性,取K(·)≥1.

由(H1)知:存在一個連續的非負有界函數ω(s,t)∶[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)使得

(3)

其中ω(s,0)=0,并且對于固定的t,ω(s,t)對s是單調遞增的;對于固定的s,ω(s,t)對t是凹的且單調遞增的.

由(H2)得

(4)

其中λ′為正常數.

本文的主要結果如下:

定理1在結構條件(H1)-(H3)假設下,設u∈HW1,m(Ω,N)是方程組(1)的弱解,即

則存在一個開子集Ω0?Ω,有u∈Γ1,γ(Ω0,N),γ與(2)式一致.此外,Haarmeas(ΩΩ0)=0,ΩΩ0?Σ1∪Σ2,其中

1 Heisenberg群基礎知識

Heisenberg群Hn=2n+1定義群乘法為:其中

零元素為0,并且(ξ1,t)的逆元為(-ξ1,-t),其相應Lie代數的一組基向量場為:

(5)

關于Lie括號滿足:[Xi,Xn+i]=-[Xn+i,Xi]=T,[Xi,Xj]=0和[T,T]=[T,Xi]=0.

相應于歐氏空間經典的H?lder空間,下面給出Heisenberg群上Folland-Stein空間定義.

為Folland-Stein空間.

定義2設Ω?Hn,1≤m<∞,μ≥0,記

m,μ(Ω)={u∈L∞<∞}.

引理1令ξ∈Ω?Hn,m>1和Q<μ≤Q+m,則m,μ(Bρ(ξ))?Γγ(Bρ(ξ)),γ=(μ-Q)/m.

下面,引進Heisenberg群上的A-調和逼近引理6和常系數次橢圓方程組弱解的先驗估計.

引理2設λ和L為固定的正數,和n,N∈,其中n≥2,若對任意的ε>0,存在δ=δ(n,N,λ,ε)∈(0,1],有:

則存在一個A-調和函數h,使得∮Bρ(ξ0)|Xh|2dξ≤1和ρ-2∮Bρ(ξ0)|h-w|2dξ≤ε.

引理3設u∈HW1,m(Bρ(ξ0),N)是定義在Bρ(ξ0)上的A-調和函數,則存在C0≥1使得

2 Caccioppoli型不等式

本節重點建立方程組(1)滿足的Caccioppoli不等式.

引理4設u∈HW1,m(Ω,N)是方程組(1)在條件(H1-H3)下的弱解,則對任意的N,Xl∈2n×N,和任意的ρ∶0<2ρ

∮Bρ(ξ0)[|Xu-Xl|2+|Xu-Xl|m]dξ≤C(ρ-2∮B2ρ(ξ0)|u-l|2dξ+

ρ-m∮B2ρ(ξ0)|u-l|mdξ+[K(|u0|+|Xl|)+(1+|Xl|m/2)]2/(1-γ)(2ρ)2γ),

∮B2ρ(ξ0)Xiu·Xn+i(φ2(u-l))dξ-∮B2ρ(ξ0)Xn+iu·Xi(φ2(u-l))dξ.

由φ=φ2(u-l)可得

(6)

將以上式子相加,并利用(2)可得

(7)

應用(4),則(7)的左側可估計為

下面,分別估計(7)中右端五項.

對任意小的正數ε,應用Young不等式和|Xφ|≤Cρ-1,有

I1≤Cε∮B2ρ(ξ0)|φ|2|Xu-Xl|2dξ+Cε-1ρ-2∮B2ρ(ξ0)|u-l|2dξ+

Cε∮B2ρ(ξ0)|Xu-Xl|m|φ|m/(m-1)dξ+Cε1-mρ-m∮B2ρ(ξ0)|u-l|mdξ.

(8)

注意到(2ρ/ρ)2γ≥1,和(2ρ)2γ/(1-γ)≤(2ρ)2γ,可得

I2≤ε∮B2ρ(ξ0)φ2|Xu-Xl|2dξ+ε-1ρ-2∮B2ρ(ξ0)|u-l|2dξ+ε-1[K(·)(1+|Xl|)m/2]2/(1-γ)(2ρ)2γ.

(9)

類似地,I3和I4可估計為

I3≤4Cρ-2∮B2ρ(ξ0)|u-l|2dξ+[K(·)(1+|Xl|)m/2]2/(1-γ)(2ρ)2γ.

(10)

和

(11)

最后處理I5,注意到l不依賴于t,那么Tl=0,即XiXn+il-Xn+iXil=0,那么利用|Tφ|≤c1ρ-2得

I5≤c1ρ-2∮B2ρ(ξ0)|u-l|2dξ.

(12)

將(8)-(12)代入(7)中,不難得到

Cε1-mρ-m∮B2ρ(ξ0)|u-l|mdξ+(2ε-1+5)[K(·)(1+|Xl|)m/2]2/(1-γ)(2ρ)2γ.

3 定理1的證明

下面將給出定理1的證明,主要分為三步:第一步是建立線性化工具(引理5),它是應用A-調和逼近引理研究非線性次橢圓方程組弱解正則性的橋梁;第二步是應用逼近引理和線性化工具建立過剩泛函的改進估計;最后一步是建立過剩泛函改進估計的迭代形式,并利用Campanator空間關于H?lder連續性的刻畫得到正則性結果.

Φ1/2(ξ0,ρ,Xl)+Φ1/2(ξ0,ρ,Xl)+Φ(ξ0,ρ,Xl)+ργH(|u0|+|Xl|)],

其中C1=C1(m,Q,a,b)>1,H(τ)=[K(τ)(1+τ)m/2]2/(1-γ).

證明注意到

在球Bρ(ξ0)上利用(6)和弱解的定義,可得

(13)

由(H1)可得

(14)

將(14)代入(13)有

(15)

應用H?lder不等式,t→ω2(s,t)的凹性質,Jensen不等式和m/(m-2)≤2可得

(16)

由(H3),Young不等式,K≤K2,ρ2γ≤ρ和2γ≤m/2+γ≤m/(1-γ)可得

(17)

利用Young不等式,Poincaré不等式和ρ2γ/(1-γ),ρ2γ/(2-γ)≤ργ有

(18)

(19)

將(16)-(19)代入(15),即可得到結論.

類似于文獻[4]的步驟,可建立過剩泛函改進估計和迭代估計,證明過程不再贅述.

引理6設γ∈(0,1),θ∈(0,1),若存在正數C2,C3和引理2的δ,使得小條件

(20)

(21)

和

2C2ργH(1+|uξ0,ρ|+|(Xu)ξ0,ρ|)≤δ/2.

(22)

成立,則

其中Φ(ξ0,ρ)=Φ(ξ0,ρ,(Xu)ξ0,ρ),H0=H(1+M1).

引理7對任意的n∈,|uξ0,θnρ|+|(Xu)ξ0,θnρ|

至此,應用標準化過程即可得到弱解u∈Γ1,γ(Ω0,N).詳細證明過程可參見文獻[1].