制造商分擔創新產品回收成本的閉環供應鏈微分博弈

□劉 浪 劉振威 陳 爍

[1. 華東交通大學 南昌 330013；2. 浙江工商職業技術學院 寧波 315012]

引言

創新耐用產品對顧客來說具有“毒性”，顧客很難具有“免疫力”。其擴散規律與病毒傳播規律一樣，Bass根據病毒傳播模型，提出了創新產品擴散模型，這就是著名的Bass模型[1]。蘋果手機（iPhone）每款新產品的擴散，都符合這個傳播規律。根據蘋果公司歷年發布的數據，iPhone的銷量從2008年的1 162.7萬臺，增加到2018年的21 772.2萬臺。根據第三方機構統計，2021年iPhone的銷量達到了24 200萬臺。隨著智能手機、電腦和其他智能設備等創新產品市場的不斷增大，這些創新產品每年報廢量也不斷增多，廢舊產品回收再制造比傳統制造消耗更少的原材料和能源，從而減少資源浪費和碳排放。因此對這些創新產品進行回收再制造對實現“雙碳”目標顯得尤為重要。特別是第三方回收作為一種專業且高效的回收渠道，能夠有效提高產品回收率[2～3]?；厥粘杀痉謸鳛樘岣呋厥账降闹匾緩絒4～5]，能提高對創新產品的回收效率，降低對資源的浪費和對環境的污染，引起學者們的關注和重視。另外，制造商、零售商和回收商之間的生產、再制造、銷售和回收是一個長期的微分博弈過程，這已成為供應鏈領域中一個新的研究熱點。

閉環供應鏈最早起源于單一回收渠道的研究[6～9]。文獻[6]最早提出的三個經典的閉環供應鏈模型，分別為制造商回收、零售商回收和第三方回收。文獻[7]在上述三種回收模式的基礎上，探討了在雙重銷售渠道競爭中，廠商的逆向渠道選擇及協同機制的設計。文獻[8]則在限額交易制度下，針對上述三種回收模式，將有再制造和沒有再制造的情形進行了對比。文獻[9]研究了電商平臺主導的閉環供應鏈，分別研究了集中回收、制造商回收、零售商回收、第三方回收等四種單一回收模式。在文獻[6]提出的經典模型基礎上，許多學者們對第三方回收的情況展開了大量的研究[10～14]。如文獻[10]研究了由第三方回收廢舊電子電氣產品的閉環供應鏈。文獻[11]考慮政府補貼和規模效應，研究了第三方回收的閉環供應鏈。文獻[12]在閉環供應鏈成員公平關切的情形下研究了各成員及整個系統的最優定價決策與協調策略。文獻[13]對產品性能和環境影響的兩種偏好構建了不同銷售渠道的閉環供應鏈模型，并探討了雙重偏好對上述渠道差異的影響。文獻[14]研究了由制造商和第三方回收商組成的雙邊平臺。隨后，有學者開始研究有兩個回收渠道的閉環供應鏈[15～16]。如文獻[15]研究了零售商和第三方回收商回收競爭的閉環供應鏈。文獻[16]研究了由兩家主導的原始設備制造商（Original Equipment Manufactures, OEMs）和兩家第三方再制造商（Third-Party Remanufactures, TPRs）組成的競爭性閉環供應鏈。

上述研究都假設閉環供應鏈各成員的決策是不隨時間變化的、靜態的，而隨著信息化時代的到來和網絡的普及，信息傳遞越來越迅速，供應鏈對市場變化的反應也越來越迅捷，供應鏈各成員的決策將可以實時變動，此時其靜態決策假設將不再適用。近年來有眾多學者投入到動態閉環供應鏈的研究中。如文獻[17]較早研究由零售商回收的閉環供應鏈微分博弈模型。大多數研究都集中在由一個制造商和一個零售商組成的兩級閉環供應鏈[18～23]，文獻[18]研究了由一個制造商和一個零售商組成的閉環供應鏈。文獻[19]在閉環供應鏈中考慮了零售商分擔制造商回收成本。文獻[20]研究了制造商和零售商都投資產品回收的閉環供應鏈。文獻[21]考慮了回收率的隨機擾動對二級閉環供應鏈的影響。文獻[22]研究了不同權力結構對二級閉環供應鏈的影響。文獻[23]基于商譽模型，構建了一個制造商和一個投資綠色廣告的零售商組成的閉環供應鏈微分博弈模型。也有學者研究了三級閉環供應鏈[24～25]，文獻[24]研究了由一個制作商、一個零售商和一個投資研發、廣告和大數據營銷的互聯網服務平臺組成的三級閉環供應鏈，并由零售商回收的微分博弈模型。文獻[25]在第三方回收的三級閉環供應鏈中考慮了公平關切和回收率隨機擾動的影響。隨著研究的深入，許多學者將供應鏈參與者的行為因素考慮進來[26～29]。文獻[26]引用伊藤過程來描述回收率的變化，研究了由制造商主導，零售商回收且具有公平關切的閉環供應鏈。文獻[27]分別構建了制造商關注零售商的公平關切、制造商不關注零售商的公平關切，由零售商回收的閉環供應鏈微分博弈模型。文獻[28]研究了第三方回收商的公平關切行為對閉環供應鏈的影響。文獻[29]則進一步把政府相關的因素考慮進來，探討了在政府規制下，制造商分擔零售商宣傳成本的閉環供應鏈。本文則研究創新產品由第三方回收，制造商分擔回收成本的三級閉環供應鏈，尋找在此種情景下各種決策變量的最優路徑。

為了研究商業和經濟領域中的動態廣告問題，學者們建立了各種動態需求函數或市場份額函數[30～32]。文獻[30]建立了經典的NA模型來描述商譽的動態變化并進一步影響需求變化。文獻[31]提出了V-W模型，考慮了廣告對銷售的影響，這種影響通常持續到當前時期之后，其影響會逐漸減弱。文獻[32]引入Lanchester模型來分析競爭廣告問題。上述模型在動態供應鏈中已有不少應用，但鮮有文獻在動態供應鏈中考慮市場擴散模型，在閉環供應鏈中的應用更是沒有。在現實生活中，對耐用產品的需求往往會經過市場擴散過程而達到產品的累計銷售，在這種情況下，市場中的一些人并不是立即購買該產品，而是通過與媒介或口碑的接觸之后從而產生購買的意愿[1,33～34]。文獻[1]考慮了這種擴散過程建立了市場擴散模型。文獻[33]在Bass模型基礎上進一步考慮了價格的因素。文獻[34]將Bass的創新產品擴散模型引入到開環供應鏈中來刻畫市場的即時需求，研究了由一個供應商主導和一個零售商跟從的主從動態微分博弈過程。

經典文獻還未見到把Bass模型應用于閉環供應鏈之中。本文在上述文獻的基礎上，用Bass模型來建立一個由制造商主導，零售商和第三方回收商跟從的閉環供應鏈微分博弈模型，同時考慮在無政府規制下，制造商主動分擔第三方回收商的一部分回收努力成本，在此基礎上，尋找閉環供應鏈各成員的最優決策路徑。本文的主要創新點在于：（1）將Bass模型引入由制造商主導，零售商和第三方回收商構成的三級閉環供應鏈，并建立動態微分博弈模型；（2）考慮了制造商分擔回收商回收努力成本對供應鏈各成員及整個供應鏈上各決策變量的影響。本文與其他文章主要的區別在于在閉環供應鏈中使用Bass模型來刻畫市場中的非線性動態需求的變化，這是其他學者還未研究過的領域，擴展了符合Bass模型的創新產品的閉環供應鏈研究。

一、模型假設

本文的閉環供應鏈系統由一個占主導地位的制造商，記為M（Manufacturer）；一個零售商，記為R（Retailer）；和一個負責回收的第三方回收商，記為T（Third-party Recycler）組成。

設w(t) 為t時刻制造商制定新產品的批發價（本文假設全新產品與再制造產品完全同質），是制造商的控制變量；p(t) 為t時刻零售商制定新產品的零售價，是零售商的控制變量；cm為新產品邊際生產成本；cr為再制品邊際生產成本； Δ=cm-cr為再制造產品節省的成本；r(t) 為t時刻第三方回收商的回收努力，是回收商的控制變量，為回收商的回收努力成本，是回收努力的二次函數；假設t時刻制造商支付回收商的累計回收費用與回收率τ(t) 呈 正比關系，即為 γτ(t) ， γ表示單位時間內回收率為1時的制造商總支付，則單位時間內回收費用為； φ為制造商分擔回收努力成本的比例；T為新產品投入市場的總時長；N為市場消費者的總數（包括潛在消費者和現實消費者）。

Bass模型的數學來源是可靠性理論中得到廣泛應用的可靠度函數模型。將市場需求總量等同于可靠度函數中的“總實驗數”，在t時刻已賣出的商品數等同于可靠度函數中的“累積失效的產品數量”，在t時刻還未賣出的商品數等同于可靠度函數中的“仍然完好的產品數量”，t時刻創新產品市場占有率x(t)等同于可靠度函數中的概率分布函數F(·)。因此，使用Bass模型可以很好地刻畫出新耐用產品閉環供應鏈的動態博弈演化過程。

創新產品是指某種研發出的新產品或對某一老產品進行創新改造后的產品，如不斷更新換代的手機等電子產品，創新產品在上市后將會在消費者市場中進行擴散，通過宣傳、推廣和消費者之間口頭傳播逐漸累積銷量。學者們證明了創新產品進入市場后的規律服從Bass模型[1,32～33]，即創新產品在消費者之間存在一個擴散的過程。假設每一個消費者只會購買一次該創新產品且市場的消費者的總數為N，將購買了該產品的消費者稱為現實消費者，而未購買該產品的消費者稱為潛在消費者。則t時刻現實消費者的比例為x(t)，即該產品的市場占有率，且滿足[32]，x(0)=0。其中j(1-x(t))為因消費者自己的喜好或廣告等因素使得潛在消費者購買該產品的部分，與潛在消費者比例 1 -x(t)呈 正比，稱j為 消費偏好系數；kx(t)(1-x(t))為因現實消費者對潛在消費者的傳播引起潛在消費者購買的部分，既與潛在消費者呈正比，又與現實消費者呈正比，稱k為模仿系數?？梢缘玫絫時刻該創新產品的需求量。根據文獻[33]，考慮需求彈性ε與價格p呈負相關，即，可得， 進一步D∝e-ap，即需求量與e-ap成正比，又因需求量，因此可假設，其中a為價格對潛在消費者向現實消費者轉換的影響系數。

事實上，即時產品回收率具有“累積效應”特征，即一個時期的回收率是過去累積回收努力的函數[18]。根據文獻[18]，將回收率設置為狀態變量，其變化率為回收努力和回收率的函數，滿足，τ(0)=0。其中 α為回收努力對回收率的影響系數， β為回收率的衰退系數。

二、模型建立與求解

在此閉環供應鏈中，制造商、零售商和回收商構成制造商主導零售商和回收商跟從的Stackelberg博弈，制造商先決定其批發價格w(t)，隨后零售商決定零售價格p(t) ，回收商決定回收努力r(t)。得到制造商的長期利潤函數為：

零售商的長期利潤函數為：

回收商的長期利潤函數為：

則制造商、零售商和回收商的目標函數分別為：

命題1：在創新產品閉環供應鏈中，制造商的最優批發價w?(t)為：

零售商的最優零售價p?(t)為：

回收商的最優回收努力r?(t)為：

證明：

由博弈順序，先計算回收商的最優回收努力和零售商的最優零售價格。

回收商的Hamilton函數為[35～36]：

所以

零售商的Hamilton函數為：

由

和橫截條件 λR(T)=0，解得：

最后計算制造商的最優批發價，制造商的Hamilton函數為：

由

解得

所以

證畢！

推論1：創新產品閉環供應鏈中，制造商的最優批發價雖然是隨著時間變化而變化的，但是每一件新產品的邊際利潤都為，即制造商要取得最大利潤的最優批發價策略，就要使得每一件新產品的邊際利潤為。且批發價和零售價都隨著回收率的增加而減少。

證明：

由式(8)可以看到制造商的最優批發價w?(t)是隨著時間變化而變化的，且t時刻的批發價w?(t)減去t時刻的單位成本 (cm-Δτ(t))可得產品的邊際利潤為。由于可知批發價和零售價都隨著回收率的增加而減少。

證畢！

推論2：當模仿系數大于消費偏好系數(k-j＞0)時，即現實消費者對潛在消費者購買的影響大于潛在消費者的創新購買效應影響時，零售商定價使得每件產品的邊際利潤隨著現實消費者的比例在范圍內增加而提高，隨著現實消費者的比例在范圍內增加而降低；當模仿系數小于或等于消費偏好系數(k-j≤0)時，即潛在消費者的創新購買效應影響大于現實消費者對潛在消費者購買的影響時，零售商定價使得每件產品的邊際利潤隨著現實消費者的比例的增加不斷減小。

證明：

證畢！

命題2：在創新產品閉環供應鏈中，創新產品最優的市場占有率路徑x?(t)為：

最優回收率路徑 τ?(t)為：

證明：

最優回收率的路徑 τ?(t)的證明見命題1的證明。

由命題1得：

且x(0)=0可得：

當t=T時，x(T)=B(T)(j+kx(T))(1-x(T))解得：

或

證畢！

推論3：在創新產品閉環供應鏈中，回收商的回收努力程度隨時間逐漸減小，在新產品剛推出不久時回收力度最大，隨著推出時間的延續，回收力度逐漸減小，當產品退出市場時（即T時刻時）回收力度減少到0。

證明：

證畢！

推論4：在創新產品閉環供應鏈中，選擇的銷售時長越長，產品退出市場時的市場占有率x(T)會越高，最終銷售量Nx(T)也會越大。

證明：

根據式(30)，將X(T) 對T求偏導可得由于B′(T)＞0 且，可知。 即T越大，x(T)越大，Nx(T)也越大。

證畢！

由推論3可知，在創新產品剛進入市場時回收商的回收努力最大，隨后隨著銷售時間的增長不斷減小其回收努力，直到創新產品退出市場，將不再回收該產品。相應的回收率先因回收商做出的回收努力而快速增長，后因回收商的回收努力在不斷減弱，在回收率達到最大后再開始衰退。在現實生活中很多產品在剛推出時其產品回收宣傳力度很大并維持較長的一段時間，回收率也在不斷增長；但隨著產品的推出時間增長，回收努力漸漸減弱，而回收率也達到頂峰開始衰退；當產品接近退出市場時，產品的回收宣傳力度會大幅下降；而當產品退出市場時，將不再回收該產品。由推論4可知產品的銷售時間越長，其最優策略下銷售量就會越大。這些結論都和現實的情況相符合。

將各變量代入式(1)～式(3)可得制造商、零售商和回收商的最優整體長期收益分別為：

三、數值分析

假設該閉環供應鏈各項參數如下：cm=20，cr=10，Δ=10，a=0.01 ，kT=200，γ=100，α=0.3，β=0.5，T=30，N=10 000 ，φ=0.7?？紤]不同的市場情形（即不同的消費偏好系數j和模仿系數k）對閉環供應鏈的影響。

1. 不同市場情形對閉環供應鏈的影響

首先，考慮不同市場情形對T時刻現實消費者的比例的影響。

由圖1可見隨著消費偏好系數j和模仿系數k的增大，T時刻現實消費者的比例也會增大。且消費偏好系數和模仿系數較小的時候，曲面斜率較大，而在消費偏好系數和模仿系數較大時，曲面平緩。在消費偏好系數和模仿系數較小時，如j=0.1，k=0.1時，x(T)=31.57% ，當j增大到0.2時，x(T)=46.36% ，增長14.79%；當k增大到0.2時，x(T)=38.24%，增長6.67%。而在消費偏好系數和模仿系數較大時，如j=0.8 ，k=0.8 時，x(T)=83.76%，當j增大到0.9時，x(T)=84.70%，增長0.94%；當k增大到0.9時，x(T)=84.56%，增長0.80%。

圖1 參數j、 k與 T時刻現實消費者的比例的關系圖

然后考慮不同市場情形對閉環供應鏈及供應鏈各成員的整體長期利潤的影響。

由圖2可發現，隨著消費偏好系數j和模仿系數k的增大，制造商的整體長期利潤 πM、零售商的整體長期利潤 πR都會增大，而第三方回收商的整體長期利潤 πT不變；所以整個供應鏈的整體長期利潤πH也會增大。且在消費偏好系數和模仿系數較小時，如j=0.1，k=0.1時 ， πM=312 355， πR=338 230。當j增大到0.2時， πM增長147 776， πR增長238 068；當k增大到0.2時， πM增長66 560，πR增長45 334。而在消費偏好系數和模仿系數較大時，如j=0.8，k=0.8 時， πM=834 104 ， πR=1 588 631 。當j增 大到0.9時， πM增長9 372， πR增長73 022；當k增大0.9時， πM增長8 001， πR增長28 287。

圖2 參數j、 k與供應鏈及供應鏈各成員利潤的關系圖

由上述分析可知，在消費偏好系數和模仿系數都較高的市場下，產品銷售末期現實消費者的比例也比較高，即在這樣的市場下能銷售出更多的產品，并且制造商和零售商能得到更高的整體長期利潤，整個供應鏈的整體長期利潤也將更高。同時發現消費偏好系數和模仿系數較低時，通過廣告努力來增大消費偏好系數和模仿系數能明顯提高銷售量和制造商、零售商利潤。而消費偏好系數和模仿系數較高時則效果不明顯。消費偏好系數越大，說明該創新產品對某些特定的客戶群有吸引力；模仿系數越大意味著引起效仿的客戶群體越大；從而導致創新產品在市場上的擴散速度越快，即在固定的銷售時間內的銷售量將越大。因此，制造商、零售商都能獲得更高的利潤，致使整個供應鏈的利潤也會更高，且在消費偏好系數和模仿系數較小時，增大消費偏好系數和模仿系數的邊際收益較大。

2. 回收成本分擔比例對閉環供應鏈的影響

接下來，分析制造商的回收成本分擔比例對閉環供應鏈的影響。通過軟件計算發現在不同市場情形下都存在一個最優的成本分擔比例 φ?，當制造商采取這個最優的成本分擔比例 φ?時，制造商獲得的利潤最大，不同市場情形時的 φ?值如下圖所示。

進一步計算了不同市場情形下，制造商采取其最優成本分擔比例時零售商和回收商的利潤，并與制造商不分擔成本時進行比較，如下圖所示（以下幾個圖中的制造商均釆用最優分擔比例）。

從圖3中可以看到在不同的市場情形下都存在一個制造商最優成本分擔比例且不等于0。從圖中可以發現，制造商的最優成本分擔比例先隨著消費偏好系數和模仿系數的增大而增大，在j=0.1，k=0.5左右的時候最大，隨后隨著消費偏好系數和模仿系數的增大而減小。從圖4和圖5可以看到，在不同的市場情形下，制造商采取最優分擔成本比例能提高零售商和回收商的利潤。由圖6可以看出，制造商分擔回收成本時，能明顯提高創新產品的回收量，提高創新產品的回收效率。

圖3 不同市場情形下的制造商最優成本分擔比例

圖4 制造商分擔成本時與不分擔時零售商利潤對比

圖5 制造商分擔成本時與不分擔時回收商利潤對比

圖6 制造商分擔成本時與不分擔時創新產品的回收數量對比

由上述分析可知，制造商分擔回收商回收成本，提高了閉環供應鏈的回收率，增大了回收商的利潤，提高了創新產品的回收量，同時減少了制造商的平均制造成本，進而提高了制造商和零售商的利潤。但隨著回收努力成本分擔比例的增大，其對制造商帶來的邊際效益不斷減小，因此能得到最優的回收成本分擔比例。且在不同的市場條件下總存在一個最優的成本分擔比例，使制造商的整體長期利潤最大。

在消費偏好系數和模仿系數較小時，此時供應鏈的銷售量較小，需要加大回收努力成本的分擔比例，以降低創新產品的平均成本，來增加供應鏈的利潤。在消費偏好系數和模仿系數較大時，此時供應鏈的銷售量較大,過高的回收努力成本將給制造商帶來負收益，同時造成供應鏈的利潤減少，因此需要適當減小回收努力成本的分擔比例來增大供應鏈的利潤。由圖2和圖5可以發現，在閉環供應鏈中相比制造商和零售商，第三方回收商的利潤是相當低的，所以它應該同時對多種商品進行回收，這樣才能增加收益。

四、結束語

（一）結論

本文基于Bass模型（創新擴散模型）建立了一個制造商主導、零售商和第三方回收商跟從的閉環供應鏈模型，通過最優控制方法得出了制造商批發價格的最優路徑w?(t) ，零售商的零售價p?(t)和回收商回收努力的最優路徑r?(t)，進一步得到市場占有率x(t) 、回收率 τ(t)的最優路徑以及制造商、零售商、回收商以及供應鏈的整體長期利潤。并通過仿真分析，得到了制造商最優的回收成本分擔比例。得出的主要結論如下：

1. 通過數值分析，本文發現回收成本分擔提高了創新產品的回收效率，減少了制造商的平均制造成本，且提高了閉環供應鏈各成員的利潤。

2. 由圖4～圖6分析可知，對于制造商來說，在不同的市場條件下總存在一個最優的成本分擔比例，且采取這個最優成本分擔比例也能提高回收商和零售商的利潤。

3. 由圖1和圖2分析可知，在消費偏好系數和模仿系數高的市場中，制造商和零售商能獲得更高的利潤，且通過廣告等銷售努力來提高消費偏好系數和模仿系數能售出更多的創新產品，提高制造商和零售商的利潤。

4. 由推論1～推論4可知，制造商和零售商的最優定價都是隨時間變化的，但是制造商的最優邊際利潤是始終不變的。而回收商的最優決策為先做出最大的回收努力，之后再逐漸減少。

（二）管理啟示

結合上述結論，本文對創新產品企業有以下啟示：

1. 制造商回收成本分擔能提高閉環供應鏈所有成員的利潤，并提高回收商對創新產品的回收努力水平，能使更多的廢舊產品回收再利用，應當大力推廣。

2. 制造商在協商回收成本分擔比例時要小心謹慎，因為不同的市場存在著不同的最優分擔比例。

3. 制造商和零售商可以通過一定的廣告等銷售努力，來加快創新產品在消費者之間的擴散，以此提高銷量，獲得利潤。

4. 回收商應在前期做出大量的回收宣傳和準備，盡快地提高消費者的回收意識，使創新產品的回收率迅速達到較高的水平，之后就能用較低的回收成本維持這個較高的回收率。

（三）展望

本文的研究是以市場完全壟斷為前提，只考慮了一個占主導地位的供應商和一個處跟從地位的零售商和第三方回收商銷售創新產品時的閉環供應鏈的情形，并且假設再制造產品于新生產的產品沒有區別。與主流的動態供應鏈研究不同，本文沒有采用經典需求模型或者商譽模型來刻畫需求的變動，而是使用bass模型來描述創新產品在閉環供應鏈市場中的擴散，為之后的閉環供應鏈研究提供了新思路。將來還可以考慮一個供應商兩個零售商一個回收商，兩個供應商一個零售商一個回收商或者一個制造商一個零售商兩個回收商競爭等寡頭壟斷的情形；或者考慮再制造產品與新生產的產品有一定區別，并且存在消費者產生購買事后后悔和購買切換后悔等情形。