指向學習進階的小學數學單元作業:內涵、價值與實現路徑

楊 杰, 程 嶺, 阮青林

(江蘇師范大學 教育科學學院, 江蘇 徐州 221116)

2021年7月,中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》,該《意見》指出“全面壓縮作業總量和時長”“提高作業設計質量,發揮作業診斷、鞏固、學情分析等功能”,并針對作業管理提出五項具體的要求[1]?？梢?作業改進是實施“雙減”政策的必然要求。為響應“雙減”政策的號召,切實提高作業設計的質量以達到“減負提質”的效果,學校積極探索單元作業設計。但是,公允地講,實踐效果不甚良好,與理想目標還相去甚遠。原因何在?梳理相關文獻可知,是由于作業設計缺乏中介理論的支撐,這里的“中介”在數學課程標準中的課程基本理念、課程內容和課程目標具體到學生的作業過程起著橋梁作用[2]。在“中介”理論的指導下,作業設計才能體現數學知識的整體性、邏輯的關聯性、思維的系統性、方法的普適性和思想的一致性。為此,我們需要援引學習進階理論作為中介,夯實數學課程標準對作業設計的理論指導,以期實現“雙減”背景下作業“提質減量”的要求。

一、指向學習進階的小學數學單元作業的基本內涵

(一)以知識為工具,知識關聯結構化

指向學習進階的小學數學單元作業以“知識為工具,關聯知識結構”,旨在尋找知識間的連接點,將零散的知識連成線、結成網、筑成塊、構成體,幫助學生構建整體認知結構。具體來講,指向學習進階的單元作業本著整體性和結構性的思想,以教材的自然單元為單位,將一類相同、相似知識進行組合、排列,從而幫助學生把所學的知識在頭腦中組織起來,形成知識組塊,進而建立知識結構,實現數學知識結構與學生認知結構的同生共長。作業形成之前,教師會將單元零散的、斷裂的、散點的知識進行梳理、歸納和整合,讓知識呈現整體結構。比如以《分數的意義》這一單元為例,通過梳理知識結構,教師發現,分數意義的內容編排具有層次性,體現了螺旋上升的認知策略。三年級上冊學習一個物體的幾分之一、幾分之幾;三年級下冊重點學習一個整體的幾分之一、幾分之幾;五年級下冊學習分數的意義和分數的基本性質,這既是對前面知識學習的一個統整,也為后續系統學習分數的運算打下了基礎;六年級除了學習分數乘除法和四則混合運算外,比的認識、百分數的認識、比例相關知識都是分數的后續關聯內容?？梢?關聯知識結構能夠清晰呈現課程內容的結構,凸顯知識的結構體系,凸顯相關領域知識的共性和本質,進而呈現具有“高結構”“強聯系”的作業內容。

(二)以遷移為引領,方法關聯結構化

指向學習進階的小學數學單元作業不僅關聯知識結構,更重要的是關聯方法結構,即將同一單元不同的知識用相同的方法策略統整起來,生成方法策略結構,從而在更高層面上理解和應用學科方法解決實際問題[3]。方法結構是在知識自主建構過程中形成的,遵循知識內在邏輯機理和學科整體建構的本質特征,通過結構化、模塊化的意義重構,幫助學生建立知識方法策略結構。方法結構一旦形成,就具有較強的遷移能力和靈活的應用能力,不僅可以遷移到類似單元中類似問題的學習內容中,還可以遷移到其他領域不同單元不同類型問題的學習中。例如,蘇教版五年級上冊《多邊形的面積》單元探究了平行四邊形、三角形、梯形和組合圖形面積的計算,雖然不同圖形面積公式的推導有差異,但也有共性。學生在學習平行四邊形的面積時,通過剪一剪、移一移、拼一拼,將平行四邊形轉化為長方形,再利用長方形的面積公式推導出平行四邊形的面積,這種剪一剪、拼一拼的方法對后續學習三角形、梯形和組合圖形的面積起到了積極的遷移作用。當然,割補的方法還可以遷移到不同領域“數與代數”不同類型的問題上,例如簡便計算9999+999+99+9+4就可以把4分割成4個1,補到9999、999、99和9上,分別合成10 000、1000、100、10,這樣就很容易算出結果是11 110。這種方法遷移能有效打通知識間的內在聯系,不斷完善學生的方法結構,拓展學科思維空間,促進學科素養的生成。

(三)以實踐為載體,活動關聯結構化

學生的數學“實踐”一般有兩種:動手參與的實踐和大腦思考參與的“實踐”[4],無論哪種實踐,學生在獲得知識的同時也獲得了知識之外的東西——數學基本活動經驗。指向學習進階的小學數學單元作業正是以“實踐”為載體,將一組活動經驗的獲得置于完整的任務中,既見整體,又精局部,進行結構化、系統化的設計,也即關聯活動經驗,設計出活動再現、經驗再現的作業。學生在教師組織的活動作業中親身經歷探究知識的完整過程,并圍繞數學知識結構的邏輯發展系統思維。例如,在蘇教版教材五年級下冊《復式條形統計圖》這一單元,由于學生在學習折線統計圖和單式條形統計圖的過程中已經積累了豐富的數據收集和繪圖經驗,在探究復式條形統計圖的特點時,就可以讓學生獨立嘗試完成繪圖,通過動手參與的“實踐”,體驗數據收集、整理、描述和分析的過程,掌握單式條形統計圖和復式條形統計圖之間的區別和聯系,進一步體驗統計在生活中的應用,體會數學與生活的緊密聯系。再如,在學習“認識千克”時,通過估一估、稱一稱、掂一掂等豐富的活動來感受和體驗1千克有多重、1千克的不同物品有幾個、幾千克又有多重,建立1千克或幾千克的豐富表象,使學生對千克的感知逐漸由模糊走向清晰、從抽象走向具象。這看似是一系列活動,但這些活動并不是相互割裂的,而是一個相互關聯的有機整體,對后續學習“認識克”“認識噸”等計量單位具有正向遷移作用。

(四)以素養為宗旨,思想關聯結構化

指向學習進階的單元作業以培養學生的數學素養為宗旨,用聯系的、結構化的意識去關聯數學思想,讓學生在練習中利用所學思想方法解決問題。數學思想是對數學內容和方法的本質理解和進一步抽象概括,它不僅是在具體數學內容中提煉出來的數學觀,而且是在具體數學活動中形成的解決問題的方法觀[5]。在小學數學學習中,常見的數學思想有:分類、轉化、數形結合、歸納、集合等。指向學習進階的小學數學單元作業就是有意識地在作業中滲透與這些思想相關聯的題目,調動學生頭腦思維運作,刺激學生深入思考,引領學生把握數學問題與已知條件的聯系,并結合新舊知識之間的聯系探索問題解決的路徑。例如,學生在學習三角形時,利用分類的思想將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,以后遇到四邊形分類的題目時,可以利用分類的思想將四邊形分為平行四邊形、梯形和任意四邊形,再將平行四邊形分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形(長方形),最后將長方形分為一般長方形和特殊長方形(正方形)。再如,無論是對數與代數的學習,還是對空間與圖形的探索都會用到轉化的數學思想,關聯轉化的數學思想能夠幫助學生在練習中體會數學思想的奧妙,提升思維的獨創性,發展數學核心素養。比如在計算的練習中,多位數乘多位數的運算法則就是一個十分鮮明的例子,它的實質是把多位數乘多位數轉化成一位數乘多位數;對于小數的乘除法,則是運用積的變化規律和商不變的規律轉化成整數乘除法來計算。

二、指向學習進階的小學數學單元作業的價值取向

(一)“厘清”知識脈絡,激活關聯思維

指向學習進階的小學數學單元作業的第一重價值是通過關聯知識結構讓學生更清楚地明白不同層次知識之間的聯系以及整個知識體系的脈絡。如此知識體系的構建、知識脈絡的梳理、知識關系的明晰,可以激活學習者的關聯思維,使他們養成金字塔式的思維品質和思維習慣[6]。為了明晰關聯思維,我國朱彩蘭等學者借鑒布魯姆的認知目標分類理論、比格斯SOLO分類理論及關聯主義等理論,分析了關聯思維的基本內涵。關聯就是知識與知識之間因為某種關系所建立的聯系,這種聯系可以是縱向的,如程序結構和順序結構之間的關聯,也可以是橫向的,如分支結構和順序結構之間的關聯[7]。具備關聯思維,意味著學習者能夠將所學知識與認知結構中已有的知識與現實生活世界建立關聯,引導學習者在解決現實生活世界中的實際問題的過程中不斷優化自己的認知結構,從而形成解決現實生活中實際問題的能力。金字塔思維是美國著名管理學家芭芭拉·明托所提出的一種理論[8]。這種思維對學生的思維、表達和解決問題都有著積極而重要的影響。在思維方面,它能讓學生邏輯清晰、條理分明、重點突出;在表達方面,它能讓學生更好地理解表達的結構規律和作用法則;在解決問題方面,它能幫助學習者從信息材料中構建邏輯樹,從而有條理地分析和解決問題?？傊?關聯知識結構,可以很好地鍛煉學生的思維習慣,提升學生的思維品質。

(二)“引領”方法會聚,開創遷移思維

指向學習進階的小學數學單元作業的第二重價值是引領方法會聚,產生互動關聯效應,催化遷移思維生成,促進學生在作業過程中形成具有一致意義的方法結構。方法結構具有良好的系統性,其內在的方法不僅容易被學習者便捷地吸收,而且容易被良好地儲存。這些方法往往蘊含在數學知識中[9],并以高階知識為內核,以網狀結構為形態,儲存在大腦皮層中,當新的情境特征與大腦皮層中已有方法匹配時,學習者便會啟動遷移思維,快速激活、提取并再現這種方法,并將其應用于作業中解決類似情境問題。在高階知識的統攝帶領下,這樣的網狀結構往往比較“穩固”,也更容易形成具有強大功能的神經元簇。這種神經元簇不僅功能強大,而且突觸較多,很容易與其他神經元簇建立起協同關系,形成神經元“工作群”。這樣的工作群不僅能夠協同作業解決復雜問題,而且容易在情境刺激下生發系統的“整體涌現性”[10]。涌現性產生的前提是方法間的聯系與相互作用,如果方法之間是孤立的,沒有任何聯系與相互作用,便就不會產生涌現。如同愛因斯坦所說的,“一百個零相加還是零”。換句話說,涌現不產生于若干方法的集合,而產生于若干方法的協同與融合?？梢?方法的整體涌現性有正向與負向之分,發揮方法的正向遷移作用能夠確保產生積極的涌現行為和特性,從而迸發各種各樣的靈感與智慧。

(三)“積累”活動經驗,撬動系統思維

指向學習進階的小學數學單元作業的第三重價值是通過活動關聯,幫助學生積累豐富的活動經驗。杜威曾指出:“經驗是我們和自己所創造的環境的‘交涉’,我們在環境中所做的事(活動)、動作和感受(經歷)形成了我們所謂的經驗?！盵11]顯然,經驗與活動是緊密聯系在一起的。經驗是在活動中產生和體現的,它是活動主體對客體的能動反映,是活動的過程和結果;活動是經驗的源泉,沒有親身經歷的實踐活動就不會產生經驗,經驗與活動的關系是“皮”與“毛”的關系[12]。數學活動經驗是學生個體在數學活動中獲得的經驗,這里的經驗包括學生在活動過程中獲得的感受、體驗、領悟以及由此獲得的數學知識、技能、情感態度與價值觀等內容組成的有機結合性經驗[13]。在作業設計中關聯數學活動,能夠幫助學生有意識地提煉、積累、豐富數學活動經驗,并使其顯性化,形成新的認知經驗。已有的數學活動經驗積累得愈多,與新知識之間的關聯就越緊密,愈能有效地、創造性地學習。當新知識出現時,大腦會迅速與頭腦中的認知結構相聯系,搜尋更多的知識經驗信息,對學習新知識的途徑和方法作出判斷和預測,并努力吸收新信息,使認知主體的認知結構不斷得到擴展和完善。

(四)“搭建”思想模型,生發高階思維

指向學習進階的小學數學單元作業的第四重價值是通過挖掘隱藏在知識背后的數學思想,“搭建”思想模型,對零散、凌亂的思想進行分類、規整,通過分層、排列讓這些獨立、分離的思想建立聯系,從而各就各位、相互關聯“型構”出思想體系。這樣的思想體系是對特定數學認知過程中知識和方法的高度凝練和簡單概括[14],它不僅能起到完善學生數學認知結構的作用,而且基于其層次性、階梯性和有序性的優良特點,對學生思維的發展起到重要促進作用。所謂數學認知結構,就是數學知識結構在學生頭腦中的反應,是學生根據自己理解的深度和廣度,結合自己的認知特點,如感受、感知、記憶、思維、聯想等,將數學知識組合成的具有內在規律的整體結構[15]。從數學認知結構的構成要素來看,數學思想是其主要成分,它蘊含在數學知識當中,發揮著紐帶作用,決定著知識之間的聯結。之所以強調它與數學知識的關系,乃在于學生一旦理解并掌握了數學思想方法,就會形成條件性知識,當學習者遇到類似問題時,能夠快速準確地檢索和提取與任務相關的知識,在問題與知識之間建立豐富的聯系,并最終選擇解決問題的最佳方案,這是良好數學認知結構的最重要特征。此外,良好的層次性和階梯性思維系統也是支持學習者發展高階思維的重要途徑,它將具體思想方法的學習放置于思想體系中加以整合,以突出思想之間的內部聯系以及在問題解決中的價值,從而為學生解決問題指明路徑,快速提高學生解決問題的能力。

三、指向學習進階的小學數學單元作業設計的實現路徑

(一)巧用知識關聯,培養思維的深刻性

知識具有很強的聯系性和高度的結構性,許多數學知識是在已有知識的基礎上形成和發展起來的。也就是說,它們之間有著密切的聯系,前面的知識是后面知識的基礎,后面的知識是前面知識的發展,從而形成數學知識的連續性和完整性。對于小學生來說,注重數學知識的完整性和關聯性,能使他們把握數學知識的本質,學會舉一反三、觸類旁通,培養思維的深刻性。因此,在單元作業的設計中,教師可以巧妙地關聯知識,利用知識間的特點,引導學生深入思考。通過對比分析,尋找知識間的關聯性,直追知識本質,挖掘其中隱含的道理,以此推動學生對知識深刻地認識,從而更加透徹地理解知識點,培養學生善于抓住事物本質和規律的能力,發展深刻思維。以單元為基本單位巧設知識的關聯就是把具有相同或相似的一類知識以單元的視角進行關聯和整體設計。例如以《面積》單元為例,巧設知識關聯的關鍵有兩點:一是建立結構。將零散的、碎片化的數學知識進行整體化、系統化、邏輯化以建立起知識結構。二是找出核心概念。根據共同擁有的數學本質,確定關鍵能力,促進思維進階發展,落實核心素養。本單元的核心概念是“度量”,對比不同版本的教材,我們發現,無論是“線的度量”“面的度量”還是“體的度量”,其學習路徑是相似的,其核心概念的本質結構也是相同的。長度、面積和體積作為度量概念的有機整體,教材都是引領著我們遵循明確度量對象屬性、確定度量單位、獲得度量值的順序來學習的,而且教學都要經歷“直觀感知、非標準度量、標準度量、公式度量、合理靈活度量”這樣的過程。因此,教師在進行單元作業設計時,可以將認識面積和面積單位放在一起,這樣從度量的角度出發,引領學生經歷面積概念建立的全過程,促進學生對概念本質的理解。

(二)巧設方法關聯,發展思維的靈活性

法國數學家笛卡爾曾說過,“最有價值的知識是關于方法的知識”。對于學生來說,學習方法比學習知識更重要,也正所謂 “授人以魚不如授人以漁”,如果把數學知識比作一盤菜,那么數學方法就是得到這盤菜的工具,而工具可以幫助學生得到不同種類的菜,所以掌握好數學方法,就可以得到不同種類的新知識。因此,在設計單元作業時,教師可以有意識地引導學生運用學過的方法解決新問題,學生根據具體問題進行具體分析,靈活運用適當的方法進行推理、演繹,以此來提高應變能力,發散思維,提高思維的靈活性。例如,在設計 《大數的認識》單元的作業時,為了提高方法之間的關聯性,可以將“大數改寫”和“求近似數”聯系起來,融為一體,凸顯“改寫”和“省略尾數求近似數”在方法上的一致性。大數的改寫步驟可以總結為:一分,二找。如:50 000=( )萬,先分級,發現萬位是5,即5個萬,所以等于5萬。800 000 000=8億,而800 000 000=( )萬,則答案是80 000萬,技巧就是找到改寫成以誰為單位,就找到這個數位,后面的0換成計數單位。省略萬(億)后面的尾數求近似數與大數改寫的步驟相似,都是先分級(即一分),再找到萬位(億位)(即二找),只不過“省略”比“改寫”多了“三看(看它下一位)”和“四判(判斷是舍還是入)”。方法一致了,學生就會找準“發力點”,在方法的遷移中解決新問題。

(三)巧構活動關聯,提升思維的敏捷性

數學課程標準指出:數學學習,要關注學生的學習過程,關注學生學習的基本活動經驗,讓學生通過實際操作、自主探究、合作交流等活動,經歷數學知識的發生、形成過程,即經歷豐富而生動的實踐與思考過程,從而在活動中獲得豐富的知識和經驗。史寧中教授也說過:“世界上許多東西是無法傳遞的,只能親身經歷。智慧不完全取決于知識的多少,而取決于知識的運用,取決于經驗的積累?！币虼?教師要多讓學生在“動手實踐”和“思維實踐”中磨煉,多讓學生“經歷過程”,多創設學生的“經歷過程”,讓學生在“做”中感悟、理解數學,體驗并積累數學活動經驗。同時,教師要根據學生所學知識的特點以及經歷的數學活動經驗,設計出活動再現、經驗再現的作業,讓學生在不同的問題下進行思考與反思,并迅速做出判斷,選擇恰當的解決方法,提高思維的活力,發展敏捷性。例如,在《長方體》單元作業中,為了更好地發展學生的空間觀念,開拓學生的思維,教師可以精心設計數學實踐作業,如:指導學生利用卡紙制作1立方分米的體積單位;利用橡皮泥或土豆等材料切1立方厘米的體積單位;利用家中的墻角圍成1立方米的正方體。讓學生在動手操作中體會體積單位的實際意義,感受體積單位之間的進率,通過這樣的數學實踐活動,不僅讓學生深刻理解了數學知識,而且鍛煉了學生動手操作的能力,積累了豐富的操作經驗和探究經驗。

(四)巧創思想關聯,形成思維的獨創性

數學思想是數學學習最高境界的標尺,是由書本轉化入頭腦中的“養分”,是數學的靈魂[15],對學生思維品質的提升具有舉足輕重的作用。學生所學的知識可能出校門不到兩年就忘了,但是銘記不忘的是頭腦中的數學思想。因為,懂得數學思想有利于記憶,就是在部分知識遺忘的時候,也能得以重新構思起來。布魯納認為“除非把一件事放進構造好的模型里面,否則就很容易忘記”。數學思想就是數學學習中“構造好的模型”。因此,練習中可以利用學生已學的數學思想,幫助解決新問題,讓其在練習中體會數學思想方法的奧妙,提升思維獨特性,發展核心素養。例如,在《多邊形面積》單元中,本單元重點引導學習者經歷面積計算公式的推導過程,突出轉化思想對學習圖形相關知識的重要性,讓學習者在操作過程中體會數學思想之間的聯系,最終形成思想建模。單元一開始,從圖形的拼組入手,讓學生在動手操作中發現圖形之間的變化關系,重點教學平行四邊形的面積,讓學生體驗、感受和掌握“轉化思想”,然后運用轉化思想自主探索三角形和梯形的面積,從而溝通三種圖形之間的聯系。組合圖形的面積則是在學習平行四邊形、三角形和梯形的面積之后呈現,同樣是運用轉化的數學思想,將不規則圖形轉化為規則圖形進行計算。因此,在作業中,教師可以有意識地設計一題多解的練習題目,讓學生自由嘗試,鼓勵學生創新,用學到的思想解決問題,從而在“發散思維”的練習中逐步培養思維的獨創性?！?/p>