徑向熱傳導方程源項的分數階Tikhonov-Landweber反演方法*

劉桂娟,張 文,?,徐會林,阮周生,黃澤權

(1.東華理工大學 理學院,南昌 330013;2.贛南師范大學 數學與計算機科學學院,江西 贛州 341000)

0 引言

考慮徑向熱傳導問題如下:

(1)

(2)

本文所設置的反問題為:通過終止時刻數據u(r,T)=g(r)來反演源項f(r).

針對源項識別的反演問題, 應用非常廣泛, 例如在污染源的識別、鍋爐內部溫度的探測、雷達探測等等領域都發揮著重要作用.時間-分數階擴散方程可以用于描述超擴散和亞擴散現象[1-2].由于反問題是不適定的,需要選擇合適的正則化方法才能得出精度較高的近似解,國內外眾多學者進行過這方面的研究,并得出了許多有益的研究結論.例如文獻[3-6]用簡化的Tikhonov方法、譜方法、Landweber方法和擬逆法對α=1時的問題(1)進行正則化求解,文獻[7-8]分別用分數階Tikhonov迭代法和平穩迭代加權的Tikhonov正則化方法對0<α<1的問題(1)進行正則化求解.而對于大規模的不適定問題,迭代的正則化方法比經典的正則化方法更加受歡迎[9],文獻[10]首次提出了分數階正則化方法,而后文獻[11-14]介紹了分數階Tikhonov正則化方法和分數階Landweber正則化方法,文獻[15]提出了修正的分數階迭代正則化方法,文獻[9]則采用梯度流將分數階Tikhonov正則化方法和分數階Landweber正則化方法結合,提出了分數階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法,該正則化方法可以避免出現經典迭代方法的過平滑問題,且迭代次數較少.

文章結構如下:引言部分,介紹本文所研究的問題以及國內外研究現狀;第1節討論正問題解的表達形式,并進一步引出反問題;第2節分析反問題解的不適定性,分別給出了先驗和后驗誤差估計;第3節通過列舉兩個數值算例說明算法的有效性;第4節總結了全文所研究內容.

1 正問題的解

(3)

(4)

則存在一個線性自伴算子K∶f→g,算子K的奇異值可以表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

2 反問題解的不適定分析

由于反問題是不適定的,擬采用分數階Tikhonov-Landweber迭代法進行求解.首先,回顧分數階Tikhonov-Landweber迭代法的演變過程.

分數階Landweber迭代法的濾波函數[13]為:

(9)

其中:0<β<1/‖K‖γ+1,正則化參數為α=1/m;分數階Tikhonov迭代法的濾波函數[12]為:

(10)

利用梯度流的方法[9],通過參數θ將分數階Landweber和分數階Tikhonov迭代法進行結合,便得到了分數階Tikhonov-Landweber迭代法,即:當θ=0時,為分數階Landweber迭代法,當θ=1時,便成為分數階Tikhonov迭代法.于是,分數階Tikhonov-Landweber迭代法的濾波函數為:

(11)

其中m為迭代次數,β=hm=tm-tm-1為時間步長,θ∈[0,1]表示權重,0<γ≤1.記{σn,un,vn}是自伴算子K的奇異系統.于是帶噪聲的正則化解可以表示為:

(12)

容易得出下列先驗條件下的誤差結果.

(13)

則正則化解fm,δ為“階最優”的.

證明由三角不等式和源項的正則化解(12)有

‖fm,δ-f‖≤‖fm,δ-fm‖+‖fm-f‖,

(14)

(15)

(16)

(17)

即正則化解fm,δ為“階最優”的.

下面基于Morozov偏差準則,推導正則化解的后驗誤差分析.給定的τ>1,求fm,δ,使得最小的正整數m滿足停止準則:

‖Kfm,δ-gδ‖≤τδ,

(18)

接下來推導正則化解的后驗收斂率.

(19)

證明令fm∶=ψmg,那么得到

(20)

事實上,

(21)

相應地,可以得出

(22)

另一方面

‖Kψm-1g-g‖≥‖Kψm-1gδ-gδ‖-‖(Kψm-1-I)(g-gδ)‖≥τδ-‖Kψm-1-I‖δ≥(τ-1)δ.

(23)

于是有

(24)

此外,根據(15)有

(25)

結合(24)和源項條件有:

(26)

(27)

(28)

結合(18)和(24)有

‖Kψmg-g‖≤‖(I-Kψm)(g-gδ)‖+‖(I-Kψm)gδ‖≤(1+τ)δ,

(29)

進一步利用H?lder不等式便可以得出:

(30)

通過結合(25),(28)和(30)便完成了定理2的證明.

3 數值算例

算例1考慮f(r)=sin(2r).

算例2考慮f(r)=e-r2.

選取參數θ=0.8,γ=0.5,p=3,β=0.8,M=100,N=8,τ=1.1,K=3,α=0.7,r0=2π,計算結果如圖1、圖2所示.

圖1 例1中帶有不同噪聲水平的近似解

圖2 例2中帶有不同噪聲水平的近似解

通過算例1將Tikhonov正則化方法,Landweber迭代正則化方法和分數階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法進行對比,得到表1和表2.

表1 Tikhonov正則化方法,Landweber正則化方法和分數階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法誤差對比(算例1)

表2 Tikhonov正則化方法,Landweber正則化方法和分數階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法誤差對比(算例2)

從圖1-2可以看出,在算例1中當噪聲ε=0.001時,源項的先驗和后驗效果差別不大,但是隨著噪聲變大,后驗的效果要優于先驗;在算例2中的情況則相反.當噪聲水平分別選取為ε=0.05,0.01,0.001時,分數階Tikhonov-Landweber迭代法都是有效的,并且噪聲越小,誤差越小,正則化效果也就更好.從表1-2可以看到,分數階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法比Tikhonov正則化方法誤差更小,比Landweber迭代正則化方法需要的迭代次數要少且誤差小。

4 結論

本文通過分數階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法討論了時間分數階的徑向熱傳導的源項反演問題.針對反問題的解的不適定性進行了分析,分別給出了先驗誤差估計和Morozov偏差準則條件下的后驗誤差估計,最后,數值算例表明該分數階Tikhonov-Landweber迭代正則化是有效的.